2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第九章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 9-6 幾何概型 教案【教學目標】1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率2.了解幾何概型的意義.【重點難點】 1.教學重點：理解幾何概型的意義；2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學策略與方法】自主學習、小組討論法、師生互動法【教學過程】教學流程教師活動學生活動設計意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真: 1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率2.了解幾何概型的意義.真題再現(xiàn);1.(xx·全國，4)某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.解析如圖所示，畫出時間軸：小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB中，而當他的到達時間落在線段AC或DB時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P，故選B.答案B2.(xx·全國，10)從區(qū)間0，1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B. C. D.解析由題意得：(xi，yi)(i1，2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計算公式知，故選C.答案C知識梳理：知識點1幾何概型的定義如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型知識點2幾何概型的兩個基本特點1無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結果有無限多個2等可能性：每個試驗結果的發(fā)生具有等可能性知識點3幾何概型的概率公式P(A).1必會結論；在幾何概型中，概率為1的事件不一定是必然事件，概率為0的事件不一定是不可能事件2必知關系；幾何概型的兩種類型：(1)線型幾何概型：當基本事件只受一個連續(xù)的變量控制時的概型(2)面型幾何概型：當基本事件受兩個連續(xù)的變量控制時，一般是把兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決考點分項突破考點一：與長度、角度有關的幾何概型1.(xx·重慶高考)在區(qū)間0,5上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個負根的概率為_【解析】方程x22px3p20有兩個負根，解得<p1或p2.故所求概率P.【答案】2已知圓C：x2y212，直線l：4x3y25.圓C上任意一點A到直線l的距離小于2的概率為_【解析】圓心C(0,0)到直線l的距離d5.設圓C上點P1，P2到直線l的距離恰好為2，則圓心C到直線P1P2的距離為3，從而sinCP1P2，CP1P2，則P1CP2，記事件A為“在圓C上任取一點到直線l的距離小于2”，則事件A發(fā)生的區(qū)域的弧長為，故所求概率P.【答案】歸納：1與長度有關的幾何概型解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍當考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置2與角度有關的幾何概型當涉及射線的轉動，扇形中有關落點區(qū)域問題時，應以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率，事實上，當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比 考點二: 與體積有關的幾何概型(1)在棱長為2的正方體ABCD­A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD­A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_(2)在體積為V的三棱錐S­ABC的棱AB上任取一點P，則三棱錐S­APC的體積大于的概率是_【解析】(1)如圖，與點O距離等于1的點的軌跡是一個半球面，其體積V1××13.事件“點P與點O距離大于1的概率”對應的區(qū)域體積為23，根據(jù)幾何概型概率公式得，點P與點O的距離大于1的概率P1.(2)如圖，三棱錐S­ABC與三棱錐S­APC的高相同，要使三棱錐S­APC的體積大于，只需APC的面積大于ABC面積的.假設點P是線段AB靠近點A的三等分點，記事件M為“三棱錐S­APC的體積大于”，則事件M發(fā)生的區(qū)域是線段PB.從而P(M).【答案】(1)1(2)跟蹤訓練：1.如圖，長方體ABCD­A1B1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐A­A1BD內(nèi)的概率為_【解析】設事件M為“動點在三棱錐A­A1BD內(nèi)”，P(M).【答案】歸納：與體積有關的幾何概型對于與體積有關的幾何概型問題，關鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復雜的也可利用其對立事件去求考點三: 與面積有關的幾何概型命題角度1與三角形、矩形、圓等平面圖形面積有關的問題1(xx·福建高考)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.【解析】因為f(x)B點坐標為(1,0)，所以C點坐標為(1,2)，D點坐標為(2,2)，A點坐標為(2,0)，故矩形ABCD的面積為2×36，陰影部分的面積為×3×1，故P.【答案】B命題角度2與線性規(guī)劃或復數(shù)交匯命題的問題2(xx·湖北高考)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域記為2，在1中隨機取一點，則該點恰好在2內(nèi)的概率為()A. B. C. D.【解析】如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P.【答案】D命題角度3與定積分交匯命題的問題3(xx·福建高考)如圖，點A的坐標為(1,0)，點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_【解析】由題意知，陰影部分的面積S(4x2)dx，所求概率P.【答案】。學生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。引導學生通過對基礎知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎.在解題中注意引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和教師引導學生及時總結，以幫助學生形成完整的認知結構引導學生對所學的知識進行小結，由利于學生對已有的知識結構進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結：1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率2.了解幾何概型的意義.學生回顧，總結.引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調(diào)控打下良好的基礎。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學生版練與測學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。