§2.5直線與圓錐曲線的位置關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線與圓錐曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與相應(yīng)方程組的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.能用判別式法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.掌握直線與橢圓、雙曲線、拋物線位置關(guān)系的簡(jiǎn)單問題的基本解法.4.掌握直線與圓錐曲線有關(guān)的綜合問題的解決方法1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(1)相離直線與圓錐曲線無公共點(diǎn)(2)相切直線與圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)(3)相交2弦長(zhǎng)公式當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，往往涉及弦的長(zhǎng)度，可利用弦長(zhǎng)公式表示弦長(zhǎng)，從而研究相關(guān)的問題，弦長(zhǎng)公式為：若直線l的斜率為k，與圓錐曲線C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則|AB|x1x2|y1y2|.3直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消元得方程ax2bxc0.方程特征交點(diǎn)個(gè)數(shù)位置關(guān)系直線與橢圓a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與雙曲線a01直線與雙曲線的漸近線平行且兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離直線與拋物線a01直線與拋物線的對(duì)稱軸重合或平行且兩者相交a0，>02相交a0，01相切a0，<00相離應(yīng)用弦長(zhǎng)公式時(shí)注意的問題直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)問題一定注意直線斜率不存在的情況，同時(shí)，當(dāng)直線過x軸上一個(gè)定點(diǎn)(c,0)時(shí)，直線方程設(shè)為xmyc，此種設(shè)法，在拋物線中運(yùn)用，顯得更為方便(1)橢圓1上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是ac.()(2)過點(diǎn)(2,4)的直線與橢圓y21只有一條切線(×)(3)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)為雙曲線1上的任一點(diǎn)，則|x0|a.(×)類型一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1直線ymx1與橢圓x24y21有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求m2的值解因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，由消去y，得(14m2)x28mx30，所以由64m212(14m2)16m2120，解得m2.引申探究1典例中若直線與橢圓相交，弦的中點(diǎn)的軌跡方程是什么？解由得(4m21)x28mx30，64m212(4m21)16m212>0，即m2>，設(shè)中點(diǎn)M(x，y)，交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以消去m，得x24y24y0.2典例中若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)解由得(4m21)x28mx30，64m212(4m21)16m212>0，即m>或m<，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則因此|AB|.反思與感悟直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法跟蹤訓(xùn)練1已知直線l：y2xm，橢圓C：1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)解將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將代入，整理得9x28mx2m240.方程根的判別式64m24×9×(2m24)8m2144.(1)當(dāng)>0，即3<m<3時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)(2)當(dāng)0，即m±3時(shí)，方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)互相重合的公共點(diǎn)，即直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)當(dāng)<0，即m<3或m>3時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)類型二弦長(zhǎng)問題例2(2017·寧波檢測(cè))設(shè)橢圓M：1(a>b>0)的離心率與雙曲線x2y21的離心率互為倒數(shù)，且橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓M的方程；(2)若直線yxm交橢圓M于A，B兩點(diǎn)，P(1，)為橢圓M上一點(diǎn)，求PAB面積的最大值解(1)由題意可知，雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率e.由得a2，c，b，故橢圓M的方程為1.(2)聯(lián)立方程消去y，得4x22mxm240，由8m216(m24)>0，得2<m<2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以|AB|x1x2|···.又點(diǎn)P到直線AB的距離為d，所以SPAB|AB|·d···.當(dāng)且僅當(dāng)m±2(2，2)時(shí)取等號(hào)，所以(SPAB)max.反思與感悟圓錐曲線的弦長(zhǎng)的求解步驟跟蹤訓(xùn)練2已知橢圓C：1(a>b>0)，直線l1：1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2，過橢圓C的右焦點(diǎn)且斜率為的直線l2被橢圓C截得的弦長(zhǎng)是橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的，求橢圓C的方程解由l1被橢圓C截得的弦長(zhǎng)為2，得a2b28.設(shè)l2：y(xc)，代入橢圓C的方程并化簡(jiǎn)，得(b23a2)x26a2cxa2(3c2b2)0.設(shè)直線l2與橢圓C交于點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x2，x1x2，從而|x1x2|，則由弦長(zhǎng)公式，得|MN|·.化簡(jiǎn)，得a23b2.聯(lián)立a2b28，a23b2，得a26，b22，故橢圓C的方程為1.類型三圓錐曲線中的綜合問題例3已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|·|BM|為定值(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓C的方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2,0)，B(0,1)設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則y1.當(dāng)x00時(shí)，直線PA的方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB的方程為yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|·|BM|··4.當(dāng)x00時(shí)，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|·|BM|4.故|AN|·|BM|為定值反思與感悟定值問題類型及常見解法(1)直線過定點(diǎn)型，一般通過運(yùn)算使直線方程中只含一個(gè)參數(shù)來求定點(diǎn)(2)參數(shù)和為定值型，往往把參數(shù)用交點(diǎn)坐標(biāo)表示，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系代入化簡(jiǎn)為某一常數(shù)跟蹤訓(xùn)練3橢圓C：1(a>b>0)的離心率e，ab3.(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，A，B，D是橢圓C的頂點(diǎn)，P是橢圓C上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線DP交x軸于點(diǎn)N，直線AD交BP于點(diǎn)M，設(shè)BP的斜率為k，MN的斜率為m，證明2mk為定值(1)解因?yàn)閑，故1，所以a2b.再由ab3，得a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)證明因?yàn)锽(2,0)，P不為橢圓頂點(diǎn)，則可設(shè)BP的方程為yk(x2).將代入y21，解得P.又直線AD的方程為yx1，與聯(lián)立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三點(diǎn)共線可解得N.所以MN的斜率為m，則2mkk(定值)例4(2017·杭州檢測(cè))已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求直線l的方程解(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故橢圓E的方程為y21.(2)當(dāng)直線lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)直線l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21得，(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時(shí)，x1,2.從而|PQ|x1x2|.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d，所以O(shè)PQ的面積SOPQd·|PQ|.設(shè)t，則t>0，SOPQ.因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k±時(shí)等號(hào)成立，且滿足>0，所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，直線l的方程為y±x2.反思與感悟最值問題的兩種常見求法(1)數(shù)形結(jié)合法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義時(shí)，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法求解或構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式(如雙曲線的范圍，直線與圓錐曲線相交時(shí)>0等)，通過解不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍(2)目標(biāo)函數(shù)法：當(dāng)題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系時(shí)，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域，最后確定最值跟蹤訓(xùn)練4已知橢圓1，動(dòng)直線l與橢圓交于B，C兩點(diǎn)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，求OBC面積的最大值解直線OB的方程為yx，即3x2y0，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C且平行于直線OB的直線l的方程為yxb，則當(dāng)l與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，OBC的面積最大聯(lián)立化為3x23bxb230，由9b212(b23)0，解得b±2.當(dāng)b2時(shí)，C；當(dāng)b2時(shí)，C.所以O(shè)BC面積的最大值為××.1平面上到定點(diǎn)A(1,0)和到定直線l：x2y30的距離相等的點(diǎn)的軌跡為()A直線B拋物線C雙曲線D橢圓答案B2一條直線與雙曲線的兩支交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為()A1B2C3D4答案B3拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B4若直線axy10與拋物線y24x有兩交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，0)(0,1)5已知橢圓1(a>b>0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，|AB|2，則該橢圓的方程為_，離心率為_答案11解決直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問題時(shí)，主要方法是構(gòu)建一元二次方程，判斷其解的個(gè)數(shù)確定斜率與直線的傾斜角時(shí)，應(yīng)特別注意斜率為0和斜率不存在的兩種情形，以及在雙曲線和拋物線中，直線和圓錐曲線有一個(gè)公共點(diǎn)并不一定相切2在探求最值時(shí)，常結(jié)合幾何圖形的直觀性，充分利用平面幾何結(jié)論，借助于函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等使問題獲解同時(shí)，要注意未知數(shù)的取值范圍、最值存在的條件一、選擇題1(2017·金華檢測(cè))直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為()A1B1或3C0D1或0答案D2(2017·臺(tái)州檢測(cè))已知雙曲線1(a>0，b>0)與直線y2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為()A(1，) B(1，C(，) D，)答案C3過拋物線y28x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于C，若|AF|6，則的值為()A.B.C.D3答案D4已知雙曲線1 (b>0)，以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為()A.1B.1C.1D.1答案D5已知雙曲線方程為1，過點(diǎn)(2，0)作直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)A，B，記滿足|AB|m的直線l的條數(shù)為f(m)，則f(m)的可能取值為()A0,2,4B1,2,3,4C0,1,2,3,4D2,4答案A6(2017·金華檢測(cè))過拋物線x24y的焦點(diǎn)F作直線AB，CD與拋物線交于A，B，C，D四點(diǎn)，且ABCD，則··的最大值等于()A4B16C4D8答案B二、填空題7若斜率為的直線l與橢圓1(a>b>0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)在x軸上的射影恰好是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_答案8拋物線焦點(diǎn)在y軸上，截得直線yx1的弦長(zhǎng)為5，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_，準(zhǔn)線方程為_答案x24y或x220yy1或y59設(shè)直線l與拋物線y24x相交于A，B兩點(diǎn)，與圓(x5)2y2r2(r>0)相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍為_答案(2,4)解析如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則兩式相減得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2)當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條當(dāng)k存在時(shí)，x1x2，則有·2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k·1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直線x3上將x3代入y24x，得y212，則有2<y0<2.因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以(x05)2yr2，故r2y4<12416.又y4>4(為保證有4條，在k存在時(shí)，y00)，所以4<r2<16，即2<r<4.10(2017·嘉興檢測(cè))如圖，過拋物線yx2的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線和圓x2(y1)21交于A，D，B，C四點(diǎn)，則·_.若直線l的傾斜角為45°，則·_.答案116三、解答題11(2017·紹興檢測(cè))如圖所示，橢圓C：1(a>b>0)，其中e，焦距為2，過點(diǎn)M(4,0)的直線l與橢圓C交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在AM之間，又點(diǎn)A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，且.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求實(shí)數(shù)的值解(1)由條件可知，c1，a2，故b2a2c23，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)由，可知A，B，M三點(diǎn)共線，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，點(diǎn)B(x2，y2)，顯然AB所在直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為yk(x4)由消去y，得(34k2)x232k2x64k2120，由的判別式322k44(4k23)·(64k212)144(14k2)>0，解得k2<，且由(x1x2)，可得k2，將k2代入方程，得7x28x80，x1,2，又因?yàn)?4x1，y1)，(x24，y2)，.所以，所以.12(2017·溫州檢測(cè))已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率e，點(diǎn)M為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MAB面積的最大值是2.(1)求橢圓的方程；(2)若過橢圓C右頂點(diǎn)B的直線l與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為D，線段BD的垂直平分線與y軸交于點(diǎn)P，當(dāng)·0時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解(1)由題意可知解得a2，b，所以橢圓方程是1.(2)由(1)知B(2,0)，設(shè)直線BD的方程為yk(x2)，D(x1，y1)，把yk(x2)代入橢圓方程1.整理得(34k2)x216k2x16k2120，所以2x1，即x1，則D，所以BD中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線BD的垂直平分線方程為y，得P，又·0，即·0，化簡(jiǎn)得0，即16k47k290，解得k±.故P或.13(2017·紹興檢測(cè))如圖，已知拋物線C1：yx2，圓C2：x2(y1)21，過點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過原點(diǎn)O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點(diǎn)(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)求PAB的面積解(1)由題意可知，直線PA的斜率存在，故可設(shè)直線PA的方程為yk(xt)，由消去y整理得x24kx4kt0.因?yàn)橹本€PA與拋物線相切，所以16k216kt0，解得kt.所以x2t，即點(diǎn)A(2t，t2)圓C2的圓心為D(0,1)，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0，y0)，由題意知，點(diǎn)B，O關(guān)于直線PD對(duì)稱，故有解得x0，y0.即點(diǎn)B.(2)由(1)知，|AP|t，直線AP的方程為txyt20，所以點(diǎn)B到直線PA的距離為d.所以PAB的面積為S|AP|·d.四、探究與拓展14已知雙曲線x21，過點(diǎn)P(2,1)作一條直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，并使P為AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率為_，方程為_答案66xy11015(2017·杭州檢測(cè))已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)P，過它的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作直線l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且l1l2.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍解(1)由，得a2c，所以a24c2，b23c2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為1.(2)若l1與l2中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時(shí)四邊形的面積S6.若l1與l2的斜率都存在，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為.不妨設(shè)直線l1的方程為yk(x1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y整理得，(4k23)x28k2x4k2120，64k44(34k2)(4k212)144k2144>0，x1x2，x1·x2，所以|x1x2|.|AB|x1x2|.同理可得|CD|，所以S|AB|·|CD|，令k2t(0，)，S66，故S，綜上可知，四邊形ACBD面積S的取值范圍是.17