第3課時簡單復合函數(shù)的導數(shù)學習目標1.了解復合函數(shù)的概念，掌握復合函數(shù)的求導法則.2.能夠利用復合函數(shù)的求導法則，并結合已經(jīng)學過的公式、法則進行一些復合函數(shù)的求導(僅限于形如f(axb)的導數(shù))知識點復合函數(shù)的概念及求導法則已知函數(shù)yln(2x5)，ysin(x2)思考這兩個函數(shù)有什么共同特征？答案函數(shù)yln(2x5)，ysin(x2)都是由兩個基本函數(shù)復合而成的梳理復合函數(shù)的概念一般地，對于兩個函數(shù)yf(u)和ug(x)，如果通過變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)yf(u)和ug(x)的復合函數(shù)，記作yf(g(x).復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和函數(shù)yf(u)，ug(x)的導數(shù)間的關系為yxyu·ux，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.1函數(shù)yex的導數(shù)為yex.(×)2函數(shù)f(x)sin(x)的導數(shù)為f(x)cos x(×)3函數(shù)ycos(3x1)由函數(shù)ycos u，u3x1復合而成()類型一求復合函數(shù)的導數(shù)例1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y；(2)ylog2(2x1)；(3)yecos x1；(4)ysin2.考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)解(1)y，設y，u12x2，則y()(12x2)·(4x)·(4x)2x.(2)設ylog2u，u2x1，則yxyu·ux.(3)設yeu，ucos x1，則yxyu·uxeu·(sin x)ecos x1sin x.(4)y對于tcos，設u4x，則tcos u，tuux4sin u4sin.y2sin.反思與感悟(1)求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟(2)求復合函數(shù)的導數(shù)的注意點：分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；求導時分清是對哪個變量求導；計算結果盡量簡潔跟蹤訓練1求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y(x24)2；(2)yln(6x4)；(3)y103x2；(4)y；(5)ysin；(6)ycos2x.考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)解(1)y2(x24)(x24)2(x24)·2x4x316x.(2)y·(6x4).(3)y(103x2ln 10)·(3x2)3×103x2ln 10.(4)y·(2x1) .(5)ycos·3cos.(6)y2cos x·(cos x)2cos x·sin xsin 2x.例2求下列函數(shù)的導數(shù)(1)y；(2)yx；(3)yxcossin.考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)解(1)(ln 3x)×(3x)，y.(2)y(x)xx().(3)yxcossinx(sin 2x)cos 2xxsin 4x，ysin 4xcos 4x·4sin 4x2xcos 4x.反思與感悟(1)在對函數(shù)求導時，應仔細觀察及分析函數(shù)的結構特征，緊扣求導法則，聯(lián)系學過的求導公式，對不易用求導法則求導的函數(shù)，可適當?shù)剡M行等價變形，以達到化異求同、化繁為簡的目的(2)復合函數(shù)的求導熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復合過程，直接運用公式，由外及內(nèi)逐層求導跟蹤訓練2求下列函數(shù)的導數(shù)(1)ysin3xsin x3；(2)yxln(12x)考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)解(1)y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x3·3x23sin2xcos x3x2cos x3.(2)yxln(12x)xln(12x)ln(12x).類型二復合函數(shù)導數(shù)的應用例3設f(x)ln(x1)axb(a，bR，a，b為常數(shù))，曲線yf(x)與直線yx在(0,0)點相切，求a，b的值考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用解由曲線yf(x)過(0,0)點，可得ln 11b0，故b1.由f(x)ln(x1)axb，得f(x)a，則f(0)1aa，即為曲線yf(x)在點(0,0)處的切線的斜率由題意，得a，故a0.反思與感悟復合函數(shù)導數(shù)的應用問題，正確的求出此函數(shù)的導數(shù)是前提，審題時注意所給點是不是切點，挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過一定點的切線問題，尋求切點是解決問題的關鍵跟蹤訓練3曲線yesin x在點(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用解由yesin x，得y(esin x)cos xesin x，即1，則切線方程為y1x0，即xy10.若直線l與切線平行，可設直線l的方程為xyc0.兩平行線間的距離d，得c3或c1.故直線l的方程為xy30或xy10.1函數(shù)y(exex)的導數(shù)是()A.(exex) B.(exex)Cexex Dexex考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案A解析y(exex)2函數(shù)yx2cos的導數(shù)為()Ay2xcosx2sinBy2xcos2x2sinCyx2cos2xsinDy2xcos2x2sin考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案B解析y(x2)cosx22xcosx22xcos2x2sin.3已知函數(shù)f(x)ln(3x1)，則f(1)_.考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案解析f(x)·(3x1)，f(1).4函數(shù)y2cos2x在x處的切線斜率為_考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案1解析由函數(shù)y2cos2x1cos 2x，得y(1cos 2x)2sin 2x，所以函數(shù)在x處的切線斜率為2sin1.5曲線y在點(4，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為_考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案e2解析y，切線的斜率ke2，則切線方程為ye2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，切線與坐標軸圍成的面積為×2×|e2|e2.求簡單復合函數(shù)f(axb)的導數(shù)實質(zhì)是運用整體思想，先把簡單復合函數(shù)轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)yf(u)，uaxb的形式，然后再對yf(u)與uaxb分別求導，并把所得結果相乘靈活應用整體思想把函數(shù)化為yf(u)，uaxb的形式是關鍵.一、選擇題1下列函數(shù)不是復合函數(shù)的是()Ayx31 BycosCy Dy(2x3)4考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點復合函數(shù)的判斷答案A解析A中的函數(shù)是一個多項式函數(shù)，B中的函數(shù)可看作函數(shù)ux，ycos u的復合函數(shù)，C中的函數(shù)可看作函數(shù)uln x，y的復合函數(shù)，D中的函數(shù)可看作函數(shù)u2x3，yu4的復合函數(shù)，故選A.2函數(shù)y(x1)2(x1)在x1處的導數(shù)等于()A1 B2C3 D4考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案D解析y(x1)2(x1)(x1)2(x1)2(x1)(x1)(x1)23x22x1，所以y|x14.3設函數(shù)f(x)(12x3)10，則f(1)等于()A0 B60C1 D60考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案B解析f(x)10(12x3)9(6x2)所以f(1)10(12)9(6)60.4函數(shù)yxln(2x5)的導數(shù)為()Aln(2x5) Bln(2x5)C2xln(2x5) D.考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案B解析yxln(2x5)xln(2x5)xln(2x5)ln(2x5)x··(2x5)ln(2x5).5設曲線yaxln(x1)在點(0,0)處的切線方程為y2x，則a等于()A0 B1C2 D3考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案D解析ya，由題意得2，即a12，所以a3.6曲線ye2x1在點(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A. B.C. D1考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案A解析2e2×02，曲線在點(0,2)處的切線方程為y2x2.由得xy，A，則圍成的三角形的面積為××1.7已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是()A. B.C. D.考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案D解析y.ex2，ex24，y1,0)，即tan 1,0)，.二、填空題8函數(shù)ysin 2xcos 3x的導數(shù)是_考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x解析ysin 2xcos 3x，y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x.9曲線yxex1在點(1,1)處切線的斜率為_考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案2解析yex1xex1(x1)ex1，故曲線在點(1,1)處的切線斜率為(11)e112.10若yf(x)(2xa)2，且f(2)20，則a_.考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)答案1解析令u2xa，則yxyu·ux(u2)(2xa)4(2xa)，則f(2)4(2×2a)20，a1.11若曲線yex上點P處的切線平行于直線2xy10，則點P的坐標是_考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案(ln 2,2)解析設P(x0，)，2，得x0ln 2，P(ln 2,2)12已知直線yx1與曲線yln(xa)相切，則a的值為_考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案2解析設切點坐標是(x0，x01)，依題意有由此得x01，a2.三、解答題13曲線ye2xcos 3x在點(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用解由y(e2xcos 3x)(e2x)cos 3xe2x(cos 3x)2e2xcos 3xe2x(3sin 3x)e2x(2cos 3x3sin 3x)，得2.則切線方程為y12(x0)，即2xy10.若直線l與切線平行，可設直線l的方程為2xyc0，兩平行線間的距離d，得c6或c4.故直線l的方程為2xy60或2xy40.四、探究與拓展14已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)ex1x，則曲線yf(x)在點(1,2)處的切線方程是_考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用答案2xy0解析設x>0，則x<0，f(x)ex1x.因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，即所求的切線方程為y22(x1)，即2xy0.15求曲線yln(2x1)上的點到直線l：2xy30的最短距離考點簡單復合函數(shù)的導數(shù)題點簡單復合函數(shù)的導數(shù)的綜合應用解作出直線l：2xy30和曲線yln(2x1)的圖象(圖略)可知它們無公共點，所以平移直線l，當l與曲線相切時，切點到直線l的距離就是曲線上的點到直線l的最短距離，y(2x1).設切點為P(x0，y0)，所以2，所以x01，所以y0ln(2×11)0，P(1,0)所以曲線yln(2x1)上的點到直線l：2xy30的最短距離為P(1,0)到直線l：2xy30的距離，最短距離d.12