2022年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案：第二講 一 圓周角定理 Word版含答案對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P181圓周角定理文字語言圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半圖形語言符號(hào)語言在O中，所對(duì)的圓周角和圓心角分別是BAC，BOC，則有BACBOC作用確定圓中兩個(gè)角的大小關(guān)系2圓心角定理文字語言圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)圖形語言符號(hào)語言A，B是O上兩點(diǎn)，則弧的度數(shù)等于AOB的度數(shù)作用確定圓弧或圓心角的度數(shù)3圓周角定理的推論(1)推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等(2)推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑說明(1)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，但并不是“圓心角等于它所對(duì)的弧”；(2)“相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中”對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P18與圓周角定理相關(guān)的證明例1如圖，已知：ABC內(nèi)接于O，D、E在BC邊上，且BDCE，12，求證：ABAC.思路點(diǎn)撥證明此題可先添加輔助線構(gòu)造等弦、等弧的條件，再由圓周角定理及其推論證明證明如圖，延長AD、AE分別交O于F、G，連接BF、CG，12，BFCG，F(xiàn)BDGCE.又BDCE，BFDCGE，F(xiàn)G，ABAC.(1)有關(guān)圓的題目中，圓周角與它所對(duì)的弧經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，即欲證圓周角相等，可轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等；要證線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等，這是證明圓中線段相等的常見策略(2)若已知條件中出現(xiàn)直徑，則常用到“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一性質(zhì)解決問題1.如圖，OA是O的半徑，以O(shè)A為直徑的C與O的弦AB相交于點(diǎn)D.求證：D是AB的中點(diǎn)證明：連接OD、BE.因?yàn)锳DOABE90°，所以O(shè)D和BE平行又因?yàn)镺是AE的中點(diǎn)，所以D是AB的中點(diǎn)2已知AD是ABC的高，AE是ABC的外接圓的直徑求證：BAEDAC.證明：連接BE，因?yàn)锳E為直徑，所以ABE90°.因?yàn)锳D是ABC的高，所以ADC90°.所以ADCABE.因?yàn)镋C，所以BAE90°E，DAC90°C.所以BAEDAC.3已知O中，ABAC，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD交O于E.求證：AB2AD·AE.證明：如圖，ABAC，.ABDAEB.在ABE與ADB中，BAEDAB，AEBABD，ABEADB.，即AB2AD·AE.利用圓周角進(jìn)行計(jì)算例2如圖，已知BC為半O的直徑，ADBC，垂足為D，BF交AD于E，且AEBE.(1)求證：；(2)如果sin FBC，AB4，求AD的長思路點(diǎn)撥BC為半O的直徑，連接AC，構(gòu)造RtABC.解(1)證明：如圖，連接AC.BC是半O的直徑，BAC90°，又ADBC，垂足為D，13.在AEB中，AEBE，12.23，即AA.(2)設(shè)DE3x，ADBC，sinFBC，BE5x，BD4x.AEBE，AE5x，AD8x.在RtADB中，ADB90°，AB4，(8x)2(4x)2(4)2，解得x1，AD8.與圓周角定理有關(guān)的線段的計(jì)算、角的計(jì)算，不僅可以通過計(jì)算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段，有時(shí)還可以通過三角形相似、解三角形等來計(jì)算4如圖，ABC內(nèi)接于O，ODBC于D，A50°，則OCD的度數(shù)是()A40°B25°C50° D60°解析：連接OB.因?yàn)锳50°，所以弦BC所對(duì)的圓心角BOC100°，CODBOC50°，OCD90°COD40°.答案：A5.如圖，ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點(diǎn)E.(1)證明：ABEADC；(2)若ABC的面積SAD·AE，求BAC的大小解：(1)證明：由已知條件可得BAECAD.因?yàn)锳EB與ACB是同弧上的圓周角，所以AEBACD.故ABEADC.(2)因?yàn)锳BEADC，所以，即AB·ACAD·AE.又SAB·AC·sin BAC，且SAD·AE，所以AB·AC·sin BACAD·AE.則sin BAC1.又BAC為三角形內(nèi)角，所以BAC90°.對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P20一、選擇題1如圖，在O中，BOC50°，則A的大小為()A25°B50°C75° D100°解析：由圓周角定理得ABOC25°.答案：A2.如圖所示，若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相交于E，則圖中相似三角形有()A1對(duì) B2對(duì)C3對(duì) D4對(duì)解析：由推論1知：ADBACB，ABDACD，BACBDC，CADCBD，AEBDEC，AEDBEC.答案：B3RtABC中，C90°，A30°，AC2，則此三角形外接圓半徑為()A. B2C2 D4解析：由推論2知AB為RtABC的外接圓的直徑，又AB4，故外接圓半徑rAB2.答案：B4.如圖，已知AB是半圓O的直徑，弦AD，BC相交于P，若CD3，AB4，則tan BPD等于()A. B.C. D.解析：連接BD，則BDP90°.CPDAPB，.在RtBPD中，cos BPD，tan BPD.答案：D二、填空題5在O中，已知ACBCDB60°，AC3，則ABC的周長是_解析：由圓周角定理，得ADACB60°.ABBC.ABC為等邊三角形周長等于9.答案：96如圖，AB為半圓O的直徑，OCAB，OD平分BOC，交半圓于點(diǎn)D，AD交OC于點(diǎn)E，則AEO的度數(shù)是_解析：因?yàn)镺D平分BOC，且BOC90°，所以BODBOC45°，所以O(shè)ADBOD22.5°.在RtAEO中，AOE90°，則AEO90°OAE67.5°.答案：67.5°7如圖所示，已知O為ABC的外接圓，ABAC6，弦AE交BC于D，若AD4，則AE_.解析：連接CE，則AECABC，又ABC中，ABAC，ABCACB，AECACB，ADCACE，AE9.答案：9三、解答題8.(xx·江蘇高考)如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)BD并延長至點(diǎn)C，使BDDC，連結(jié)AC，AE，DE.求證：EC.解：連結(jié)OD，因?yàn)锽DDC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)DAC，于是ODBC.因?yàn)镺BOD，所以O(shè)DBB.于是BC.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上，且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以E和B為同弧所對(duì)的圓周角，故EB.所以EC.9如圖，已知ABC內(nèi)接于圓，D為中點(diǎn)，連接AD交BC于E.求證：(1)；(2)AB·ACAE2EB·EC.證明：(1)連接CD.13，45，ABECDE.(2)連接BD.，AE·DEBE·EC.AE2BE·ECAE2AE·DEAE(AEDE)AE·AD.在ABD與AEC中，D為的中點(diǎn)，12.又ACEACBADB，ABDAEC.，即AB·ACAD·AE由知：AB·ACAE2EB·EC.10如圖，已知A，B，C，D，E均在O上，且AC為O的直徑(1)求ABCDE的值；(2)若O的半徑為，AD與EC交于點(diǎn)M，且E，D為弧AC的三等分點(diǎn)，求MD的長解：(1)連接OB，OD，OE，則ABCDE(CODDOEEOAAOBBOC)×360°180°.(2)連接OM和CD，因?yàn)锳C為O的直徑，所以ADC90°，又E，D為的三等分點(diǎn)，所以AECAEOA××180°30°，所以O(shè)MAC.因?yàn)镺的半徑為，即OA，所以AM1.在RtADC中，ADAC·cosA2××.則MDADAM.