第9講曲線與方程1曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線2曲線的交點設(shè)曲線C1的方程為F1(x，y)0，曲線C2的方程為F2(x，y)0，則C1，C2的交點坐標(biāo)即為方程組的實數(shù)解，若此方程組無解，則兩曲線無交點3求動點的軌跡方程的一般步驟(1)建系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)設(shè)點設(shè)軌跡上的任一點P(x，y)；(3)列式列出動點P所滿足的關(guān)系式；(4)代換依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x，y的方程式，并化簡；(5)證明證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)f(x0，y0)0是點P(x0，y0)在曲線f(x，y)0上的充要條件()(2)方程x2xyx的曲線是一個點和一條直線()(3)動點的軌跡方程和動點的軌跡是一樣的()(4)方程y與xy2表示同一曲線()(5)ykx與xy表示同一直線()答案：(1)(2)×(3)×(4)×(5)×教材衍化1(選修2­1P37練習(xí)T3改編)已知點F，直線l：x，點B是l上的動點，若過點B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是()A雙曲線B橢圓C圓 D拋物線解析：選D.由已知|MF|MB|，根據(jù)拋物線的定義知，點M的軌跡是以點F為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線2(選修2­1P35例1改編)曲線C：xy2上任一點到兩坐標(biāo)軸的距離之積為_解析：在曲線xy2上任取一點(x0，y0)，則x0y02，該點到兩坐標(biāo)軸的距離之積為|x0|y0|x0y0|2.答案：23(選修2­1P37A組T4改編)已知O的方程為x2y24，過M(4，0)的直線與O交于A，B兩點，則弦AB的中點P的軌跡方程為_解析：根據(jù)垂徑定理知：OPPM，所以P點軌跡是以O(shè)M為直徑的圓且在O內(nèi)的部分以O(shè)M為直徑的圓的方程為(x2)2y24，它與O的交點為(1，±)結(jié)合圖形可知所求軌跡方程為(x2)2y24(0x1)答案：(x2)2y24(0x1)易錯糾偏(1)混淆“軌跡”與“軌跡方程”出錯；(2)忽視軌跡方程的“完備性”與“純粹性”1(1)平面內(nèi)與兩定點A(2，2)，B(0，0)距離的比值為2的點的軌跡是_(2)設(shè)動圓M與y軸相切且與圓C：x2y22x0相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_解析：(1)設(shè)動點坐標(biāo)為(x，y)，則2，整理得3x23y24x4y80，所以滿足條件的點的軌跡是圓(2)若動圓在y軸右側(cè)，則動圓圓心到定點C(1，0)與到定直線x1的距離相等，其軌跡是拋物線，且1，所以其方程為y24x(x0)；若動圓在y軸左側(cè)，則圓心軌跡是x軸負(fù)半軸，其方程為y0(x0)故動圓圓心M的軌跡方程為y24x(x0)或y0(x0)答案：(1)圓(2)y24x(x0)或y0(x0)2已知A(2，0)，B(1，0)兩點，動點P不在x軸上，且滿足APOBPO，其中O為原點，則P點的軌跡方程是_解析：由角的平分線性質(zhì)定理得|PA|2|PB|，設(shè)P(x，y)，則2，整理得(x2)2y24(y0)答案：(x2)2y24(y0)定義法求軌跡方程 已知A(5，0)，B(5，0)，動點P滿足|，|，8成等差數(shù)列，則點P的軌跡方程為_【解析】由已知得|8，所以點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的右支，且a4，b3，c5，所以點P的軌跡方程為1(x4)【答案】1(x4) (變條件)若將本例中的條件“|，|，8”改為“|，|，8”，求點P的軌跡方程解：由已知得|8，所以點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的左支，且a4，b3，c5，所以點P的軌跡方程為1(x4)定義法求軌跡方程(1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；(2)利用定義法求軌跡方程時，還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進(jìn)行限制 1(2020·浙江名校聯(lián)考)已知ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|3，則頂點A的軌跡方程為_解析：設(shè)A(x，y)，由題意可知D.又因為|CD|3，所以9，即(x10)2y236，由于A，B，C三點不共線，所以點A不能落在x軸上，即y0，所以點A的軌跡方程為(x10)2y236(y0)答案：(x10)2y236(y0)2(2020·杭州七校模擬)已知動圓C過點A(2，0)，且與圓M：(x2)2y264相內(nèi)切求動圓C的圓心的軌跡方程解：圓M：(x2)2y264，圓心M的坐標(biāo)為(2，0)，半徑R8.因為|AM|4<R，所以點A(2，0)在圓M內(nèi)設(shè)動圓C的半徑為r，依題意得r|CA|，且|CM|Rr，即|CM|CA|8>|AM|.所以圓心C的軌跡是中心在原點，焦點為A，M，長軸長為8的橢圓，設(shè)其方程為1(a>b>0)，則a4，c2.所以b2a2c212.所以動圓C的圓心的軌跡方程為1.直接法求軌跡方程(高頻考點)直接法求點的軌跡方程是求軌跡方程的一種重要方法，也是高考考查的重要內(nèi)容主要命題角度有：(1)已知動點滿足的關(guān)系式求軌跡方程(或判斷軌跡)；(2)無明確等量關(guān)系求軌跡方程角度一已知動點滿足的關(guān)系式求軌跡方程(或判斷軌跡) 已知點F(0，1)，直線l：y1，P為平面上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為Q，且··，則動點P的軌跡C的方程為()Ax24yBy23xCx22y Dy24x【解析】設(shè)點P(x，y)，則Q(x，1)因為··，所以(0，y1)·(x，2)(x，y1)·(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，所以動點P的軌跡C的方程為x24y.【答案】A角度二無明確等量關(guān)系求軌跡方程 (2020·金華十校聯(lián)考)已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(1，0)，B(3，0)求直角頂點C的軌跡方程【解】法一：設(shè)C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y0.因為ACBC，所以kAC·kBC1，又kAC，kBC，所以·1，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2y22x30(y0)法二：設(shè)AB的中點為D，由中點坐標(biāo)公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|AB|2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)所以直角頂點C的軌跡方程為(x1)2y24(y0)直接法求曲線方程的一般步驟(1)建立合理的直角坐標(biāo)系；(2)設(shè)出所求曲線上點的坐標(biāo)，把幾何條件或等量關(guān)系用坐標(biāo)表示為代數(shù)方程；(3)化簡整理這個方程，檢驗并說明所求的方程就是曲線的方程直接法求曲線方程時最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系“翻譯”為代數(shù)方程，要注意“翻譯”的等價性提醒對方程化簡時，只要前后方程解集相同，證明一步可以省略，必要時可說明x，y的取值范圍 1已知|AB|2，動點P滿足|PA|2|PB|，則動點P的軌跡方程為_解析：如圖所示，以AB的中點O為原點，直線AB為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，B(1，0)設(shè)P(x，y)，因為|PA|2|PB|，所以 2，整理得x2y2x10，即y2.所以動點P的軌跡方程為y2.答案：y22如圖，過點P(2，4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸非負(fù)半軸于A點，l2交y軸非負(fù)半軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程解：設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)因為M(x，y)為線段AB中點，所以點A，B的坐標(biāo)分別為A(2x，0)，B(0，2y)當(dāng)x1時，因為l1l2，且l1，l2過點P(2，4)，所以kPA·kPB1，即·1(x1)，化簡得x2y50(x1)當(dāng)x1時，A，B分別為(2，0)，(0，4)，所以線段AB的中點為(1，2)，滿足方程x2y50(x0，y0)綜上得M的軌跡方程為x2y50(x0，y0)利用相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程 (2020·杭州模擬)已知點Q在橢圓C：1上，點P滿足()(其中O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)1為橢圓C的左焦點)，則點P的軌跡為()A圓 B拋物線C雙曲線 D橢圓【解析】因為點P滿足()，所以Q是線段PF1的中點設(shè)P(x1，y1)，由于F1為橢圓C：1的左焦點，則F1(，0)，故Q，由點Q在橢圓C：1上，則點P的軌跡方程為1，故點P的軌跡為橢圓【答案】D 1(2020·浙江名校聯(lián)考)已知雙曲線y21的左、右頂點分別為A1，A2，點P(x1，y1)，Q(x1，y1)是雙曲線上不同于A1，A2的兩個不同的動點，則直線A1P與A2Q交點的軌跡方程為_解析：由題設(shè)知|x1|>，A1(，0)，A2(，0)，則有直線A1P的方程為y(x)，直線A2Q的方程為y(x)，聯(lián)立，解得所以所以x0，且|x|<，因為點P(x1，y1)在雙曲線y21上，所以y1.將代入上式，整理得所求軌跡的方程為y21(x0，且x±)答案：y21(x0，且x±)2設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：y21上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足.求點P的軌跡方程解：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因為M(x0，y0)在C上，所以1.因此點P的軌跡方程為x2y22.基礎(chǔ)題組練1方程(xy)2(xy1)20表示的曲線是()A一條直線和一條雙曲線B兩條雙曲線C兩個點D以上答案都不對解析：選C.(xy)2(xy1)20故或2到點F(0，4)的距離比到直線y5的距離小1的動點M的軌跡方程為()Ay16x2By16x2Cx216y Dx216y解析：選C.由條件知，動點M到F(0，4)的距離與到直線y4的距離相等，所以點M的軌跡是以F(0，4)為焦點，直線y4為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y.3(2020·嘉興模擬)已知點A(1，0)，直線l：y2x4，點R是直線l上的一點，若，則點P的軌跡方程為()Ay2x By2xCy2x8 Dy2x4解析：選B.設(shè)P(x，y)，R(x1，y1)，由知，點A是線段RP的中點，所以即因為點R(x1，y1)在直線y2x4上，所以y12x14，所以y2(2x)4，即y2x.4(2020·紹興一中高三期中)到兩條互相垂直的異面直線距離相等的點的軌跡，被過一直線與另一直線垂直的平面所截，截得的曲線為()A相交直線 B雙曲線C拋物線 D橢圓弧解析：選C.如圖所示，建立坐標(biāo)系，不妨設(shè)兩條互相垂直的異面直線為OA，BC，設(shè)OBa，P(x，y，z)到直線OA，BC的距離相等，所以x2z2(xa)2y2，所以2axy2z2a20，若被平面xOy所截，則z0，y22axa2；若被平面xOz所截，則y0，z22axa2，故選C.5設(shè)點A為圓(x1)2y21上的動點，PA是圓的切線，且|PA|1，則P點的軌跡方程為()Ay22x B(x1)2y24Cy22x D(x1)2y22解析：選D.如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0)連接MA，PM，則MAPA，且|MA|1，又因為|PA|1，所以|PM|，即|PM|22，所以(x1)2y22.6若曲線C上存在點M，使M到平面內(nèi)兩點A(5，0)，B(5，0)，距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”以下曲線不是“好曲線”的是()Axy5 Bx2y29C.1 Dx216y解析：選B.因為M到平面內(nèi)兩點A(5，0)，B(5，0)距離之差的絕對值為8，所以M的軌跡是以A(5，0)，B(5，0)為焦點的雙曲線，方程為1.A項，直線xy5過點(5，0)，滿足題意，為“好曲線”；B項，x2y29的圓心為(0，0)，半徑為3，與M的軌跡沒有交點，不滿足題意；C項，1的右頂點為(5，0)，滿足題意，為“好曲線”；D項，方程代入1，可得y1，即y29y90，所以0，滿足題意，為“好曲線”7在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，A(1，0)，B(2，2)，若點C滿足t()，其中tR，則點C的軌跡方程是_解析：設(shè)C(x，y)，則(x，y)，t()(1t，2t)，所以消去參數(shù)t得點C的軌跡方程為y2x2.答案：y2x28已知M(2，0)，N(2，0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是_解析：設(shè)P(x，y)，因為MPN為直角三角形，所以|MP|2|NP|2|MN|2，所以(x2)2y2(x2)2y216，整理得，x2y24.因為M，N，P不共線，所以x±2，所以軌跡方程為x2y24(x±2)答案：x2y24(x±2)9已知點P是圓C：(x2)2y24上的動點，定點F(2，0)，線段PF的垂直平分線與直線CP的交點為Q，則點Q(x，y)的軌跡方程是_解析：依題意有|QP|QF|，則|QC|QF|CP|2，又|CF|4>2，故點Q的軌跡是以C，F(xiàn)為焦點的雙曲線，a1，c2，得b23，所求軌跡方程為x21.答案：x2110(2020·杭州高級中學(xué)模擬)已知P是橢圓1(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，則動點Q的軌跡方程是_解析：，如圖，22，設(shè)Q(x，y)，則(x，y)，即P點的坐標(biāo)為，又P在橢圓上，則有1，即1.答案：111設(shè)F(1，0)，M點在x軸上，P點在y軸上，且2，當(dāng)點P在y軸上運動時，求點N的軌跡方程解：設(shè)M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，因為，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)·(1，y0)0，所以x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x.故所求的點N的軌跡方程是y24x.12已知P為圓A：(x1)2y28上的動點，點B(1，0)線段PB的垂直平分線與半徑PA相交于點M，記點M的軌跡為.(1)求曲線的方程；(2)當(dāng)點P在第一象限，且cosBAP時，求點M的坐標(biāo)解：(1)圓A的圓心為A(1，0)，半徑等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|2>2|AB|，故曲線是以A，B為焦點，以2為長軸長的橢圓，即a，c1，b1，所以曲線的方程為y21.(2)由cosBAP，|AP|2，得P.于是直線AP的方程為y(x1)由整理得5x22x70，解得x11，x2.由于點M在線段AP上，所以點M坐標(biāo)為.綜合題組練1已知log2x，log2y，2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點M(x，y)的軌跡為()解析：選A.由2log2y2log2x得log2y2log2(4x)，故點M(x，y)的軌跡方程為y24x(x0，y0)，即y2(x0)，故選A.2已知點A，B分別是射線l1：yx(x0)，l2：yx(x0)上的動點，O為坐標(biāo)原點，且OAB的面積為定值2，則線段AB的中點M的軌跡方程為_解析：由題意可設(shè)A(x1，x1)，B(x2，x2)，M(x，y)，其中x1>0，x2>0，則因為OAB的面積為定值2，所以SOABOA·OB(x1)(x2)x1x22.22得x2y2x1x2，而x1x22，所以x2y22.由于x1>0，x2>0，所以x>0，即所求點M的軌跡方程為x2y22(x>0)答案：x2y22(x>0)3曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(1，0)和F2(1，0)的距離的積等于常數(shù)a2(a1)的點的軌跡給出下列三個結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點對稱；若點P在曲線C上，則F1PF2的面積不大于a2.其中，所有正確結(jié)論的序號是_解析：因為原點O到兩個定點F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)的距離的積是1，而a21，所以曲線C不過原點，即錯誤；因為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)關(guān)于原點對稱，設(shè)M是曲線C上任意一點，所以|MF1|MF2|a2對應(yīng)的軌跡關(guān)于原點對稱，即正確；因為SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF2|PF1|·|PF2|a2，即F1PF2的面積不大于a2，所以正確答案：4已知坐標(biāo)平面上動點M(x，y)與兩個定點P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ|.(1)求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(2)記(1)中軌跡為C，過點N(2，3)的直線l被C所截得的線段長度為8，求直線l的方程解：(1)由題意，得5，即5，化簡，得x2y22x2y230，所以點M的軌跡方程是(x1)2(y1)225.軌跡是以(1，1)為圓心，以5為半徑的圓(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x2，此時所截得的線段長度為28，所以l：x2符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，圓心(1，1)到直線l的距離d，由題意，得4252，解得k.所以直線l的方程為xy0，即5x12y460.綜上，直線l的方程為x2或5x12y460.5.(2020·溫州市普通高中?？?如圖，P為圓M：(x)2y224上的動點，定點Q(，0)，線段PQ的垂直平分線交線段MP于點N.(1)求動點N的軌跡方程；(2)記動點N的軌跡為曲線C，設(shè)圓O：x2y22的切線l交曲線C于A，B兩點，求|OA|·|OB|的最大值解：(1)連接QN，因為|NM|NQ|NM|NP|MP|22|MQ|，所以動點N的軌跡為橢圓，所以a，c，所以b23.所以動點N的軌跡方程為1.(2)當(dāng)切線l垂直坐標(biāo)軸時，|OA|·|OB|4.當(dāng)切線l不垂直坐標(biāo)軸時，設(shè)切線l的方程為ykxm(k0)，點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線和圓相切，得m222k2.由得(2k21)x24kmx2m260，所以x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2(kx1m)·(kx2m)(k21)x1x2km(x1x2)m2(k21)·km·m20，所以AOB90°，所以|OA|·|OB|AB|，又因為|AB| |x1x2|·，令tk2，則|AB|223，當(dāng)且僅當(dāng)k±時，等號成立，所以|OA|·|OB|3，綜上，|OA|·|OB|的最大值為3.15