第2課時導數(shù)的運算法則學習目標1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導法則.2.理解求導法則的證明過程，能夠綜合運用導數(shù)公式和導數(shù)運算法則求函數(shù)的導數(shù)知識點一和、差的導數(shù)已知f(x)x，g(x).Q(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x)思考1f(x)，g(x)的導數(shù)分別是什么？答案f(x)1，g(x).思考2試求yQ(x)，yH(x)的導數(shù)并觀察Q(x)，H(x)與f(x)，g(x)的關系答案y(xx)x，1.Q(x) 1.同理，H(x)1.Q(x)的導數(shù)等于f(x)，g(x)的導數(shù)的和H(x)的導數(shù)等于f(x)，g(x)的導數(shù)的差梳理和、差的導數(shù)f(x)±g(x)f(x)±g(x)知識點二積、商的導數(shù)(1)積的導數(shù)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)cf(x)cf(x)(2)商的導數(shù)(g(x)0)(3)注意f(x)g(x)f(x)g(x)，.1若f(x)2x，則f(x)x2.(×)2函數(shù)f(x)xex的導數(shù)是f(x)ex(x1)()3當g(x)0時，.()類型一利用導數(shù)的運算法則求導例1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y3x2xcos x；(2)ylg x；(3)y(x23)(exln x)；(4)yx2tan x；(5)y.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則解(1)y6xcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)y(lg x)(x2).(3)y(x23)(exln x)(x23)(exln x)2x(exln x)(x23)ex(x22x3)2xln xx.(4)因為yx2，所以y(x2)2x2x.(5)y.反思與感悟(1)先區(qū)分函數(shù)的運算特點，即函數(shù)的和、差、積、商，再根據導數(shù)的運算法則求導數(shù)(2)對于三個以上函數(shù)的積、商的導數(shù)，依次轉化為“兩個”函數(shù)的積、商的導數(shù)計算跟蹤訓練1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y；(2)y；(3)y(x1)(x3)(x5)考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則解(1)y23x1，y3x2.(2)方法一y.方法二y1，y.(3)方法一y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x218x23.方法二y(x1)(x3)(x5)(x24x3)(x5)x39x223x15，y(x39x223x15)3x218x23.類型二導數(shù)公式及運算法則的綜合應用例2(1)已知函數(shù)f(x)2xf(1)，試比較f(e)與f(1)的大小關系；(2)設f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，試確定常數(shù)a，b，c，d，使得f(x)xcos x.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用解(1)由題意得f(x)2f(1)，令x1，得f(1)2f(1)，即f(1)1.f(x)2x.f(e)2e2e，f(1)2，由f(e)f(1)2e2<0，得f(e)<f(1)(2)由已知得f(x)(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(cxd)cos x(axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x)asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x(acxd)sin x(axbc)cos x.又f(x)xcos x，即解得ad1，bc0.反思與感悟(1)中確定函數(shù)f(x)的解析式，需要求出f(1)，注意f(1)是常數(shù)(2)中利用待定系數(shù)法可確定a，b，c，d的值完成(1)(2)問的前提是熟練應用導數(shù)的運算法則跟蹤訓練2函數(shù)f(x)2f(1)x，則f(0)_.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案1解析對f(x)求導，得f(x)2f(1)2f(1)，令x1，得f(1)1，f(0)1.例3已知函數(shù)f(x)ax2bx3(a0)，其導函數(shù)為f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)設函數(shù)g(x)exsin xf(x)，求曲線g(x)在x0處的切線方程考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用解(1)因為f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02×087.又g(0)3，所以g(x)在x0處的切線方程為y37(x0)，即7xy30.反思與感悟(1)此類問題往往涉及切點、切點處的導數(shù)、切線方程三個主要元素其他的條件可以進行轉化，從而轉化為這三個要素間的關系(2)準確利用求導法則求出導函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確(3)分清已知點是否在曲線上，若不在曲線上，則要設出切點，這是解題時的易錯點跟蹤訓練3(1)設曲線y在點處的切線與直線xay10垂直，則a_.(2)設函數(shù)f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(1，g(1)處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(1，f(1)處切線的斜率為_考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案(1)1(2)4解析(1)y，當x時，y1.又直線xay10的斜率是，1，即a1.(2)曲線yg(x)在點(1，g(1)處的切線方程為y2x1，由導數(shù)的幾何意義知g(1)2.又f(x)g(x)x2，f(x)g(x)2x，即f(1)g(1)24，yf(x)在點(1，f(1)處切線的斜率為4.1設函數(shù)y2exsin x，則y等于()A2excos x B2exsin xC2exsin x D2ex(sin xcos x)考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則答案D解析y2(exsin xexcos x)2ex(sin xcos x)2曲線y在點M處的切線的斜率為()A B.C D.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案B解析y，故，曲線在點M處的切線的斜率為.3若函數(shù)f(x) f(1)x22x3，則f(1)的值為()A1 B0C1 D2考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案A解析因為f(x) f(1)x22x3，所以f(x)f(1)x2.所以f(1)f(1)×(1)2，所以f(1)1.4已知f(x)，若f(x0)f(x0)0，則x0_.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則答案解析因為f(x)(x0)所以由f(x0)f(x0)0，得0.解得x0.5在平面直角坐標系xOy中，若曲線yax2(a，b為常數(shù))過點P(2，5)，且該曲線在點P處的切線與直線7x2y30平行，則ab的值是_考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案3解析yax2的導數(shù)為y2ax，直線7x2y30的斜率為.由題意得解得則ab3.1導數(shù)的求法對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用首先，在化簡時，要注意化簡的等價性，避免不必要的運算失誤；其次，利用導數(shù)公式求函數(shù)的導數(shù)時，一定要將函數(shù)化為基本初等函數(shù)中的某一個，再套用公式求導數(shù)2和與差的運算法則可以推廣f(x1)±f(x2)±±f(xn)f(x1)±f(x2)±±f(xn)3積、商的求導法則(1)若c為常數(shù)，則cf(x)cf(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，(g(x)0)；(3)當f(x)1時，有(g(x)0)一、選擇題1下列運算中正確的是()A(ax2bxc)a(x2)b(x)B(sin x2x2)(sin x)2(x2)C.D(cos x·sin x)(sin x)cos x(cos x)cos x考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則答案A解析A項中，(ax2bxc)a(x2)b(x)正確；B項中，(sin x2x2)(sin x)2(x2)錯誤；C項中，錯誤；D項中，(cos x·sin x)(cos x)sin xcos x(sin x)錯誤2若函數(shù)y(a>0)在xx0處的導數(shù)為0，那么x0等于()Aa B±aCa Da2考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則答案B解析y，由xa20，得x0±a.3若函數(shù)f(x)exsin x，則此函數(shù)圖象在點(4，f(4)處的切線的傾斜角為()A. B0 C鈍角 D銳角考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案C解析f(x)exsin xexcos x，f(4)e4(sin 4cos 4)<4<，sin 4<0，cos 4<0，f(4)<0.由導數(shù)的幾何意義得，切線的傾斜角為鈍角4若f(x)x22x4ln x，則f(x)>0的解集為()A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則答案C解析f(x)x22x4ln x，f(x)2x2>0，整理得>0，解得1<x<0或x>2.又x>0，x>2.5函數(shù)f(x)xcos xsin x的導函數(shù)是()A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案B解析f(x)(xcos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x.令F(x)xsin x，xR，則F(x)xsin(x)xsin xF(x)，f(x)是偶函數(shù)6設曲線y在點(3,2)處的切線與直線axy10垂直，則a等于()A2 B. C D2考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案D解析y1，y，.a×1，即a2.7在下面的四個圖象中，其中一個圖象是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的導函數(shù)yf(x)的圖象，則f(1)等于()A. BC. D或考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案B解析f(x)x22ax(a21)，導函數(shù)f(x)的圖象開口向上，故其圖象必為.由圖象特征知f(0)0，且對稱軸a>0，a1，則f(1)11，故選B.二、填空題8設f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，若h(x)，則h(5)_.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)的運算法則答案解析由題意知f(5)5，f(5)3，g(5)4，g(5)1，h(x)，h(5).9已知某運動著的物體的運動方程為s(t)2t2(位移單位：m，時間單位：s)，則t1 s時物體的瞬時速度為_ m/s.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案5解析因為s(t)2t22t22t2，所以s(t)2·4t，所以s(1)1245，即物體在t1 s時的瞬時速度為5 m/s.10已知函數(shù)f(x)fcos xsin x，則f 的值為_考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案1解析f(x)fsin xcos x，ff×，得f1.f(x)(1)cos xsin x，f 1.11已知函數(shù)f(x)xln x，若直線l過點(0，1)，并且與曲線yf(x)相切，則直線l的方程為_考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案xy10解析點(0，1)不在曲線f(x)xln x上，設切點坐標為(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切點坐標為(1,0)，f(1)1ln 11.直線l的方程為yx1，即xy10.12已知曲線yxln x在點(1,1)處的切線與曲線yax2(a2)x1相切，則a_.考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案8解析由yxln x，得y1，得曲線在點(1,1)處的切線的斜率為k2，所以切線方程為y12(x1)，即y2x1.此切線與曲線yax2(a2)x1相切，消去y，得ax2ax20，所以a0且a28a0，解得a8.三、解答題13偶函數(shù)f(x)ax4bx3cx2dxe的圖象過點P(0,1)，且在x1處的切線方程為yx2，求f(x)的解析式考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用解f(x)的圖象過點P(0,1)，e1.又f(x)為偶函數(shù)，f(x)f(x)故ax4bx3cx2dxeax4bx3cx2dxe.b0，d0.f(x)ax4cx21.函數(shù)f(x)在x1處的切線方程為yx2，切點坐標為(1，1)ac11.f(x)|x14a2c，4a2c1.a，c.函數(shù)f(x)的解析式為f(x)x4x21.四、探究與拓展14在等比數(shù)列an中，a12，a84，函數(shù)f(x)x(xa1)·(xa2)(xa8)，則f(0)等于()A26 B29C215 D212考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用答案D解析f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa7)，f(0)a1·a2··a8(a1a8)484212.15設函數(shù)f(x)ax，曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)證明：曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0和直線yx所圍成的三角形的面積為定值，并求此定值考點導數(shù)的運算法則題點導數(shù)運算法則的綜合應用解(1)由7x4y120，得yx3.當x2時，y，f(2)，又f(x)a，f(2)，由得解得故f(x)x.(2)設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y1知，曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，從而得切線與直線x0的交點坐標為.令yx，得yx2x0，從而切線與直線yx的交點坐標為(2x0,2x0)所以點P(x0，y0)處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形面積為|2x0|6.故曲線yf(x)上任一點處的切線與直線x0，yx所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6. 15