3.3.2　極大值與極小值 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用．(難點(diǎn))　2.掌握函數(shù)極值的判定及求法．(重點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．函數(shù)極值的定義 函數(shù)的極值 極大值 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0值附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都要大，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值． 極小值 設(shè)函數(shù)y＝f(x)在x＝x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0值附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都要小，則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值. 2.求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法 解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時(shí)： (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值； (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極小值． [基礎(chǔ)自測] 1．判斷正誤： (1)函數(shù)f(x)＝有極值．(　　) (2)函數(shù)的極大值一定大于極小值．(　　) (3)若f′(x0)＝0，則x0一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．(　　) 【解析】　(1)×.f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，故無極值． (2)×.反例，如圖所示的函數(shù)的極大值小于其極小值． (3)×.反例，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，且f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 2．函數(shù)y＝x＋的極大值為________． 【解析】　y′＝1－，令y′＝0得x2＝1，x＝±1. 當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，y′>0.當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，y′<0. ∴y＝x＋在x＝－1處取得極大值y＝－2. 【答案】?。? [合 作 探 究·攻 重 難] 求函數(shù)的極值 　求下列函數(shù)的極值： (1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝2x＋. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902226】 [思路探究]　f ′(x0)＝0只是可導(dǎo)函數(shù)f(x)在x0處有極值的必要條件，只有再加上x0左右導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能判定函數(shù)在x0處取得極值． 【自主解答】　(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)， 令y′＝0，得x＝－3或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y ↗ 極大值57 ↘ 極小值－7 ↗ 從上表中可以看出，當(dāng)x ＝－3時(shí)，函數(shù)取得極大值，且y極大值＝57. 當(dāng)x ＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值，且y極小值＝－7. (2)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝2－＝2＝2， 令y′＝0，得x＝－2或x＝2. 當(dāng)x＜－2時(shí)，y′＞0；當(dāng)－2＜x＜0時(shí)，y′＜0. 即x＝－2時(shí)，y取得極大值，且極大值為－8. 當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y′＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，y′＞0. 即x＝2時(shí)，y取得極小值，且極小值為8. [規(guī)律方法]　求函數(shù)極值的方法 (1)求f′(x)＝0在函數(shù)定義域內(nèi)的所有根； (2)用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間、列表； (3)由f′(x)在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，判斷f′(x)＝0的根處的極值情況. [跟蹤訓(xùn)練] 1．求函數(shù)y＝x4－4x3＋5的極值． 【解】　y′＝4x3－12x2＝4x2(x－3)． 令y′＝4x2(x－3)＝0，得x1＝0，x2＝3. 當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0,3) 3 (3，＋∞) y′ － 0 － 0 ＋ y ↘ 不是極值 ↘ 極小值－22 ↗ 故當(dāng)x＝3時(shí)函數(shù)取得極小值，且y極小值＝f(3)＝－22. 已知函數(shù)的極值求參數(shù) 　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1處取得極值，且f(1)＝－1. (1)求常數(shù)a，b，c的值； (2)求函數(shù)的極大值和極小值． [思路探究]　可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是使導(dǎo)函數(shù)值為零的點(diǎn)，因此f′(1)＝0，f′(－1)＝0，再由f(1)＝－1，得到三個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，聯(lián)立可求得a，b，c的值． 【自主解答】　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由x＝±1是極值點(diǎn)， 得又f(1)＝－1， 所以a＋b＋c＝－1.③ 聯(lián)立①②③，解得，經(jīng)驗(yàn)證a，b，c的值符合題意． (2)由(1)得f(x)＝x3－x，所以f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)， 當(dāng)x＜－1或x＞1時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0. 所以，當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)有極大值f(－1)＝1；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值f(1)＝－1. [規(guī)律方法]　已知函數(shù)極值，求參數(shù)的值時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)： (1)常根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解. (2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性. [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，求常數(shù)a、b的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902227】 【解】　f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依題意得即 解得或 但由于當(dāng)a＝－3，b＝3時(shí)，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0， 故f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x＝1處取得極值，所以不符合題意，舍去；而當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)知符合題意，故a，b的值分別為4，－11. 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 [探究問題] 1．已知三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若f′(x)＝0的兩個(gè)根是x1，x2，且x1＜x2，分別寫出當(dāng)a＞0和a＜0時(shí)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間． 【提示】　由題意可知f′(x)＝a(x－x1)(x－x2)，當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＞0可得x＜x1或x＞x2，令f′(x)＜0可得x1＜x＜x2，所以當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單增區(qū)間是(－∞，x1)，(x2，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間是(x1，x2)． 同理當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的單增區(qū)間是(x1，x2)，單減區(qū)間是(－∞，x1)，(x2，＋∞)． 2．當(dāng)a＞0時(shí)，分別判斷當(dāng)x→＋∞和x→－∞時(shí)探究1中的三次函數(shù)f(x)的變化趨勢是怎樣的？當(dāng)a＜0時(shí)呢？ 【提示】　當(dāng)a＞0時(shí)，若x→＋∞，則f(x)→＋∞，若x→－∞，則f(x)→－∞； 當(dāng)a＜0時(shí)，若x→＋∞，則f(x)→－∞，若x→－∞， 則f(x)→＋∞. 3．設(shè)a＞0，討論探究1中的三次函數(shù)f(x)的圖象和x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)？ 【提示】　因?yàn)閍＞0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，x1)，(x2，＋∞)，單減區(qū)間是(x1，x2)． 所以f(x)的極大值為f(x1)，極小值為f(x2)，顯然f(x1)＞f(x2)，所以當(dāng)f(x2)＞0或f(x1)＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象和x軸只有1個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)f(x1)＝0或f(x2)＝0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象和x軸有2個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)f(x1)＞0且f(x2)＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象和x軸有3個(gè)交點(diǎn)． 　已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍． [思路探究]　解(1)需要對(duì)參數(shù)a分類討論．解決(2)可根據(jù)在x＝－1處取得極值的條件，解出a的值，進(jìn)而求m的取值范圍． 【自主解答】　(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)x∈R，有f′(x)＞0，所以當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)； 當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＞0，解得x＜－或x＞， 由f′(x)＜0，解得－＜x＜， 所以當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－]，[，＋∞)， f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－，)． (2)因?yàn)閒(x)在x＝－1處取得極值，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.所以a＝1. 所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)知f(x)的單調(diào)性，可知f(x)在x＝－1處取得極大值f(－1)＝1 ，在x＝1處取得極小值f(1)＝－3.因?yàn)橹本€y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，結(jié)合f(x)的單調(diào)性和極值情況，它的圖象大致如圖所示，結(jié)合圖象，可知m的取值范圍是( －3,1)． [規(guī)律方法]　應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，來確定函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程的根的個(gè)數(shù)，是一種很有效的方法，它通過函數(shù)的變化情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷方程根的個(gè)數(shù). [跟蹤訓(xùn)練] 3．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x＋4.試分析方程a＝f(x)的根的個(gè)數(shù)． 【解】　∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．由f′(x)＝0得x＝2或x＝－2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)取得極大值f(－2)＝.當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)取得極小值f(2)＝－. 且f(x)在(－∞，－2)上遞增，在(－2,2)上遞減，在(2，＋∞)上遞增． 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況，它的圖象大致如圖所示． 結(jié)合圖象：①當(dāng)a＞或a＜－時(shí)，方程a＝f(x)有一個(gè)根． ②當(dāng)－＜a＜時(shí)，方程a＝f(x)有三個(gè)根． ③當(dāng)a＝或a＝－時(shí)，方程a＝f(x)有兩個(gè)根． [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．下列四個(gè)函數(shù)中：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x2；④y＝2x 能在x＝0處取得極值的函數(shù)是________(填序號(hào))． 【解析】?、佗芫鶠閱握{(diào)函數(shù)，不存在極值，②③在x＝0處取得極值． 【答案】?、冖? 2．下列結(jié)論： ①導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)； ②如果在x0附近的左側(cè)f ′(x)＞0，右側(cè)f ′(x)＜0，那么f(x0)是極大值； ③如果在x0附近的左側(cè)f ′(x)＞0，右側(cè)f ′(x)＜0，那么f(x0)是極小值； ④如果在x0附近的左側(cè)f ′(x)＜0，右側(cè)f ′(x)＞0，那么f(x0)是極大值． 其中正確的是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902228】 【解析】　根據(jù)函數(shù)極值的概念，依次判斷各選項(xiàng)知，選項(xiàng)①，③，④均錯(cuò)，選項(xiàng)②正確． 【答案】?、? 3．函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值． 【解析】　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)遞減， 當(dāng)x∈(－∞，0)或(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)遞增， ∴在x＝2處函數(shù)取得極小值． 【答案】　2 4．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖3­3­6所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有________個(gè)極小值點(diǎn)． 圖3­3­6 【解析】　由題圖可知，在區(qū)間(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)內(nèi)f′(x)＞0；在區(qū)間(x1，x2)，(x3，b)內(nèi)f′(x)＜0，即f(x)在(a，x1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x1，x2)內(nèi)單調(diào)遞減，在(x2，x3)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x3，b)內(nèi)單調(diào)遞減．所以，函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為x＝x2.故填1. 【答案】　1 5．求函數(shù)f(x)＝x2＋x－ln x＋2的極值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902229】 【解】　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2x＋1－＝， ∴當(dāng)0＜x＜時(shí)f′(x)＜0，當(dāng)x＞時(shí)f′(x)＞0， ∴函數(shù)f(x)在區(qū)間單調(diào)減，在區(qū)間單調(diào)遞增， ∴當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值為＋ln 2，無極大值． 7