3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量夾角的概念及表示方法.2.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算與運(yùn)算律.3.掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積在判斷向量共線與垂直中的應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一空間向量的夾角思考a，b與b，a相等嗎？答案a，b與b，a分別表示向量a，b與b，a的夾角，根據(jù)空間向量夾角的定義知a，b與b，a相等梳理(1)如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a，b的夾角，記作a，b(2)a，b為非零向量，a，bb，a，a與b的夾角的范圍是0，其中當(dāng)a，b0時(shí)，a與b方向相同；當(dāng)a，b時(shí)，a與b方向相反；當(dāng)a，b時(shí)，a與b互相垂直反之，若ab，則a，b0或；若ab，則a，b.知識(shí)點(diǎn)二數(shù)量積的概念及運(yùn)算律1已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a|b|cosa，b叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b|a|b|cosa，b2空間向量數(shù)量積的性質(zhì)(1)aba·b0.(2)|a|2a·a，|a|.(3)cosa，b.3空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)(a)·b(a·b)(2)a·bb·a(交換律)(3)a·(bc)a·ba·c(分配律)特別提醒：不滿足結(jié)合律(a·b)·ca·(b·c)(1)對(duì)于非零向量b，由a·bb·c，可得ac.(×)(2)對(duì)于向量a，b，c，有(a·b)·ca·(b·c)(×)(3)若非零向量a，b為共線且同向的向量，則a·b|a|b|.()(4)對(duì)任意向量a，b，滿足|a·b|a|b|.()類型一數(shù)量積的計(jì)算例1如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點(diǎn)用定義求數(shù)量積解(1)··|·cos，cos 60°.(2)··|2.(3)··|·|cos，cos 120°.(4)··()··|cos，|cos，cos 60°cos 60°0.反思與感悟(1)已知a，b的模及a與b的夾角，直接代入數(shù)量積公式計(jì)算(2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項(xiàng)式形式的數(shù)量積，可以先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將多項(xiàng)式展開，再利用a·a|a|2及數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算跟蹤訓(xùn)練1已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)試計(jì)算：(1)·；(2)·；(3)·.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點(diǎn)用定義求數(shù)量積解如圖，設(shè)a，b，c，則|a|c|2，|b|4，a·bb·cc·a0.(1)·b·|b|24216.(2)··(ac)|c|2|a|222220.(3)··(abc)·|a|2|b|22.類型二利用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題例2(1)已知空間四邊形ABCD中，ABCD，ACBD，那么AD與BC的位置關(guān)系為_(填“平行”或“垂直”)考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案垂直解析·()·()··2··()·0，AD與BC垂直(2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O平面GBD.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積的綜合應(yīng)用證明設(shè)a，b，c，則a·b0，b·c0，a·c0，|a|b|c|.()cab，ba，()abc··(ba)c·bc·aa·ba2b2b·a(b2a2)(|b|2|a|2)0.于是，即A1OBD.同理可證，即A1OOG.又OGBDO，OG平面GBD，BD平面CBD，A1O平面GBD.反思與感悟(1)證明線線垂直的方法證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來(lái)判斷兩直線是否垂直(2)證明與空間向量a，b，c有關(guān)的向量m，n垂直的方法先用向量a，b，c表示向量m，n，再判斷向量m，n的數(shù)量積是否為0.跟蹤訓(xùn)練2如圖，在空間四邊形OACB中，OBOC，ABAC，求證：OABC.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積的綜合應(yīng)用證明因?yàn)镺BOC，ABAC，OAOA，所以O(shè)ACOAB，所以AOCAOB.又··()··|·|cosAOC|·|cosAOB0，所以，即OABC.類型三利用數(shù)量積解決空間角或距離問(wèn)題命題角度1解決角度問(wèn)題例3在空間四邊形OABC中，連接AC，OB，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，求向量與所成角的余弦值考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求角解，···|·cos，|·cos，8×4×cos135°8×6×cos120°2416，cos，.反思與感悟求兩個(gè)空間向量a，b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法，利用公式cosa，b，在具體的幾何體中求兩向量的夾角時(shí)，可把其中一個(gè)向量的起點(diǎn)平移至與另一個(gè)向量的起點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求異面直線A1B與AC所成的角考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求解解不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，設(shè)a，b，c，則|a|b|c|1，a·bb·cc·a0，ac，ab.·(ac)·(ab)|a|2a·ba·cb·c1，而|，cos，(0°，180°)，60°.因此，異面直線A1B與AC所成的角為60°.命題角度2求空間中的兩點(diǎn)間的距離例4如圖，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)解設(shè)a，b，c.由題意，知|a|b|c|2，且a，b60°，a，cb，c90°.因?yàn)閍bc，所以|22a2b2c22×22×22222××2×2cos 60°11415，所以|，即EF.反思與感悟求解距離問(wèn)題時(shí)，先選擇以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量，將此向量表示為幾個(gè)向量和的形式，求出這幾個(gè)已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模，利用公式|a|求解即可跟蹤訓(xùn)練4在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90°，BAA1DAA160°，求AC1的長(zhǎng)考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)解因?yàn)?，所?)2222(···)因?yàn)锽AD90°，BAA1DAA160°，所以1492×(1×3×cos 60°2×3×cos 60°)23.因?yàn)閨2，所以|223，則|，即AC1.1對(duì)于向量a，b，c和實(shí)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是()A若a·b0，則a0或b0B若a0，則0或a0C若a2b2，則ab或abD若a·ba·c，則bc考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點(diǎn)數(shù)量積的性質(zhì)答案B解析結(jié)合向量的運(yùn)算，只有B正確2已知向量a，b是平面內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個(gè)方向向量，則“c·a0且c·b0”是“l(fā)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案B解析若ab，則不一定得到l，反之成立3已知|a|2，|b|3，a，b60°，則|2a3b|等于()AB97CD61考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)答案C解析|2a3b|24a212a·b9b24×2212×2×3×cos 60°9×3261，|2a3b|.4已知a，b為兩個(gè)非零空間向量，若|a|2，|b|，a·b，則a，b_.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求角答案解析cosa，b，a，b0，a，b.5已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為_考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)答案解析|22()22222(···)1222122×(1×2×cos120°02×1×cos120°)2，|，EF的長(zhǎng)為.1空間向量運(yùn)算的兩種方法(1)利用定義：利用a·b|a|b|cosa，b并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算(2)利用圖形：計(jì)算兩個(gè)數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算2在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積(3)代入a·b|a|b|cosa，b求解一、選擇題1已知非零向量a，b不平行，并且其模相等，則ab與ab之間的關(guān)系是()A垂直B共線C不垂直D以上都可能考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)題點(diǎn)數(shù)量積的性質(zhì)答案A解析由題意知|a|b|，(ab)·(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)2已知向量a，b滿足條件：|a|2，|b|，且a與2ba互相垂直，則a，b等于()A30°B45°C60°D90°考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求角答案B解析根據(jù)a·(2ba)0，即2a·b|a|24，解得a·b2，又cosa，b，又a，b0°，180°，a，b45°，故選B.3若向量m垂直于向量a和b，向量nab(，R且，0)，則()AmnBmnCm不平行于n，m也不垂直于nD以上三種情況都有可能考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案B4設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知(2)·()0，則ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等邊三角形考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點(diǎn)用定義求數(shù)量積答案B解析由(2)·()()·()()·()|2|20，得|，故ABC為等腰三角形5已知a，b，c是兩兩垂直的單位向量，則|a2b3c|等于()A14B.C4D2考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)答案B解析|a2b3c|2|a|24|b|29|c|24a·b6a·c12b·c14，|a2b3c|.6在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是()A.·B.·C.·D.·考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點(diǎn)數(shù)量積的性質(zhì)答案D解析選項(xiàng)A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時(shí)，可得AD1A1D，而A1DB1C，所以AD1B1C，此時(shí)有·0；選項(xiàng)B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，可得ACBD，又ACBB1，BDBB1B，可得AC平面BB1D1D，故有ACBD1，此時(shí)·0；選項(xiàng)C，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得AB平面ADD1A1，所以ABAD1，所以·0，故選D.7在正方體ABCDA1B1C1D1中，有下列命題：()232；·()0；與的夾角為60°.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D0考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點(diǎn)數(shù)量積的性質(zhì)答案B解析正確；與的夾角為120°，不正確，故選B.二、選擇題8已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則·_.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案a2解析如圖，·()·()···|2000a2a2.9已知空間向量a，b，|a|3，|b|5，mab，nab，a，b135°，若mn，則的值為_考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)數(shù)量積的綜合應(yīng)用答案解析由題意知a·b|a|b|cosa，b3×5×15，由mn，得(ab)·(ab)0，即|a|2a·ba·b|b|21815(1)250.解得.10已知a，b是空間兩個(gè)向量，若|a|2，|b|2，|ab|，則cosa，b_.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求角答案解析將|ab|化為(ab)27，求得a·b，再由a·b|a|b|cosa，b求得cosa，b.11已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60°，那么|a3b|_.考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)答案解析|a3b|2(a3b)2a26a·b9b216×cos60°913，|a3b|.三、解答題12在平行六面體ABCDEFGH中，已知M，N，R分別是AB，AD，AE上的點(diǎn)，且AMMB，ANND，AR2RE，求平面MNR分對(duì)角線AG所得線段AP與PG的比考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)解如圖，設(shè)m，因?yàn)?3，所以2m3mm，由于P，M，R，N共面，所以2m3mm1，得m.即，.13直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90°，D，E分別為棱AB，BB的中點(diǎn)(1)求證：CEAD；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求角(1)證明設(shè)a，b，c，根據(jù)題意得|a|b|c|，且a·bb·cc·a0，bc，cba，·c2b20，即CEAD.(2)ac，|a|，|a|，·(ac)·c2|a|2，cos，即異面直線CE與AC所成角的余弦值為.四、探究與拓展14等邊ABC中，P在線段AB上，且，若··，則實(shí)數(shù)的值為_考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)題點(diǎn)空間向量數(shù)量積定義答案1解析如圖，故·()·|2|cos A·()·(1)(1)|2，設(shè)|a(a0)，則a2a2(1)a2，解得1.15如圖所示，已知線段AB在平面內(nèi)，線段AC，線段BDAB，且AB7，ACBD24，線段BD與所成的角為30°，求CD的長(zhǎng)考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用題點(diǎn)利用數(shù)量積求線段長(zhǎng)解由AC，可知ACAB，過(guò)點(diǎn)D作DD1，D1為垂足，連接BD1，則DBD1為BD與所成的角，即DBD130°，所以BDD160°，因?yàn)锳C，DD1，所以ACDD1，所以，60°，所以，120°.又，所以|2()2|2|2|22·2·2·.因?yàn)锽DAB，ACAB，所以·0，·0.故|2|2|2|22·242722422×24×24×cos 120°625，所以|25.15