難點七函數(shù)零點、單調性、極值等綜合問題(對應學生用書第73頁)函數(shù)零點、單調性、極值都是高中數(shù)學的重要內容，也都是高考的熱點和重點，在每年的高考試題中這部分內容所占的比例都很大，函數(shù)與導數(shù)是高中數(shù)學的主線，它們貫穿于高中數(shù)學的各個內容，求值的問題就要涉及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)思想的運用是我們解決問題的重要手段，而導數(shù)是我們解決問題的一個行之有效的工具1函數(shù)零點函數(shù)零點問題主要是研究函數(shù)與方程問題，方程f (x)0的解就是函數(shù)yf (x)的圖象與x軸的交點的橫坐標，即零點函數(shù)思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關初等函數(shù)的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關系式或構造中間函數(shù)，把所研究的問題轉化為討論函數(shù)的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的. 許多有關方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決在高考中重點考查函數(shù)零點個數(shù)、零點范圍以及與零點有關的范圍問題，有時添加函數(shù)性質進去會使得此類問題難度加大【例1】(2017·江蘇高考)已知函數(shù)f (x)x3ax2bx1(a>0，bR)有極值，且導函數(shù)f (x)的極值點是f (x)的零點(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值)(1)求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(2)證明：b2>3a；(3)若f (x)，f (x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于，求a的取值范圍. 【導學號：56394108】解(1)由f (x)x3ax2bx1，得f (x)3x22axb32b.當x時，f (x)有極小值b.因為f (x)的極值點是f (x)的零點，所以f 10.又a>0，故b.因為f (x)有極值，故f (x)0有實根，從而b(27a3)0，即a3.當a3時，f (x)>0(x1)，故f (x)在R上是增函數(shù)，f (x)沒有極值；當a>3時，f (x)0有兩個相異的實根x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f (x)00f (x)極大值極小值故f (x)的極值點是x1，x2.從而a>3.因此b，定義域為(3，)(2)證明：由(1)知，.設g(t)，則g(t).當t時，g(t)>0，從而g(t)在上單調遞增因為a>3，所以a>3，故g(a)>g(3)，即>.因此b2>3a.(3)由(1)知，f (x)的極值點是x1，x2，且x1x2a，xx.從而f (x1)f (x2)xaxbx11xaxbx21(3x2ax1b)(3x2ax2b)a(xx)b(x1x2)220.記f (x)，f (x)所有極值之和為h(a)，因為f (x)的極值為ba2，所以h(a)a2，a>3.因為h(a)a<0，于是h(a)在(3，)上單調遞減因為h(6)，于是h(a)h(6)，故a6.因此a的取值范圍為(3,6【例2】已知函數(shù)f (x)bln x(a，bR)(1)若函數(shù)f (x)在(0，)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若a3，函數(shù)f (x)有3個零點，求實數(shù)b的取值范圍解(1)f (x)的定義域為(0，)，f (x).由題意可得f (x)0在(0，)上恒成立，即0，所以，因為x0，所以x20，故ax.由基本不等式可得x2(當且僅當x，即x時等號成立)，故實數(shù)a的取值范圍為(，2(2)當a3時，f (x)bln x，函數(shù)f (x)的定義域為(0，)，f (x).由f (x)0，解得x11，x22.當x變化時，f (x)，f (x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,2)2(2，)f (x)00f (x)極大值極小值故函數(shù)f (x)的極大值為f (1)31bln 12b，極小值為f (2)bln 2bln 2.要使函數(shù)f (x)有3個零點，則解得ln 2b2.故實數(shù)b的取值范圍為.2利用函數(shù)的單調區(qū)間和極值點研究函數(shù)零點函數(shù)f (x)的零點，即f (x)0的根，亦即函數(shù)f (x)的圖象與x軸交點橫坐標，與函數(shù)零點有關的參數(shù)范圍問題，往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間和極值點，并結合特殊點，從而判斷函數(shù)的大致圖象，討論其圖象與軸的位置關系(或者轉化為兩個熟悉函數(shù)交點問題)【例3】(20162017學年度江蘇蘇州市高三期中調研考試)已知f (x)ax33x21(a0)，定義h(x)maxf (x)，g(x)(1)求函數(shù)f (x)的極值；(2)若g(x)xf (x)，且存在x1,2使h(x)f (x)，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若g(x)ln x，試討論函數(shù)h(x)(x0)的零點個數(shù)解(1)函數(shù)f (x)ax33x21，f (x)3ax26x3x(ax2)，令f (x)0，得x10或x2，a0，x1x2，列表如下：(，0)0f (x)00f (x)極大值極小值f (x)的極大值為f (0)1，極小值為f 11.(2)g(x)xf (x)3ax36x2，存在x1,2，使h(x)f (x)，f (x)g(x)在x1,2上有解，即ax33x213ax36x2在x1,2上有解，即不等式2a在x1,2上有解，設y(x1,2)，y0對x1,2恒成立，y在x1,2上單調遞減，當x1時，y的最大值為4，2a4，即a2.(3)由(1)知，f (x)在(0，)上的最小值為f 1，當10，即a2時，f (x)0在(0，)上恒成立，h(x)maxf (x)，g(x)在(0，)上無零點當10即a2時，f (x)minf (1)0，又g(1)0，h(x)maxf (x)，g(x)在(0，)上有一個零點當10，即0a2時，設(x)f (x)g(x)ax33x21ln x(0x1)，(x)3ax26x6x(x1)0，(x)在(0,1)上單調遞減，又(1)a20，0，存在唯一的x0，使得(x0)0，.當0xx0時，(x)f (x)g(x)(x0)0，h(x)f (x)且h(x)為減函數(shù)，又h(x0)f (x0)g(x0)ln x0ln 10，f (0)10，h(x)在(0，x0)上有一個零點；.當xx0時，(x)f (x)g(x)(x0)0，h(x)g(x)且h(x)為增函數(shù)，g(1)0，h(x)在(x0，)上有一零點；從而h(x)maxf (x)，g(x)在(x0，)上有兩個零點，綜上所述，當0a2時，h(x)有兩個零點；當a2時，h(x)有一個零點；當a2時，h(x)無零點【例4】(2017·江蘇省南京市迎一模模擬)已知函數(shù)f (x)ax2ln x，g(x)bx，其中a，bR，設h(x)f (x)g(x)(1)若f (x)在x處取得極值，且f (1)g(1)2，求函數(shù)h(x)的單調區(qū)間；(2)若a0時，函數(shù)h(x)有兩個不同的零點x1，x2.求b的取值范圍；求證：1. 【導學號：56394109】解(1)由已知得f (x)ax(x0)，所以f a0，所以a2.由f (1)g(1)2，得a1b2，所以b1.所以h(x)x2ln xx(x0)則h(x)2x1(x0)，由h(x)0得0x1，h(x)0得x1.所以h(x)的減區(qū)間為(1，)，增區(qū)間為(0,1)(2)由已知h(x)ln xbx(x0)所以h(x)b(x0)，當b0時，顯然h(x)0恒成立，此時函數(shù)h(x)在定義域內遞增，h(x)至多有一個零點，不合題意當b0時，令h(x)0得x0，令h(x)0得0x；令h(x)0得x.所以h(x)極大hln(b)10，解得b0.且x0時，ln x0，x時，ln x0.所以當b時，h(x)有兩個零點證明：由題意得即×得eb(x1x2)x1x2.因為x1，x20，所以b(x1x2)0，所以eb(x1x2)x1x21.因為0b，所以eb1，所以x1x2e2be2e2，所以1.【例5】(1)討論函數(shù)f (x)ex的單調性，并證明當x0時，(x2)exx20.(2)證明：當a0,1)時，函數(shù)g(x)(x0)有最小值設g(x)的最小值為h(a)，求函數(shù)h(a)的值域解(1)f (x)的定義域為(，2)(2，)f (x)0，當且僅當x0時，f (x)0，所以f (x)在(，2)，(2，)上單調遞增因此當x(0，)時，f (x)>f (0)1.所以(x2)ex>(x2)，即(x2)exx2>0.(2)證明：g(x)(f (x)a)由(1)知，f (x)a單調遞增對任意a0,1)，f (0)aa10，f (2)aa0.因此，存在唯一xa(0,2，使得f (xa)a0，即g(xa)0.當0<x<xa時，f (x)a<0，g(x)<0，g(x)單調遞減；當x>xa時，f (x)a>0，g(x)>0，g(x)單調遞增因此g(x)在xxa處取得最小值，最小值為于是h(a).由0，得y單調遞增，所以，由xa(0,2，得h(a).因為y單調遞增，對任意，存在唯一的xa(0,2，af (xa)0,1)，使得h(a).所以h(a)的值域是.綜上，當a0,1)時，g(x)有最小值h(a)，h(a)的值域是.【例6】設函數(shù)f (x)xeaxbx，曲線yf (x)在點(2，f (2)處的切線方程為y(e1)x4.(1)求a，b的值；(2)求f (x)的單調區(qū)間解(1)因為f (x)xeaxbx，所以f (x)(1x)eaxb.依題設，即解得(2)由(1)知f (x)xe2xex.由f (x)e2x(1xex1)及e2x0知，f (x)與1xex1同號令g(x)1xex1，則g(x)1ex1.所以，當x(，1)時，g(x)<0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調遞減；當x(1，)時，g(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調遞增故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)>0，x(，)綜上可知，f (x)>0，x(，)，故f (x)的單調遞增區(qū)間為(，)方法總結函數(shù)性質與方程綜合時，要先將函數(shù)性質剖析清楚，尤其是單調性和對稱性，然后再研究函數(shù)零點問題；函數(shù)與不等式綜合時，重點是要學會構造函數(shù)，利用函數(shù)單調性、最值進行研究；函數(shù)、方程與不等式綜合在一起時，要注意利用導數(shù)這個有利工具進行解答8