第2課時(shí)直線與平面平行學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面的三種位置關(guān)系，會(huì)判斷直線與平面的位置關(guān)系.2.學(xué)會(huì)用圖形語言、符號(hào)語言表示三種位置關(guān)系.3.掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能利用兩個(gè)定理解決空間中的平行關(guān)系問題知識(shí)點(diǎn)一直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系定義圖形語言符號(hào)語言直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)aA直線與平面平行沒有公共點(diǎn)a知識(shí)點(diǎn)二直線與平面平行的判定思考1如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面內(nèi)，把這塊木板繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，AB的對(duì)邊CD(不落在內(nèi))和平面有何位置關(guān)系？答案平行思考2如圖，平面外的直線a平行于平面內(nèi)的直線b.這兩條直線共面嗎？直線a與平面相交嗎？答案由于直線ab，所以兩條直線共面，直線a與平面不相交梳理直線與平面平行的判定定理文字語言符號(hào)表示圖形表示如果不在一個(gè)平面內(nèi)一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行l(wèi)知識(shí)點(diǎn)三直線與平面平行的性質(zhì)思考1如圖，直線l平面，直線a平面，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？答案不一定，因?yàn)檫€可能是異面直線思考2如圖，直線l平面，直線l平面，平面平面直線m，滿足以上條件的平面有多少個(gè)？直線l，m有什么位置關(guān)系？答案無數(shù)個(gè)，lm.梳理直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言符號(hào)表示圖形表示如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行l(wèi)m1若直線l上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則l平面.(×)2若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線平行(×)3兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行(×)類型一直線與平面平行的判定例1已知公共邊為AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且APDQ(如圖)求證：PQ平面CBE.證明方法一作PMAB交BE于點(diǎn)M，作QNAB交BC于點(diǎn)N，連接MN，如圖，則PMQN，.EABD，APDQ，EPBQ.，又ABCD，PMQN，四邊形PMNQ是平行四邊形，PQMN.又PQ平面CBE，MN平面CBE，PQ平面CBE.方法二如圖所示，連接AQ并延長交BC的延長線于K，連接EK.AEBD，APDQ，PEBQ，又ADBK，PQEK，又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.反思與感悟證明直線與平面平行的兩種方法(1)定義法：證明直線與平面沒有公共點(diǎn)，一般直接證明較為困難，往往借助于反證法來證明(2)定理法：平面外一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行跟蹤訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF平面AD1G.證明連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)知，EFBC1.又AB綊A1B1綊D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1AD1，所以EFAD1.又EF平面AD1G，AD1平面AD1G，所以EF平面AD1G.類型二線面平行的性質(zhì)的應(yīng)用例2如圖，用平行于四面體ABCD的一組對(duì)棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形證明因?yàn)锳B平面MNPQ，平面ABC平面MNPQMN，且AB平面ABC，所以由線面平行的性質(zhì)定理知，ABMN.同理ABPQ，所以MNPQ.同理可得MQNP.所以截面MNPQ是平行四邊形引申探究1若本例條件不變，求證：.證明由例1知：PQAB，.又QMDC，.2若本例中添加條件：ABCD，AB10，CD8，且BPPD11，求四邊形MNPQ的面積解由例1知，四邊形MNPQ是平行四邊形，ABCD，PQQM，四邊形MNPQ是矩形又BPPD11，PQ5，QM4，四邊形MNPQ的面積為5×420.反思與感悟(1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟(2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行跟蹤訓(xùn)練2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF平面AB1C，則線段FE的長度等于_答案解析EF平面AB1C，又平面ADC平面AB1CAC，EF平面ADC，EFAC，E是AD的中點(diǎn)，EFAC×2.類型三線面平行的綜合應(yīng)用例3如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，平面PBC平面PADl.(1)求證：lBC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論(1)證明因?yàn)锽CAD，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因?yàn)槠矫鍼BC平面PADl，且BC平面PBC，所以BCl.(2)解平行證明如下：如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，可以證得NEAM且NEAM，所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MNAE.又AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN平面PAD.反思與感悟判定定理與性質(zhì)定理常常交替使用，即先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行，復(fù)雜的題目還可以繼續(xù)推下去，我們可稱它為平行鏈，如下：線線平行線面平行線線平行跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：GH平面PAD.證明如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，PAMO，而AP平面BDM，OM平面BDM，PA平面BMD，又PA平面PAHG，平面PAHG平面BMDGH，PAGH.又PA平面PAD，GH平面PAD，GH平面PAD.1如圖，在正方體ABCDABCD中，E，F(xiàn)分別為平面ABCD和平面ABCD的中心，則正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)答案D解析由直線與平面平行的判定定理知EF與平面AB，平面BC，平面CD，平面AD均平行故與EF平行的平面有4個(gè)2梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，則直線CD與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是()A平行 B平行或異面C平行或相交 D異面或相交答案B解析CD，直線CD與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系是平行或異面3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則A1C1與平面ACE的位置關(guān)系為_考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案平行解析A1C1AC，A1C1平面ACE，AC平面ACE，A1C1平面ACE.4.如圖所示，直線a平面，A，并且a和A位于平面兩側(cè)，點(diǎn)B，Ca，AB，AC分別交平面于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BC4，CF5，AF3，則EF_.答案解析由于點(diǎn)A不在直線a上，則直線a和點(diǎn)A確定一個(gè)平面，所以EF.因?yàn)閍平面，a平面，所以EFa.所以.所以EF.5.如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)求證：AF平面PCE.證明如圖，取PC的中點(diǎn)M，連接ME，MF，則FMCD且FMCD.又AECD且AECD，F(xiàn)M綊AE，即四邊形AFME是平行四邊形，AFME.又AF平面PCE，EM平面PCE，AF平面PCE.1求證兩直線平行有兩種常用的方法：一是應(yīng)用基本性質(zhì)4，證明時(shí)要充分應(yīng)用好平面幾何知識(shí)，如平行線分線段成比例定理、三角形的中位線定理等二是證明在同一平面內(nèi)，這兩條直線無公共點(diǎn)2求證角相等也有兩種常用的方法：一是應(yīng)用等角定理，在證明的過程中常用到基本性質(zhì)4，注意兩角對(duì)應(yīng)邊方向的討論二是應(yīng)用三角形全等或相似3利用直線與平面平行的判定定理來證明線面平行，關(guān)鍵是尋找面內(nèi)與已知直線平行的直線，常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等4利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟：(1)確定(或?qū)ふ?一條直線平行于一個(gè)平面(2)確定(或?qū)ふ?過這條直線且與這個(gè)平面相交的平面(3)確定交線，由性質(zhì)定理得出結(jié)論.一、選擇題1若直線a，b是異面直線，a，則b與平面的位置關(guān)系是()A平行 B相交Cb D平行或相交答案D解析a，b異面，且a，b，b與平行或相交2.如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G，H分別為SB，BD上的點(diǎn)，若GH平面SCD，則()AGHSABGHSDCGHSCD以上均有可能答案B解析因?yàn)镚H平面SCD，GH平面SBD，平面SBD平面SCDSD，所以GHSD，顯然GH與SA，SC均不平行，故選B.3.P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論：OMPD；OM平面PCD；OM平面PDA；OM平面PBA；OM平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案C解析由題意知，OMPD，則OM平面PCD，且OM平面PDA.4已知直線l平面，P，那么過點(diǎn)P且平行于l的直線()A只有一條，不在平面內(nèi)B只有一條，在平面內(nèi)C有兩條，不一定都在平面內(nèi)D有無數(shù)條，不一定都在平面內(nèi)答案B解析如圖所示，l平面，P，直線l與點(diǎn)P確定一個(gè)平面，m，Pm，lm且m是唯一的5一條直線l上有相異三個(gè)點(diǎn)A、B、C到平面的距離相等，那么直線l與平面的位置關(guān)系是()AlBlCl與相交但不垂直Dl或l答案D解析l時(shí)，直線l上任意點(diǎn)到的距離都相等l時(shí)，直線l上所有的點(diǎn)到的距離都是0；l時(shí)，直線l上有兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等；l與斜交時(shí)，也只能有兩點(diǎn)到的距離相等6.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E是BC的中點(diǎn)，D是AA1上的動(dòng)點(diǎn)，且m，若AE平面DB1C，則m的值為()A. B1 C. D2答案B解析如圖，取CB1的中點(diǎn)G，連接GE，DG，當(dāng)m1時(shí)，ADGEBB1且ADGE，四邊形ADGE為平行四邊形，則AEDG，可得AE平面DB1C.7如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，若，則與平面EFGH平行的直線有()A0條 B1條 C2條 D3條考點(diǎn)直線與平面平行的判定題點(diǎn)直線與平面平行的判定答案C解析，EFAB.又EF平面EFGH，AB平面EFGH，AB平面EFGH.同理，由，可證CD平面EFGH.與平面EFGH平行的直線有2條二、填空題8如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過點(diǎn)A，E，C的平面的位置關(guān)系是_答案平行解析如圖，連接BD，與AC交于點(diǎn)O，連接OE.OE為BDD1的中位線，BD1OE.又BD1平面AEC，OE平面AEC，BD1平面AEC.9.如圖，四邊形ABDC是梯形，ABCD，且AB平面，M是AC的中點(diǎn)，BD與平面交于點(diǎn)N，AB4，CD6，則MN_.答案5解析AB平面，AB平面ABDC，平面ABDC平面MN，ABMN.又M是AC的中點(diǎn)，MN是梯形ABDC的中位線，故MN(ABCD)5.10.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是正方體，若過A，C，B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與AC的關(guān)系是_答案平行解析ACA1C1，A1C1平面A1B1C1D1，AC平面A1B1C1D1，AC平面A1B1C1D1.平面ACB1平面A1B1C1D1l，ACl.11過三棱柱ABCA1B1C1的任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面ABB1A1平行的直線共有_條答案6解析如圖所示，與平面ABB1A1平行的直線有6條：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.三、解答題12如圖，四邊形ABCD為正方形，ABE為等腰直角三角形，ABAE，P是線段CD的中點(diǎn)，在直線AE上是否存在一點(diǎn)M，使得PM平面BCE.若存在，指出點(diǎn)M的位置，并證明你的結(jié)論解如圖，存在點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，PM平面BCE.取BE的中點(diǎn)N，連接CN，MN，則MN綊AB綊PC，所以四邊形MNCP為平行四邊形，所以PMCN.因?yàn)镻M平面BCE，CN平面BCE，所以PM平面BCE.13如圖，在三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G，H分別為AC，BC的中點(diǎn)求證：BD平面FGH.證明如圖，連接DG，CD，設(shè)CDGFO，連接OH.在三棱臺(tái)DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點(diǎn)，可得DF綊GC，所以四邊形DFCG為平行四邊形，則O為CD的中點(diǎn)，又H為BC的中點(diǎn)，所以O(shè)HBD.又OH平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.四、探究與拓展14下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的是()A BC D答案B解析如圖()，連接BC，則平面ABC平面MNP，所以AB平面MNP，所以正確如圖()，連接底面正方形對(duì)角線，并取其中點(diǎn)O，連接ON，則ONAB，所以AB與平面PMN相交，不平行，所以不滿足題意AB與平面PMN相交，不平行，所以不滿足題意因?yàn)锳BNP，所以AB平面MNP.所以正確故答案為.15.如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD.AB4.BCCD2，AA12，E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，AA1，AB的中點(diǎn)證明：直線EE1平面FCC1.證明如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中點(diǎn)F1，連接A1D，C1F1，CF1，F(xiàn)F1.FF1BB1CC1，F(xiàn)1F平面FCC1，平面FCC1即為平面C1CFF1.AB4，CD2且ABCD，CD綊A1F1，A1F1CD為平行四邊形，CF1A1D.又E，E1分別是棱AD，AA1的中點(diǎn)，EE1A1D，CF1EE1，又EE1平面FCC1，CF1平面FCC1，直線EE1平面FCC1.16