4.1.1直角坐標(biāo)系1掌握在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點的位置的方法，體會坐標(biāo)系的作用2對具體問題，能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所刻畫的代數(shù)形式具有更簡便的結(jié)果基礎(chǔ)·初探1直線坐標(biāo)系在直線上，取一個點為原點，并確定一個長度單位和直線的方向，就建立了直線上的坐標(biāo)系，即數(shù)軸數(shù)軸上任意一點P都可以由惟一的實數(shù)x確定，x稱為點P的坐標(biāo)2平面直角坐標(biāo)系在平面上，取兩條互相垂直的直線的交點為原點，并確定一個長度單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系平面上任意一點P都可以由惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)確定，(x，y)稱為點P的坐標(biāo)3空間直角坐標(biāo)系在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點的三條直線，取這三條直線的交點為原點，并確定一個長度單位和這三條直線的方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系空間中任意一點P都可以由惟一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)確定，(x，y，z)稱為點P的坐標(biāo)思考·探究1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系一般有哪些規(guī)則？【提示】(1)如果圖形有對稱中心，可以選擇對稱中心為坐標(biāo)原點；(2)如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標(biāo)軸；(3)使圖形上的特殊點盡可能多的落在坐標(biāo)軸上2由坐標(biāo)(x，y)怎樣確定點的位置？【提示】在平面直角坐標(biāo)系中，分別過點M(x,0)，N(0，y)作x軸和y軸的垂線，兩條直線的交點P即(x，y)所確定的點質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：_解惑：_疑問2：_解惑：_疑問3：_解惑：_建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系刻畫點的位置正方形的邊長等于4，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示其頂點與中心的坐標(biāo)【自主解答】法一以正方形的一個頂點為原點，兩條鄰邊為坐標(biāo)軸，且把第四個頂點放在第一象限，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示此時，其四個頂點的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2)法二以正方形的中心為原點，且使兩條坐標(biāo)軸平行于正方形的邊，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示此時，正方形的頂點坐標(biāo)分別為A(2，2)、B(2,2)、C(2,2)、D(2，2)，中心為O(0,0)法三以正方形的兩條對角線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(3)所示此時，正方形的頂點坐標(biāo)分別為A(2，0)、B(0,2)、C(2，0)、D(0，2)，中心為O(0,0)(作圖時只要以圖(2)中的原點O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標(biāo)軸的四個交點即是圖(3)中正方形的各個頂點)再練一題1選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示兩條直角邊長都為1的直角三角形的三個頂點的坐標(biāo)【導(dǎo)學(xué)號：98990000】【解】法一以直角三角形的兩條直角邊AC、BC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖(1)所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)法二以斜邊AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系則A(，0)，B(，0)，C(0，)建立坐標(biāo)系解決證明問題用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點，到兩腰的距離之差等于一腰上的高【自主解答】如圖，在ABC中，ABAC，P為BC延長線上一點，PDAB于D，PEAC于E，CFAB于F，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)A(0，b)，B(a,0)，C(a,0)(a0，b0)，則直線AB的方程為bxayab0，直線AC的方程為bxayab0，取P(x0,0)，使x0a，則點P到直線AB、AC的距離分別為PD，PE.點C到直線AB的距離為CF，則PDPECF.故所需證明命題成立再練一題2已知ABC中，ABAC，BD、CE分別為兩腰上的高，求證：BDCE.【證明】如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)B(a,0)，C(a,0)，A(0，h)則直線AC的方程為yxh，即：hxayah0.直線AB的方程為yxh，即：hxayah0.由點到直線的距離公式得：BD，CE.BDCE.建立坐標(biāo)系求軌跡方程如圖4­1­1所示，過點P(2,4)有兩條互相垂直的直線l1，l2.l1交x軸于A點，l2交y軸于B點，求線段AB的中點M滿足的方程圖4­1­1【思路探究】法一設(shè)點求斜率斜率積為1整理得方程檢查有無不適合的點結(jié)論法二設(shè)M(x，y)尋求M滿足的條件列方程檢查有無不適合的點結(jié)論法三O，A，P，B四點共圓PMMO求kOP及OP中點坐標(biāo)點斜式寫出OP的垂直平分線方程為所求【自主解答】法一設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，因為M為線段AB的中點，所以點A的坐標(biāo)為(2x,0)，點B的坐標(biāo)為(0,2y)因為l1l2，且l1，l2過點P(2,4)，所以kAP·kPB1.而kAP(x1)，kPB，所以·1(x1)，整理，得x2y50(x1)因為當(dāng)x1時，點A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x2y50.綜上所述，點M滿足的方程是x2y50.法二設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點的坐標(biāo)分別是(2x,0)，(0,2y)，連接PM.因為l1l2，所以PMAB.而PM，AB，所以2，化簡，得x2y50，即為所求方程法三因為l1l2，OAOB，點M為線段AB的中點，所以O(shè)，A，P，B四點共圓，且該圓的圓心為M(x，y)，所以PMMO，所以點M的軌跡為線段OP的垂直平分線因為kOP2，OP的中點坐標(biāo)為(1,2)，所以點M滿足的方程為y2(x1)，化簡得x2y50.通過建立坐標(biāo)系精確地刻畫集合圖形的位置和物體運動的軌跡的方法稱為解析法解決此類問題的關(guān)鍵：(1)建立平面直角坐標(biāo)系；(2)設(shè)點(點與坐標(biāo)的對應(yīng))；(3)列式(方程與坐標(biāo)的對應(yīng)，列出幾何條件，并將幾何條件代數(shù)化)；(4)化簡(注意變形的等價性)；(5)證明(若保證等價變形，則此步驟可以省略)再練一題3設(shè)圓(x1)2y21的圓心為C，過原點作圓的弦OA，求OA中點B的軌跡方程【解】法一(直接法)：設(shè)B點坐標(biāo)為(x，y)，由題意，得OB2BC2OC2，如圖所示，即x2y2(x1)2y21，即OA中點B的軌跡方程為(x)2y2(去掉原點)法二(幾何法)：設(shè)B點坐標(biāo)為(x，y)，由題意知CBOA，OC的中點記為M(，0)，則MBOC，故B點的軌跡方程為(x)2y2(去掉原點)法三(代入法)：設(shè)A點坐標(biāo)為(x1，y1)，B點坐標(biāo)為(x，y)，由題意得即又因為(x11)2y1，所以(2x1)2(2y)21，即(x)2y2(去掉原點)法四(交點法)：設(shè)直線OA的方程為ykx，當(dāng)k0時，B為(1,0)；當(dāng)k0時，直線BC的方程為：y(x1)，直線OA，BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點軌跡方程：y2x(x1)0，即(x)2y2(x0,1)，顯然B(1,0)滿足(x)2y2，故(x)2y2(去掉原點)為所求真題鏈接賞析(教材第16頁習(xí)題4.1第4題)據(jù)氣象臺預(yù)報，在A市正東方300 km的B處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時40 km的速度向西北方向移動，在距臺風(fēng)中心250 km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響問：從現(xiàn)在起經(jīng)過多少時間，臺風(fēng)將影響A市，持續(xù)時間多長？已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計劃經(jīng)過B村沿著北偏東60°的方向埋設(shè)一條地下管線m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)試問：埋設(shè)地下管線m的計劃需要修改嗎？【命題意圖】本題主要考查合理建立直角坐標(biāo)系，并能應(yīng)用其解決實際問題的能力【解】以A村為原點，直線BA為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系則點B坐標(biāo)為(1 000,0)，點W坐標(biāo)為(200，200)，由題意，管線m的斜率為ktan 30°，所以管線m所在的方程為y(x1 000)，化簡得x3y1 0000，即xy1 0000.點W到該直線m的距離為d|500100100|100(5)因為51，所以d100.故管線m不會穿過禁區(qū)，故該計劃不需要修改1已知點P(12m，3m)在第三象限，則m的取值范圍是_【解析】第三象限點的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均小于0，即3m.【答案】(3，)2點P(2，3，1)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)是_【解析】P(x，y，z)關(guān)于平面yOz坐標(biāo)平面對稱的為點P(x，y，z)，點(2，3，1)關(guān)于yOz平面的對稱點為(2，3，1)【答案】(2，3，1)3ABC中，B(2,0)，C(2,0)，ABC的周長為10，則A點的軌跡方程是_【解析】BC4，ABAC10BC6BC，A的軌跡為橢圓除去B、C兩點，設(shè)橢圓方程為1，故2a6,2c4，即a3，c2，b232225.故軌跡方程為1(y0)【答案】1(y0)4點(2，3)關(guān)于直線3x4y50對稱的點的坐標(biāo)為_【導(dǎo)學(xué)號：98990001】【解析】設(shè)所求對稱點為(x，y)，則解得所求對稱點坐標(biāo)為(，)【答案】(，)我還有這些不足：(1)_(2)_我的課下提升方案：(1)_(2)_8