2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 專題五 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積限時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)空間幾何體的三視圖1,2,9,11幾何體的表面積和體積3,6由三視圖求幾何體的表面積和體積4,5,7,10,12與球有關(guān)的接、切問(wèn)題8,13,14一、選擇題1.一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為(A)解析:在空間直角坐標(biāo)系中作出四面體OABC的直觀圖如圖所示,作頂點(diǎn)A,C在zOx平面的投影是A,C,可得四面體的正視圖.故選A.2.(2018·寧德二模)某幾何體的三視圖如圖所示,若該幾何體的體積為2,則圖中x的值為(A)(A)1(B)(C)(D)解析:三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體的直觀圖如圖所示.幾何體的體積為××2x×2=2,解得x=1.故選A.3.(2018·山西省八校一聯(lián))軸截面為正方形的圓柱的外接球的體積與該圓柱的體積的比值為(C)(A)(B)(C) (D)2解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,由題意可知圓柱的高h(yuǎn)=2r.設(shè)外接球的半徑為R,則r2+r2=R2,故R=r.則圓柱的體積V1=r2h=2r3,外接球的體積V2=R3=r3,所以=.故選C.4.(2018·安徽省知名示范高中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(C)(A)1(B)(C)(D)解析:法一該幾何體的直觀圖為四棱錐SABCD,如圖,SD平面ABCD,且SD=1,四邊形ABCD是平行四邊形,且AB=DC=1,連接BD,由題意知BDDC,BDAB,且BD=1,所以S四邊形ABCD=1,所以=S四邊形ABCD·SD=.故選C.法二由三視圖易知該幾何體為錐體,所以V=Sh,其中S指的是錐體的底面積,即俯視圖中四邊形的面積,易知S=1,h指的是錐體的高,從正視圖和側(cè)視圖易知h=1,所以V=Sh=.故選C.5.(2018·遼寧模擬)一個(gè)正三棱柱(底面是正三角形,高等于側(cè)棱長(zhǎng))的三視圖如圖所示,這個(gè)正三棱柱的表面積是(D)(A)8 (B)24(C)4+24 (D)8+24解析:由正視圖知,三棱柱是以底面邊長(zhǎng)為4,高為2的正三棱柱,所以底面積為2××42=8,側(cè)面積為3×4×2=24,所以其表面積為24+8.故選D.6.(2018·太原市一模)已知三棱錐DABC中,CD底面ABC,ABC為正三角形,若AECD,AB=CD=AE=2,則三棱錐DABC與三棱錐EABC的公共部分構(gòu)成的幾何體的體積為(B)(A) (B) (C) (D)解析:設(shè)ADCE=F,因?yàn)镃D=AE,所以F為CE的中點(diǎn),則三棱錐FABC為三棱錐DABC與三棱錐EABC的公共部分,如圖,取AC的中點(diǎn)M,連接FM,則FM=1,且FM底面ABC,故FM為三棱錐FABC的高.SABC=×22=,故=××1=.故選B.7.祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢(shì)”是幾何體的高,意思是兩個(gè)同高的幾何體,如在等高處截面的面積恒相等,則體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的幾何體滿足“冪勢(shì)同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為(C)(A) (B)3 (C) (D)6解析:三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐,其長(zhǎng)為5,寬為,由側(cè)視圖知其高為=,三棱錐的體積為V=××5××=,所以所求不規(guī)則幾何體的體積為.故選C.8.(2018·惠州市第二次調(diào)研)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)全等的等腰直角三角形且直角邊長(zhǎng)都等于1,則該幾何體的外接球的體積為(B)(A) (B) (C)3 (D)解析:還原幾何體為三棱錐ABCD,將其放入棱長(zhǎng)為1的正方體中,如圖所示,則三棱錐ABCD外接球的半徑R=,該幾何體的外接球的體積V=R3=.故選B.9.(2018·武漢市四月調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示,則從該幾何體的所有頂點(diǎn)中任取兩個(gè)頂點(diǎn),它們之間距離的最大值為(B)(A)(B)(C)2(D)2解析:由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)四棱柱,記為四棱柱ABCDA1B1C1D1,將其放在如圖所示的長(zhǎng)方體中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,四棱柱的高為1,連接AC1,觀察圖形可知,幾何體中兩頂點(diǎn)間距離的最大值為AC1的長(zhǎng),即=.故選B.10.(2018·鄭州市一中入學(xué)測(cè)試)某工件的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過(guò)切削,加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為（材料利用率=）(A)(A) (B)(C)(D)解析:依題意知,題中的工件形狀是一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓錐,設(shè)新工件的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,截去的小圓錐的底面半徑、高分別為r,h,則有a2+b2=4r2,h=2r,設(shè)長(zhǎng)方體的體積為abc=ab(2-2r)=4r2(1-r).設(shè)f(r)=4r2(1-r),則有f(r)=4r(2-3r),當(dāng)0<r<時(shí),f(r)>0,當(dāng)<r<1時(shí),f(r)<0,因此f(r)=4r2(1-r)的最大值是f（）=,則原工件材料的利用率為÷（×12×2）=.故選A.二、填空題11.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為. 解析:三視圖所表示的幾何體的直觀圖如圖所示.結(jié)合三視圖知,PA平面ABC,PA=2,AB=BC=,AC=2.所以PB=,PC=2,所以該三棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為2.答案:212.(2018·溫州二模)某幾何體的三視圖如圖所示,正視圖為邊長(zhǎng)2的正方形(單位:cm),則該幾何體的體積是 cm3,表面積是cm2. 解析:由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為圓柱截去一部分,圓柱底面半徑為1 cm,母線長(zhǎng)為2 cm,則該幾何體的體積V=××12×2=(cm3),表面積為2×12+×2×1×2+2×1=(5+2)(cm2).答案:5+213.(2018·德州二模)如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體外接球的表面積為. 解析:如圖,幾何體為四棱錐PABCD,其中底面ABCD為邊長(zhǎng)為2的正方形,頂點(diǎn)P在底面ABCD的射影為CD的中點(diǎn)M,設(shè)底面中心為O,由側(cè)視圖可知PM=1,PMCD,所以O(shè)M=AD=1,故OP=,又OA=OB=OC=OD=,所以O(shè)為幾何體的外接球球心,球的半徑為,所以外接球的表面積S=4·()2=8.答案:814.(2018·武漢市四月調(diào)研)在四面體ABCD中,AC=CB=AB=AD=BD=1,且平面ABC平面ABD,則四面體ABCD的外接球半徑R=. 解析:如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接DG,CG,由題意,知ABC與ABD均為正三角形,則四面體ABCD的外接球球心O在過(guò)ABC的重心O1,且與平面ABC垂直的直線上,同時(shí)也在過(guò)ABD的重心O2,且與平面ABD垂直的直線上,易知四邊形OO1GO2為正方形.在ABC中,O1C=CG=×AB=,O1G=CG=×AB=,則OO1=,連接OC,則OC=,故四面體ABCD的外接球的半徑為.答案: