§1.6微積分基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.直觀了解并掌握微積分基本定理的含義.2.會利用微積分基本定理求函數(shù)的積分知識點(diǎn)一微積分基本定理(牛頓萊布尼茨公式)思考已知函數(shù)f(x)2x1，F(xiàn)(x)x2x，則(2x1)dx與F(1)F(0)有什么關(guān)系？答案由定積分的幾何意義知，(2x1)dx×(13)×12，F(xiàn)(1)F(0)2，故(2x1)dxF(1)F(0)梳理(1)微積分基本定理條件：f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)；結(jié)論：f(x)dxF(b)F(a)；符號表示：f(x)dxF(x)|F(b)F(a)(2)常見的原函數(shù)與被積函數(shù)關(guān)系cdxcx|(c為常數(shù))xndx(n1)sin xdxcos x|.cos xdxsin x|.dxln x|(b>a>0)exdxex|.axdx(a>0且a1)dx(b>a>0)知識點(diǎn)二定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系思考定積分與曲邊梯形的面積一定相等嗎？答案當(dāng)被積函數(shù)f(x)0恒成立時，定積分與曲邊梯形的面積相等，若被積函數(shù)f(x)0不恒成立，則不相等梳理設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，在x軸下方的面積為S下，則(1)當(dāng)曲邊梯形在x軸上方時，如圖，則f(x)dxS上(2)當(dāng)曲邊梯形在x軸下方時，如圖，則f(x)dxS下(3)當(dāng)曲邊梯形在x軸上方，x軸下方均存在時，如圖，則f(x)dxS上S下特別地，若S上S下，則f(x)dx0.1若F(x)f(x)，則F(x)唯一(×)2微積分基本定理中，被積函數(shù)f(x)是原函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)()3應(yīng)用微積分基本定理求定積分的值時，被積函數(shù)在積分區(qū)間上必須是連續(xù)函數(shù)()類型一求定積分例1計算下列定積分(1)(2xex)dx；(2)dx；(3)(4)(x3)(x4)dx.考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分題點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分解(1)(2xex)dx(x2ex)|(1e1)(0e0)e.(2)dx(ln x3sin x)|(ln 23sin 2)(ln 13sin 1)ln 23sin 23sin 1.(3)212sin cos 1sin x，(0cos 0)1.(4)(x3)(x4)x27x12，(x3)(x4)dx(x27x12)dx0.反思與感悟(1)當(dāng)被積函數(shù)為兩個函數(shù)的乘積或乘方形式時一般要轉(zhuǎn)化為和的形式，便于求得原函數(shù)F(x)(2)由微積分基本定理求定積分的步驟第一步：求被積函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)F(x)；第二步：計算函數(shù)的增量F(b)F(a)跟蹤訓(xùn)練1計算下列定積分(1)dx；(2)；(3)(1)dx.考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分題點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分解(1)dxln 2.(2)sin x1.(3)(1)dx(x)dx.例2(1)若f(x)求(2)計算定積分|32x|dx.考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分解(1)x2dx又因為x2，(sin xx)cos x1，所以原式(sin xx)(sin 00).(2)|32x|dx(3xx2)(x23x).反思與感悟分段函數(shù)定積分的求法(1)利用定積分的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為各區(qū)間上定積分的和計算(2)當(dāng)被積函數(shù)含有絕對值時，常常去掉絕對值號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的定積分再計算跟蹤訓(xùn)練2(1)e|x|dx_.考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分答案2e2解析e|x|dxexdxexdxex|ex|e0e1e1e02e2.(2)已知f(x)求f(x)dx.考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分解f(x)dx(2xex)dxdx(x2ex)|(1e)(0e0)eln 2.類型二利用定積分求參數(shù)例3(1)已知t>0，f(x)2x1，若f(x)dx6，則t_.(2)已知2(kx1)dx4，則實數(shù)k的取值范圍為_考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利用微積分基本定理求參數(shù)答案(1)3(2)解析(1)f(x)dx(2x1)dxt2t6，解得t3或2，t>0，t3.(2)(kx1)dxk1.由2k14，得k2.引申探究1若將例3(1)中的條件改為f(x)dxf ，求t.解由f(x)dx(2x1)dxt2t，又f t1，t2tt1，得t1.2若將例3(1)中的條件改為f(x)dxF(t)，求F(t)的最小值解F(t)f(x)dxt2t2(t>0)，當(dāng)t時，F(xiàn)(t)min.反思與感悟(1)含有參數(shù)的定積分可以與方程、函數(shù)或不等式綜合起來考查，先利用微積分基本定理計算定積分是解決此類綜合問題的前提(2)計算含有參數(shù)的定積分，必須分清積分變量與被積函數(shù)f(x)、積分上限與積分下限、積分區(qū)間與函數(shù)F(x)等概念跟蹤訓(xùn)練3(1)已知x(0,1，f(x)(12x2t)dt，則f(x)的值域是_(2)設(shè)函數(shù)f(x)ax2c(a0)若f(x)dxf(x0)，0x01，則x0的值為_考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利用微積分基本定理求參數(shù)答案(1)0,2)(2)解析(1)f(x)(12x2t)dt(t2xtt2)|2x2(x(0,1)f(x)的值域為0,2)(2)f(x)dx(ax2c)dxc.又f(x0)axc，ax，即x0或.0x01，x0.1若dx3ln 2，則a的值是()A5 B4 C3 D2考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利用微積分基本定理求參數(shù)答案D解析dx2xdxdxx2|ln x|a21ln a3ln 2，解得a2.2等于()A B C. D.考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分題點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分答案D解析sin .3設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. B.C. D不存在考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分答案C解析f(x)dxx2dx(2x)dx.4已知函數(shù)f(x)xnmx的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x2，則f(x)dx_.考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)微積分基本定理的綜合應(yīng)用答案解析f(x)xnmx的導(dǎo)函數(shù)f(x)2x2，nxn1m2x2，解得n2，m2，f(x)x22x，則f(x)x22x，f(x)dx(x22x)dx991.5已知f(x)計算：f(x)dx.解f(x)dx取F1(x)2x22x，則F1(x)4x2；取F2(x)sin x，則F2(x)cos x.所以(2x22x)sin x21，即f(x)dx21.1求定積分的一些常用技巧(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分(2)若被積函數(shù)是分段函數(shù)，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要去掉絕對值符號才能積分2由于定積分的值可取正值，也可取負(fù)值，還可以取0，而面積是正值，因此不要把面積理解為被積函數(shù)對應(yīng)圖形在某幾個區(qū)間上的定積分之和，而是在x軸下方的圖形面積要取定積分的相反數(shù).一、選擇題1dx等于()Ae2ln 2 Be2eln 2Ce2eln 2 De2eln 2考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分題點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分答案D解析(exln x)|(e2ln 2)(eln 1)e2eln 2.2若2，則實數(shù)a等于()A1 B1C D.考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利用微積分基本定理求參數(shù)答案A解析(cos xasin x)0a(10)1a2，a1，故選A.3若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()AS1<S2<S3 BS2<S1<S3CS2<S3<S1 DS3<S2<S1考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分題點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分答案B解析因為S1x2dx×23，S2dxln x|ln 2，S3exdxex|e2ee(e1)又ln 2<ln e1，且<2.5<e(e1)，所以ln 2<<e(e1)，即S2<S1<S3.4|x24|dx等于()A. B.C. D.考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分答案C解析|x24|x24|dx(x24)dx(4x2)dx388.5若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)g(x)dx0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)給出三組函數(shù)：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中為區(qū)間1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)為()A0 B1 C2 D3考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)微積分基本定理的綜合應(yīng)用答案C解析對于，sinxcosxdxsin xdx0，所以是區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)；對于，(x1)(x1)dx(x21)dx0，所以不是區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)；對于，x·x2dxx3dx0，所以是區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)6若f(x)x22f(x)dx，則f(x)dx等于()A B1C. D1考點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分題點(diǎn)利用微積分基本定理求定積分答案A解析f(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx，f(x)dx.二、填空題7設(shè)f(x)則f(x)dx_.考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分答案sin 1解析f(x)dxx2dx(cos x1)dx(sin xx)|(sin 11)(sin 00)sin 1.8已知f(x)3x22x1，若f(x)dx2f(a)成立，則a_.考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利用微積分基本定理求參數(shù)答案1或解析f(x)dx(x3x2x)|4，2f(a)6a24a2，由題意得6a24a24，解得a1或.9.從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為_考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)微積分基本定理的綜合應(yīng)用答案解析長方形的面積為S13，S陰3x2dxx3|1，則P.10設(shè)f(x)若f(f(1)1，則a_.考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利用微積分基本定理求參數(shù)答案1解析因為x1>0，所以f(1)lg 10.又當(dāng)x0時，f(x)x3t2dtxt3|xa3，所以f(0)a3.因為f(f(1)1，所以a31，解得a1.11設(shè)f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx5，xf(x)dx，則f(x)的解析式為_考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)利用微積分基本定理求參數(shù)答案f(x)4x3解析f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)axb(a0)，f(x)dx(axb)dxaxdxbdxab5，xf(x)dxx(axb)dx(ax2)dxbxdxab.解得f(x)4x3.12已知，則當(dāng)(cos xsin x)dx取最大值時，_.考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)微積分基本定理的綜合應(yīng)用答案解析(cos xsin x)dx(sin xcos x)|sin cos 1sin1.，則，當(dāng)，即時，sin1取得最大值三、解答題13已知f(x)(12t4a)dt，F(xiàn)(a)f(x)3a2dx，求函數(shù)F(a)的最小值考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)微積分基本定理的綜合應(yīng)用解因為f(x)(12t4a)dt(6t24at)|6x24ax(6a24a2)6x24ax2a2，F(xiàn)(a)f(x)3a2dx(6x24axa2)dx(2x32ax2a2x)|a22a2(a1)211.所以當(dāng)a1時，F(xiàn)(a)取到最小值為1.四、探究與拓展14已知函數(shù)f(x)則f(x)dx等于()A. B.C. D.考點(diǎn)分段函數(shù)的定積分題點(diǎn)分段函數(shù)的定積分答案B解析f(x)dx(x1)2dxdx，(x1)2dx，dx以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，故dx，故f(x)dx.15已知f(x)是f(x)在(0，)上的導(dǎo)數(shù)，滿足xf(x)2f(x)，且x2f(x)ln xdx1.(1)求f(x)的解析式；(2)當(dāng)x>0時，證明不等式2ln xex22.考點(diǎn)微積分基本定理的應(yīng)用題點(diǎn)微積分基本定理的綜合應(yīng)用(1)解由xf(x)2f(x)，得x2f(x)2xf(x)，即x2f(x)，所以x2f(x)ln xc(c為常數(shù))，即x2f(x)ln xc.又x2f(x)ln xdx1，即cdx1，所以cx|1，所以2cc1，所以c1.所以x2f(x)ln x1，所以f(x).(2)證明由(1)知f(x)(x>0)，所以f(x)，當(dāng)f(x)0時，x，f(x)>0時，0<x<，f(x)<0時，x>，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減所以f(x)max ，所以f(x)，即2ln xex22.15