§2.1曲線與方程學習目標1.了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應(yīng)關(guān)系.2.理解方程的曲線和曲線的方程的概念.3.了解用坐標法研究幾何問題的常用思路與方法.4.掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法知識點一曲線的方程和方程的曲線的概念在直角坐標系中，如果某曲線C(看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡)上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線知識點二坐標法思想及求曲線方程的步驟思考曲線C上的點的坐標都是方程f(x，y)0的解，能否說f(x，y)0是曲線C的方程？試舉例說明答案不能還要驗證以方程f(x，y)0的解為坐標的點是否都在曲線上例如曲線C為“以原點為圓心，以2為半徑的圓的上半部分”與方程“x2y24”，曲線上的點都滿足方程，但曲線的方程不是x2y24.梳理(1)曲線的方程和方程的曲線是兩個不同的概念，是從不同角度出發(fā)的兩種說法曲線C的點集和方程f(x，y)0的解集之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，曲線的性質(zhì)可以反映在它的方程上，方程的性質(zhì)又可以反映在曲線上定義中的條件說明曲線上的所有點都適合這個方程；條件說明適合方程的點都在曲線上而毫無遺漏(2)曲線的方程和方程的曲線有著緊密的關(guān)系，通過曲線上的點與實數(shù)對(x，y)建立了一一對應(yīng)關(guān)系，使方程成為曲線的代數(shù)表示，通過研究方程的性質(zhì)可間接地研究曲線的性質(zhì)(3)求曲線的方程的步驟如果曲線l上的點的坐標滿足方程F(x，y)0，則(1)曲線l的方程是F(x，y)0.(×)(2)方程F(x，y)0的曲線是l.(×)(3)坐標不滿足方程F(x，y)0的點不在曲線l上()(4)坐標滿足方程F(x，y)0的點在曲線l上(×)類型一曲線的方程與方程的曲線解讀例1(1)設(shè)方程f(x，y)0的解集非空，若命題“坐標滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上”是假命題，則下列命題為真命題的是()A坐標滿足f(x，y)0的點都不在曲線C上B曲線C上的點的坐標不滿足f(x，y)0C坐標滿足f(x，y)0的點有些在曲線C上，有些不在曲線C上D一定有不在曲線C上的點，其坐標滿足f(x，y)0(2)“以方程f(x，y)0的解為坐標的點都是曲線C上的點”是“曲線C的方程是f(x，y)0”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用答案(1)D(2)B解析(1)命題“坐標滿足方程f(x，y)0的點都在曲線C上”為假命題，則命題“坐標滿足方程f(x，y)0的點不都在曲線C上”是真命題故選D.(2)由曲線C的方程是f(x，y)0，得以方程f(x，y)0的解為坐標的點都是曲線C上的點，但反過來不成立，故選B.反思與感悟(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性(2)以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應(yīng)，才能說曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程跟蹤訓練1分析下列曲線上的點與相應(yīng)方程的關(guān)系：(1)過點A(2,0)平行于y軸的直線與方程|x|2之間的關(guān)系；(2)與兩坐標軸的距離的積等于5的點與方程xy5之間的關(guān)系；(3)第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點與方程xy0之間的關(guān)系考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用解(1)過點A(2,0)平行于y軸的直線上的點的坐標都是方程|x|2的解，但以方程|x|2的解為坐標的點不都在過點A(2,0)且平行于y軸的直線上因此，|x|2不是過點A(2,0)平行于y軸的直線的方程(2)與兩坐標軸的距離的積等于5的點的坐標不一定滿足方程xy5，但以方程xy5的解為坐標的點與兩坐標軸的距離之積一定等于5.因此，與兩坐標軸的距離的積等于5的點的軌跡方程不是xy5.(3)第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點的坐標都滿足xy0；反之，以方程xy0的解為坐標的點都在第二、四象限兩坐標軸夾角的平分線上因此，第二、四象限兩坐標軸夾角平分線上的點的軌跡方程是xy0.類型二曲線與方程的應(yīng)用例2已知方程x2(y1)210.(1)判斷點P(1，2)，Q(，3)是否在上述方程表示的曲線上；(2)若點M在上述方程表示的曲線上，求m的值考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用解(1)12(21)210，()2(31)2610，點P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲線上，點Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲線上(2)點M在方程x2(y1)210表示的曲線上，2(m1)210，解得m2或m.引申探究本例中曲線方程不變，若點N(a,2)在圓外，求實數(shù)a的取值范圍解結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，得a2(21)210，即a29，解得a3或a3，故所求實數(shù)a的取值范圍為(，3)(3，)反思與感悟判斷曲線與方程關(guān)系的問題時，可以利用曲線與方程的定義，也可利用互為逆否關(guān)系的命題的真假性一致判斷跟蹤訓練2若曲線y2xy2xk0過點(a，a)(aR)，求k的取值范圍考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用解曲線y2xy2xk0過點(a，a)，a2a22ak0，k2a22a22，k，k的取值范圍是.類型三求曲線的方程命題角度1直接法求曲線的方程例3一個動點P到直線x8的距離是它到點A(2,0)的距離的2倍求動點P的軌跡方程考點求曲線方程的方法題點直接法求曲線方程解設(shè)P(x，y)，則|8x|2|PA|，則|8x|2，化簡，得3x24y248，故動點P的軌跡方程為3x24y248.引申探究若本例中的直線改為“y8”，求動點P的軌跡方程解設(shè)P(x，y)，則P到直線y8的距離d|y8|，又|PA|，故|y8|2，化簡，得4x23y216x16y480.故動點P的軌跡方程為4x23y216x16y480.反思與感悟直接法求動點軌跡的關(guān)鍵及方法(1)關(guān)鍵：建立恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?；找出所求動點滿足的幾何條件(2)方法：求曲線的方程遵循求曲線方程的五個步驟，在實際求解時可簡化為三大步驟：建系、設(shè)點；根據(jù)動點滿足的幾何條件列方程；對所求的方程化簡、說明特別提醒：直接法求動點軌跡方程的突破點是將幾何條件代數(shù)化跟蹤訓練3已知兩點M(1,0)，N(1,0)，且點P使·，·，·成公差小于零的等差數(shù)列，求點P的軌跡方程考點求曲線方程的方法題點直接法求曲線方程解設(shè)點P(x，y)，由M(1,0)，N(1,0)，得(1x，y)，(1x，y)，(2,0)·2(x1)，·x2y21，·2(1x)于是，·，·，·成公差小于零的等差數(shù)列等價于即點P的軌跡方程為x2y23(x>0)命題角度2相關(guān)點法求曲線的方程例4動點M在曲線x2y21上移動，M和定點B(3,0)連線的中點為P，求P點的軌跡方程考點求曲線方程的方法題點相關(guān)點法求曲線方程解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，因為P為MB的中點，所以即又因為M在曲線x2y21上，所以xy1，所以(2x3)24y21.所以點P的軌跡方程為(2x3)24y21.反思與感悟相關(guān)點法求解軌跡方程的步驟(1)設(shè)動點P(x，y)，相關(guān)動點M(x0，y0)(2)利用條件求出兩動點坐標之間的關(guān)系(3)代入相關(guān)動點的軌跡方程(4)化簡、整理，得所求軌跡方程跟蹤訓練4已知圓C：x2(y3)29.過原點作圓C的弦OP，求OP的中點Q的軌跡方程考點求曲線方程的方法題點相關(guān)點法求曲線方程解設(shè)P(x1，y1)，Q(x，y)，由題意，得即又因為點P在圓C上，所以x(y13)29，所以4x2429，即x22(x0).1若命題“曲線C上點的坐標都是方程f(x，y)0的解”是真命題，則下列命題為真命題的是()A方程f(x，y)0所表示的曲線是曲線CB方程f(x，y)0所表示的曲線不一定是曲線CCf(x，y)0是曲線C的方程D以方程f(x，y)0的解為坐標的點都在曲線C上考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用答案B解析“曲線C上點的坐標都是方程f(x，y)0的解”，但以方程f(x，y)0的解為坐標的點不一定在曲線C上，故A，C，D都為假命題，B為真命題2已知直線l：xy30及曲線C：(x3)2(y2)22，則點M(2,1)()A在直線l上，但不在曲線C上B在直線l上，也在曲線C上C不在直線l上，也不在曲線C上D不在直線l上，但在曲線C上考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用答案B解析將M(2,1)代入直線l和曲線C的方程，由于2130，(23)2(12)22，所以點M既在直線l上又在曲線C上，故選B.3等腰三角形底邊的兩個頂點分別是B(2,1)，C(0，3)，則另一個頂點A的軌跡方程是()Ax2y10(x0) By2x1Cx2y10(y1) Dx2y10(x1)考點求曲線的方程的方法題點直接法求曲線方程答案D解析設(shè)A(x，y)，依題意，知|AB|AC|，所以，化簡得x2y10.又因為A，B，C三點不能共線，所以x1，故選D.4到直線4x3y50的距離為1的點的軌跡方程為_考點求曲線的方程的方法題點幾何法求曲線方程答案4x3y100和4x3y0解析設(shè)該點坐標為(x，y)，則1，即|4x3y5|5，所求軌跡方程為4x3y100和4x3y0.5M為直線l：2xy30上的一動點，A(4,2)為一定點，又點P在直線AM上運動，且3，求動點P的軌跡方程考點求曲線方程的方法題點坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程解設(shè)點M，P的坐標分別為M(x0，y0)，P(x，y)，由題設(shè)及向量共線條件可得所以因為點M(x0，y0)在直線2xy30上，所以2×30，即8x4y30，從而點P的軌跡方程為8x4y30.1判斷點是否在某個方程表示的曲線上，就是檢驗該點的坐標是不是方程的解，是否適合方程若適合方程，就說明點在曲線上；若不適合，就說明點不在曲線上2已知點在某曲線上，可將點的坐標代入曲線的方程，從而可研究有關(guān)參數(shù)的值或范圍問題一、選擇題1方程|x|y|xy|1表示的曲線是()A一條直線B一個正方形C一個圓D四條直線考點曲線和方程的概念題點由方程研究曲線的對稱性答案D解析由|x|y|xy|1，得(|x|1)(|y|1)0，即x±1或y±1，因此該方程表示四條直線2已知0<2，點P(cos，sin)在曲線(x2)2y23上，則的值為()A.B.C.或D.或考點曲線和方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用答案C解析由(cos2)2sin23，得cos.又因為0<2，所以或.3方程|x|y|0表示的圖形是下圖中的()考點曲線和方程的概念題點由方程研究曲線的對稱性答案C解析由|x|y|0知，y±x，即表示一、三象限角平分線或二、四象限角平分線4已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，若動點P滿足|PA|2|PB|，則點P的軌跡所圍成的面積為()A9B8C4D考點曲線與方程的意義題點曲線與方程的綜合應(yīng)用答案C解析設(shè)P(x，y)，|PA|2|PB|，(x2)2y24(x1)24y2，(x2)2y24，點P的軌跡為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，所圍成的面積S·224.5在平面直角坐標系中，動點P(x，y)到兩條坐標軸的距離之和等于它到點(1,1)的距離，記點P的軌跡為曲線W，則有下列命題：曲線W關(guān)于原點對稱；曲線W關(guān)于x軸對稱；曲線W關(guān)于y軸對稱；曲線W關(guān)于直線yx對稱其中真命題的個數(shù)是()A1B2C3D4考點曲線與方程的意義題點曲線與方程的綜合應(yīng)用答案A6過三點A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點，則|MN|等于()A2B8C4D10考點求曲線方程的方法題點幾何法求曲線方程答案C解析由已知，得(3，1)，(3，9)，則·3×(3)(1)×(9)0，所以，即ABBC，故過三點A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，故選C.7已知兩點A(，0)，B(，0)，點P為平面內(nèi)一動點，過點P作y軸的垂線，垂足為Q，且·22，則動點P的軌跡方程為()Ax2y22By2x22Cx22y21D2x2y21考點求曲線方程的方法題點定義法求曲線方程答案B解析設(shè)動點P的坐標為(x，y)，則點Q的坐標為(0，y)，(x,0)，(x，y)，(x，y)，·x22y2.由·22，得x22y22x2，所以所求動點P的軌跡方程為y2x22.二、填空題8方程(x1)20表示的是_考點討論方程的曲線類型題點其他類型的曲線與方程答案點(1,2) 解析由(x1)20，知(x1)20且0，即x1且y2，所以(x1)20表示的是點(1,2)9已知點F(1,0)，直線l：x1，P為平面上的一動點，過點P作l的垂線，垂足為Q，且··，則動點P的軌跡C的方程是_考點求曲線方程的方法題點坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程答案y24x(x0)解析設(shè)點P(x，y)，則Q(1，y)由··，得(x1,0)·(2，y)(x1，y)·(2，y)，所以2(x1)2(x1)y2，化簡得y24x(x0)10若點A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2xy20表示的曲線上，則m_.考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用答案1解析A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2xy20表示的曲線上，11點A(1，2)在曲線x22xyay50上，則a_.考點曲線與方程的概念題點點在曲線上的應(yīng)用答案5解析由題意可知點(1，2)是方程x22xyay50的一組解，即142a50，解得a5.三、解答題12已知A(3,0)，B，C兩點分別在y軸和x軸上運動，點P為BC延長線上一點，并且滿足，試求動點P的軌跡方程考點求曲線方程的方法題點直接法求曲線方程解設(shè)P(x，y)，B(0，y)，C(x，0)，則(x，y)，(x，yy)，由，得(x，y)(x，yy)，即x，yy，B(0，y)，又A(3,0)，(3，y)，(x,2y)，由，得·0，3x2y20，即動點P的軌跡方程為y2x.13過點P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M的軌跡方程考點求曲線方程的方法題點坐標轉(zhuǎn)移法求曲線方程解如圖所示，設(shè)點A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)因為M為線段AB的中點，所以a2x，b2y，即A(2x,0)，B(0,2y)因為l1l2，所以kAP·kPB1.而kAP(x1)，kPB，所以·1(x1)，整理，得x2y50(x1)因為當x1時，A，B的坐標分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點坐標是(1,2)，它滿足方程x2y50.綜上所述，點M的軌跡方程是x2y50.四、探究與拓展14方程1表示的圖形是()A一條直線B兩條平行線段C一個正方形D一個正方形(除去四個頂點)考點討論方程的曲線類型題點其他類型的曲線與方程答案D解析由方程可知，方程表示的圖形關(guān)于坐標軸和原點對稱，且x0，y0.當x0，y0時，方程可化為xy1，表示第一象限內(nèi)的一條線段(去掉兩端點)，因此原方程表示的圖形是一個正方形(除去四個頂點)，故選D.15已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓O：x2y21，M為直角坐標平面內(nèi)一動點，過點M作圓O的切線，切點為N，若|MN|與|MQ|的比值等于常數(shù)(0)，求動點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線考點求曲線方程的方法題點直接法求曲線方程解連接ON，OM，易知ONMN，設(shè)M(x，y)圓O的半徑是1，|MN|2|OM|2|ON|2|OM|21.由題意，|MN|MQ|，即，整理得(21)(x2y2)42x(142)0.0，當1時，方程化為x，該方程表示一條直線；當1時，方程化為2y2，該方程表示以為圓心，以為半徑的圓13