第3課時　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 學習目標　1.了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導法則.2.能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導法則，并結(jié)合已經(jīng)學過的公式、法則進行一些復(fù)合函數(shù)的求導(僅限于形如f(ax＋b)的導數(shù))． 知識點　復(fù)合函數(shù)的概念及求導法則 已知函數(shù)y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)． 思考　這兩個函數(shù)有什么共同特征？ 答案　函數(shù)y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由兩個基本函數(shù)復(fù)合而成的． 梳理 復(fù)合函數(shù)的概念 一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x)). 復(fù)合函數(shù)的求導法則 復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積. 1．函數(shù)y＝e－x的導數(shù)為y′＝e－x.(　×　) 2．函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)為f′(x)＝cos x．(　×　) 3．函數(shù)y＝cos(3x＋1)由函數(shù)y＝cos u，u＝3x＋1復(fù)合而成．(　√　) 類型一　求復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 例1　求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝； (2)y＝log2(2x＋1)； (3)y＝ecos x＋1； (4)y＝sin2. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 解　(1)y＝， 設(shè)y＝，u＝1－2x2， 則y′＝()′(1－2x2)′＝·(－4x) ＝－·(－4x)＝2x. (2)設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1， 則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝＝. (3)設(shè)y＝eu，u＝cos x＋1， 則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eu·(－sin x) ＝－ecos x＋1sin x. (4)y＝ 對于t＝cos， 設(shè)u＝4x＋， 則t＝cos u，tu′ux′＝－4sin u＝－4sin. ∴y′＝2sin. 反思與感悟　(1)求復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的步驟 (2)求復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的注意點：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導時分清是對哪個變量求導；③計算結(jié)果盡量簡潔． 跟蹤訓練1　求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝(x2－4)2；(2)y＝ln(6x＋4)； (3)y＝103x－2；(4)y＝； (5)y＝sin；(6)y＝cos2x. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 解　(1)y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x ＝4x3－16x. (2)y′＝·(6x＋4)′＝. (3)y′＝(103x－2ln 10)·(3x－2)′＝3×103x－2ln 10. (4)y′＝·(2x－1)′＝ . (5)y′＝cos·′＝3cos. (6)y′＝2cos x·(cos x)′＝－2cos x·sin x＝－sin 2x. 例2　求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝； (2)y＝x； (3)y＝xcossin. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 解　(1)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝， ∴y′＝ ＝＝. (2)y′＝(x)′ ＝x′＋x()′ ＝＋ ＝. (3)∵y＝xcossin ＝x(－sin 2x)cos 2x＝－xsin 4x， ∴y′＝′ ＝－sin 4x－cos 4x·4 ＝－sin 4x－2xcos 4x. 反思與感悟　(1)在對函數(shù)求導時，應(yīng)仔細觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導法則，聯(lián)系學過的求導公式，對不易用求導法則求導的函數(shù)，可適當?shù)剡M行等價變形，以達到化異求同、化繁為簡的目的． (2)復(fù)合函數(shù)的求導熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程，直接運用公式，由外及內(nèi)逐層求導． 跟蹤訓練2　求下列函數(shù)的導數(shù)． (1)y＝sin3x＋sin x3； (2)y＝xln(1＋2x)． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 解　(1)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′ ＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2 ＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (2)y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′ ＝ln(1＋2x)＋. 類型二　復(fù)合函數(shù)導數(shù)的應(yīng)用 例3　設(shè)f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b為常數(shù))，曲線y＝f(x)與直線y＝x在(0,0)點相切，求a，b的值． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 解　由曲線y＝f(x)過(0,0)點， 可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1. 由f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b， 得f′(x)＝＋＋a， 則f′(0)＝1＋＋a＝＋a， 即為曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線的斜率． 由題意，得＋a＝，故a＝0. 反思與感悟　復(fù)合函數(shù)導數(shù)的應(yīng)用問題，正確的求出此函數(shù)的導數(shù)是前提，審題時注意所給點是不是切點，挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過一定點的切線問題，尋求切點是解決問題的關(guān)鍵． 跟蹤訓練3　曲線y＝esin x在點(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 解　由y＝esin x， 得y′＝(esin x)′＝cos xesin x， 即＝1， 則切線方程為y－1＝x－0，即x－y＋1＝0. 若直線l與切線平行，可設(shè)直線l的方程為x－y＋c＝0. 兩平行線間的距離d＝＝，得c＝3或c＝－1. 故直線l的方程為x－y＋3＝0或x－y－1＝0. 1．函數(shù)y＝(ex＋e－x)的導數(shù)是(　　) A.(ex－e－x) B.(ex＋e－x) C．ex－e－x D．ex＋e－x 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　A 解析　y′＝′＝(ex－e－x)． 2．函數(shù)y＝x2cos的導數(shù)為(　　) A．y′＝2xcos－x2sin B．y′＝2xcos－2x2sin C．y′＝x2cos－2xsin D．y′＝2xcos＋2x2sin 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　B 解析　y′＝(x2)′cos＋x2′ ＝2xcos＋x2′ ＝2xcos－2x2sin. 3．已知函數(shù)f(x)＝ln(3x－1)，則f′(1)＝________. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　 解析　∵f′(x)＝·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝. 4．函數(shù)y＝2cos2x在x＝處的切線斜率為________． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案?。? 解析　由函數(shù)y＝2cos2x＝1＋cos 2x， 得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x， 所以函數(shù)在x＝處的切線斜率為－2sin＝－1. 5．曲線y＝在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為________． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　e2 解析　y′＝， 切線的斜率k＝e2， 則切線方程為y－e2＝(x－4)， 令x＝0，得y＝－e2， 令y＝0，得x＝2， ∴切線與坐標軸圍成的面積為×2×|－e2|＝e2. 求簡單復(fù)合函數(shù)f(ax＋b)的導數(shù) 實質(zhì)是運用整體思想，先把簡單復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再對y＝f(u)與u＝ax＋b分別求導，并把所得結(jié)果相乘．靈活應(yīng)用整體思想把函數(shù)化為y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是關(guān)鍵. 一、選擇題 1．下列函數(shù)不是復(fù)合函數(shù)的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　復(fù)合函數(shù)的判斷 答案　A 解析　A中的函數(shù)是一個多項式函數(shù)，B中的函數(shù)可看作函數(shù)u＝x＋，y＝cos u的復(fù)合函數(shù)，C中的函數(shù)可看作函數(shù)u＝ln x，y＝的復(fù)合函數(shù)，D中的函數(shù)可看作函數(shù)u＝2x＋3，y＝u4的復(fù)合函數(shù)，故選A. 2．函數(shù)y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數(shù)等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　D 解析　y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′ ＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2 ＝3x2＋2x－1， 所以y′|x＝1＝4. 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－2x3)10，則f′(1)等于(　　) A．0 B．60 C．－1 D．－60 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　B 解析　f′(x)＝10(1－2x3)9(－6x2) 所以f′(1)＝10(1－2)9(－6)＝60. 4．函數(shù)y＝xln(2x＋5)的導數(shù)為(　　) A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln(2x＋5) D. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　B 解析　y′＝[xln(2x＋5)]′ ＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′ ＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′ ＝ln(2x＋5)＋. 5．設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(0,0)處的切線方程為y＝2x，則a等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　y′＝a－，由題意得＝2，即a－1＝2， 所以a＝3. 6．曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　) A. B. C. D．1 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　A 解析　∵＝－2e－2×0＝－2，∴曲線在點(0,2)處的切線方程為y＝－2x＋2. 由得x＝y(tǒng)＝， ∴A， 則圍成的三角形的面積為××1＝. 7．已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　y′＝＝ ＝. ∵ex＋≥2， ∴ex＋＋2≥4， ∴y′∈[－1,0)，即tan α∈[－1,0)， ∴α∈. 二、填空題 8．函數(shù)y＝sin 2xcos 3x的導數(shù)是________________． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x 解析　∵y＝sin 2xcos 3x， ∴y′＝(sin 2x)′cos 3x＋sin 2x(cos 3x)′ ＝2cos 2xcos 3x－3sin 2xsin 3x. 9．曲線y＝xex－1在點(1,1)處切線的斜率為________． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　2 解析　y′＝ex－1＋xex－1＝(x＋1)ex－1， 故曲線在點(1,1)處的切線斜率為(1＋1)e1－1＝2. 10．若y＝f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝________. 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 答案　1 解析　令u＝2x＋a， 則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝(u2)′(2x＋a)′＝4(2x＋a)， 則f′(2)＝4(2×2＋a)＝20，∴a＝1. 11．若曲線y＝e－x上點P處的切線平行于直線2x＋y＋1＝0，則點P的坐標是________． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　(－ln 2,2) 解析　設(shè)P(x0，)， ＝＝－2，得x0＝－ln 2， ∴P(－ln 2,2)． 12．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　2 解析　設(shè)切點坐標是(x0，x0＋1)， 依題意有 由此得x0＝－1，a＝2. 三、解答題 13．曲線y＝e2xcos 3x在點(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 解　由y′＝(e2xcos 3x)′ ＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′ ＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x) ＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)， 得＝2. 則切線方程為y－1＝2(x－0)， 即2x－y＋1＝0. 若直線l與切線平行，可設(shè)直線l的方程為 2x－y＋c＝0， 兩平行線間的距離d＝＝，得c＝6或c＝－4. 故直線l的方程為2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0. 四、探究與拓展 14．已知f(x)為偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是________． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 答案　2x－y＝0 解析　設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x. 因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，即所求的切線方程為y－2＝2(x－1)， 即2x－y＝0. 15．求曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線l：2x－y＋3＝0的最短距離． 考點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù) 題點　簡單復(fù)合函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用 解　作出直線l：2x－y＋3＝0和曲線y＝ln(2x－1)的圖象(圖略)可知它們無公共點，所以平移直線l，當l與曲線相切時，切點到直線l的距離就是曲線上的點到直線l的最短距離，y′＝(2x－1)′＝. 設(shè)切點為P(x0，y0)， 所以＝2，所以x0＝1， 所以y0＝ln(2×1－1)＝0，P(1,0)． 所以曲線y＝ln(2x－1)上的點到直線l：2x－y＋3＝0的最短距離為P(1,0)到直線l：2x－y＋3＝0的距離， 最短距離d＝＝＝. 12