第2課時(shí)雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與雙曲線的位置關(guān)系.2.會(huì)求解弦長(zhǎng)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一直線與雙曲線的位置關(guān)系思考直線與圓(橢圓)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線與圓(橢圓)相切，那么，直線與雙曲線相切，能用這個(gè)方法判斷嗎？答案不能梳理設(shè)直線l：ykxm(m0)，雙曲線C：1(a0，b0)，把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)當(dāng)b2a2k20，即k±時(shí)，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)(2)當(dāng)b2a2k20，即k±時(shí)，(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相交；0直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相切；0直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，此時(shí)稱直線與雙曲線相離知識(shí)點(diǎn)二弦長(zhǎng)公式若斜率為k(k0)的直線與雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|.(1)若直線與雙曲線交于一點(diǎn)，則直線與雙曲線相切(×)(2)過(guò)點(diǎn)A(1,0)作直線l與雙曲線x2y21只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線可作2條(×)(3)直線l：yx與雙曲線C：2x2y22有兩個(gè)公共點(diǎn)()類型一直線與雙曲線位置關(guān)系例1已知雙曲線x2y24，直線l：yk(x1)，試確定滿足下列條件的實(shí)數(shù)k的取值范圍(1)直線l與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；(2)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線l與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系解聯(lián)立消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)當(dāng)1k20，即k±1時(shí)，(2k2)24(1k2)(k24)4×(43k2)(1)由得k且k±1，此時(shí)方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(2)由得k±，此時(shí)方程(*)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)1k20，即k±1時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，方程(*)化為2x5，故方程(*)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線相交，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)故當(dāng)k±或±1時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)由得k或k，此時(shí)方程(*)無(wú)實(shí)數(shù)解，即直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)反思與感悟(1)解決直線與雙曲線的公共點(diǎn)問(wèn)題，不僅要考慮判別式，更要注意二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，直線與漸近線平行的特殊情況(2)雙曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)的題目，應(yīng)分兩種情況討論：雙曲線與直線相切或直線與雙曲線的漸近線平行(3)注意對(duì)直線l的斜率是否存在進(jìn)行討論跟蹤訓(xùn)練1已知雙曲線x21，過(guò)點(diǎn)P(1,1)的直線l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線l的斜率k.考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系解當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l：x1與雙曲線相切，符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)1，代入雙曲線方程，得(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.當(dāng)4k20時(shí)，k±2，l與雙曲線的漸近線平行，l與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)4k20時(shí)，令0，得k.綜上，k或k±2或k不存在類型二弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)弦問(wèn)題例2過(guò)雙曲線x21的左焦點(diǎn)F1作傾斜角為的弦AB，求|AB|的長(zhǎng)考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)與三角形面積解易得雙曲線的左焦點(diǎn)F1(2,0)，直線AB的方程為y(x2)，與雙曲線方程聯(lián)立，得8x24x130.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|AB|·×3.反思與感悟解決中點(diǎn)弦問(wèn)題常用判別式法和點(diǎn)差法，注意所求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題跟蹤訓(xùn)練2設(shè)A，B為雙曲線x21上的兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1,2)求：(1)直線AB的方程；(2)OAB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn))考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)與三角形面積解(1)顯然直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y2k(x1)，即ykx2k.由消去y，整理得(2k2)x22k(2k)xk24k60.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，解得k1.當(dāng)k1時(shí)，滿足0，直線AB的方程為yx1.(2)由(1)得x1x22，x1x23，|AB|·×4.又O到直線AB的距離d，SAOB|AB|·d×4×2.類型三直線與雙曲線位置關(guān)系的綜合問(wèn)題例3直線l：ykx1與雙曲線C：2x2y21的右支交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的其他問(wèn)題解(1)將直線l的方程ykx1代入雙曲線C的方程2x2y21，整理得(k22)x22kx20，依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)，故解得k的取值范圍為2k.(2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則由式，得假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F，則FAFB，y1y20，即(kx11)·(kx21)0，(1k2)x1x2(x1x2)0，(1k2)··0，化簡(jiǎn)得5k22k60，解得k或k(舍去)，可知k使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)反思與感悟解決綜合問(wèn)題時(shí)，可以仿照橢圓的處理思路，借助于方程思想，將問(wèn)題進(jìn)行化歸，然后利用直線與雙曲線位置關(guān)系進(jìn)行求解跟蹤訓(xùn)練3已知雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線的方程為yx，右焦點(diǎn)F到直線x的距離為.(1)求雙曲線C的方程；(2)斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B，D兩點(diǎn)，已知A(1,0)，若·1，證明：過(guò)A，B，D三點(diǎn)的圓與x軸相切考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的其他問(wèn)題(1)解依題意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，雙曲線C的方程為x21.(2)證明設(shè)直線l的方程為yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中點(diǎn)為M，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又·1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，·(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，過(guò)A，B，D三點(diǎn)的圓以點(diǎn)M為圓心，BD為直徑，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，MAx軸，過(guò)A，B，D三點(diǎn)的圓與x軸相切.1雙曲線1的焦點(diǎn)到漸近線的距離為()A2B2C.D1考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的漸近線方程答案A解析雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(4,0)，其中一條漸近線方程為yx，點(diǎn)F到xy0的距離為2.2“直線與雙曲線有唯一交點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系答案B3直線yx1被雙曲線2x2y23所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()A(1,2) B(2，1)C(1，2) D(2,1)考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系答案C解析將yx1代入2x2y23，得x22x40，由此可得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，故選C.4過(guò)點(diǎn)A(3，1)且被A點(diǎn)平分的雙曲線y21的弦所在的直線方程是_考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的其他問(wèn)題答案3x4y50解析易知所求直線的斜率存在，設(shè)為k，設(shè)該直線的方程為y1k(x3)，代入y21，消去y得關(guān)于x的一元二次方程(14k2)x2(24k28k)x36k224k80，6，k，所求直線方程為3x4y50.5過(guò)雙曲線x21的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若|AB|4，則滿足條件的直線l有_條考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)與三角形面積答案3解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為x，由得y±2，|AB|y1y2|4，滿足題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為yk(x)，由得(2k2)x22k2x3k220.當(dāng)2k20時(shí)，x1x2，x1x2，|AB|4，解得k±.故滿足條件的直線l有3條雙曲線的綜合問(wèn)題常涉及其離心率、漸近線、范圍等，與向量、三角函數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力(1)當(dāng)與向量知識(shí)結(jié)合時(shí)，注意運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問(wèn)題與條件建立關(guān)系求解(2)當(dāng)與直線有關(guān)時(shí)，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)關(guān)系求解.一、選擇題1雙曲線C與橢圓1有相同的焦距，一條漸近線的方程為x2y0，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ay21By21或y21Cx21或y21Dy21考點(diǎn)由雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)漸近線為條件求雙曲線的方程答案B2已知雙曲線1(a>0)的右焦點(diǎn)為(3,0)，則雙曲線的離心率等于()A.B.C.D.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案C解析由題意知a259, 解得a2，e.3(2018屆浙江東陽(yáng)中學(xué)期中)已知橢圓C1：y21，雙曲線C2：1(a>0，b>0)若以橢圓C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓與雙曲線C2的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且橢圓C1與該漸近線的兩交點(diǎn)將線段AB三等分，則雙曲線C2的離心率是()A.B3C.D5答案A解析由已知得|OA|，設(shè)OA的方程為ykx(k>0，x>0)，所以可設(shè)A(x0，kx0)，進(jìn)一步可得x0，得A，所以AB的一個(gè)三等分點(diǎn)坐標(biāo)為，該點(diǎn)在橢圓上，所以21，即113k29(1k2)，解得k22，從而有2，b22a2，解得e.4(2017·嘉興一中期末)過(guò)雙曲線C：1(b>a>0)的右頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，分別與兩漸近線交于B，C兩點(diǎn)，若2，則雙曲線C的離心率為()A2B.C.D.答案B5已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2xy0垂直，則雙曲線的方程為()A.y21B.x21C.1D.1考點(diǎn)雙曲線的幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案A解析由題意得c，則a2，b1，所以雙曲線的方程為y21.6斜率為2的直線l過(guò)雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的左、右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A2，) B(1，)C(1，) D(，)考點(diǎn)雙曲線的離心率與漸近線題點(diǎn)雙曲線離心率的取值范圍答案D7設(shè)P為雙曲線C：x2y21上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若cosF1PF2，則PF1F2的外接圓半徑為()A.B9C.D3考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程研究其他問(wèn)題答案C解析由題意知雙曲線中a1，b1，c，所以|F1F2|2.因?yàn)閏osF1PF2，所以sinF1PF2.在PF1F2中，2R(R為PF1F2的外接圓半徑)，即2R，解得R，即PF1F2的外接圓半徑為，故選C.二、填空題8兩個(gè)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且ab，則雙曲線1的離心率e_.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)求雙曲線的離心率答案解析由解得或又ab，a3，b2，c，e.9已知雙曲線C：1的開(kāi)口比等軸雙曲線的開(kāi)口更開(kāi)闊，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_考點(diǎn)雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)以離心率或漸近線為條件的簡(jiǎn)單問(wèn)題答案(4，)解析等軸雙曲線的離心率為，且雙曲線C的開(kāi)口比等軸雙曲線更開(kāi)闊，雙曲線C：1的離心率e，即2，m4.10已知雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A在雙曲線C上，若|F1A|3|F2A|，則cosAF2F1_.考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程研究其他問(wèn)題答案解析設(shè)雙曲線的方程為1(a0，b0)設(shè)A為右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，且|F2A|m，由題意可得|F1A|3m，由雙曲線的定義可得|F1A|F2A|2a，解得ma，又e，可得ca.在AF1F2中，|F1A|3a，|F2A|a，|F1F2|2a，可得cosAF2F1.11已知直線l與雙曲線C：x21交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M(2,1)，則直線l的方程是_考點(diǎn)直線與雙曲線的位置關(guān)系題點(diǎn)直線與雙曲線的其他問(wèn)題答案8xy150解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x1，x1，兩式相減可得，(x1x2)(x1x2)0，由M(2,1)為AB的中點(diǎn)，得x1x24，y1y22，可得直線AB的斜率為k8，即直線AB的方程為y18(x2)，即8xy150.將y8x15代入雙曲線的方程x21，可得60x2240x2290，即有24024×60×229240×110，故直線l的方程為8xy150.三、解答題12已知雙曲線的漸近線方程為y±2x，且過(guò)點(diǎn)(3，4)(1)求雙曲線的方程；(2)若直線4xy60與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值考點(diǎn)由雙曲線的幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)漸近線為條件求雙曲線方程解(1)設(shè)所求雙曲線的方程為x2(0)，把(3,4)代入方程，得9，所以1，所以所求雙曲線的方程為x21.(2)直線方程4xy60可變形為y4x6，把y4x6代入x21，得3x212x100，則x1x24，x1x2，所以|AB|.13設(shè)A，B分別為雙曲線1(a0，b0)的左、右頂點(diǎn)，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線yx2與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，且在雙曲線的右支上存在點(diǎn)D，使t，求t的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)考點(diǎn)由雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)已知雙曲線的焦距、實(shí)虛軸求方程解(1)由題意，知a2，所以一條漸近線為yx，即bx2y0，所以，所以b23，所以雙曲線的方程為1.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，則x1x2tx0，y1y2ty0.將直線方程代入雙曲線方程，消去y得x216x840，則x1x216，y1y212，所以所以由t，得(16，12)(4t,3t)，所以t4，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4，3)四、探究與拓展14已知橢圓C1：1(a1b10)與雙曲線C2：1(a20，b20)有相同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，e1，e2又分別是兩曲線的離心率，若PF1PF2，則4ee的最小值為()A.B4C.D9考點(diǎn)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)題點(diǎn)由雙曲線方程研究其他問(wèn)題答案C解析由題意設(shè)焦距為2c，令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，知|PF1|PF2|2a2，由橢圓定義，知|PF1|PF2|2a1，又PF1PF2，|PF1|2|PF2|24c2，22，得|PF1|2|PF2|22a2a，將代入，得aa2c2，4ee2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a2a時(shí)，取等號(hào)，故選C.15已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若|2|，求直線l的方程考點(diǎn)由雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求方程題點(diǎn)已知雙曲線的焦距、實(shí)虛軸求方程解(1)由題意可設(shè)所求的雙曲線方程為1(a0，b0)，則有e2，c2，所以a1，b，所以所求的雙曲線方程為x21.(2)因?yàn)橹本€l與y軸相交于點(diǎn)M且過(guò)焦點(diǎn)F(2,0)，所以l的斜率一定存在，設(shè)為k，則l：yk(x2)，令x0，得M(0,2k)因?yàn)閨2|且M，Q，F(xiàn)共線于l，所以2或2.當(dāng)2時(shí)，xQ，yQk，所以Q的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線x21上，所以1，所以k±，所以直線l的方程為y±(x2)當(dāng)2時(shí)，同理求得Q(4，2k)，代入雙曲線方程，得161，所以k±，所以直線l的方程為y±(x2)綜上，直線l的方程為y±(x2)或y±(x2)16