第4節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系最新考綱1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系；2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；3.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.知 識 梳 理1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C：(xa)2(yb)2r2，直線l：AxByC0，圓心C(a，b)到直線l的距離為d，由消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，其判別式為. 方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離d>r<02.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩個(gè)圓的半徑分別為R，r，Rr，圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系可用下表來表示：位置關(guān)系相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含幾何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr代數(shù)特征無實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解兩組實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無實(shí)數(shù)解公切線條數(shù)43210常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0xy0yr2.(2)過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)過圓x2y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0xy0yr2.2.過圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的必要不充分條件.()(2)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.()(3)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()(4)過圓O：x2y2r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0xy0yr2.()解析(1)“k1”是“直線xyk0與圓x2y21相交”的充分不必要條件；(2)除外切外，還有可能內(nèi)切；(3)兩圓還可能內(nèi)切或內(nèi)含.答案(1)×(2)×(3)×(4)2.圓(x2)2y24與圓(x2)2(y1)29的位置關(guān)系為()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離解析兩圓圓心分別為(2，0)，(2，1)，半徑分別為2和3，圓心距d.32<d<32，兩圓相交.答案B3.(2018·大連雙基測試)已知直線ymx與圓x2y24x20相切，則m值為()A.± B.±C.± D.±1解析將ymx代入x2y24x20，得(1m2)x24x20，因?yàn)橹本€與圓相切，所以(4)24(1m2)×28(1m2)0，解得m±1.答案D4.已知圓的方程為x2y21，則在y軸上截距為的切線方程為_.解析在y軸上截距為且斜率不存在的直線顯然不是切線，故設(shè)切線方程為ykx，則1，所以k±1，故所求切線方程為yx或yx.答案xy0或xy05.(教材習(xí)題改編)圓x2y240與圓x2y24x4y120的公共弦長為_.解析由得xy20.又圓x2y24的圓心到直線xy20的距離為.由勾股定理得弦長的一半為，所以，所求弦長為2.答案2考點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系【例1】 (1)(2018·青島測試)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定(2)(一題多解)圓x2y21與直線ykx2沒有公共點(diǎn)的充要條件是_.解析(1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2y21外，所以a2b21，而圓心O到直線axby1的距離d1，故直線與圓O相交. (2)法一將直線方程代入圓方程，得(k21)x24kx30，直線與圓沒有公共點(diǎn)的充要條件是16k212(k21)0，解得k.法二圓心(0，0)到直線ykx2的距離d，直線與圓沒有公共點(diǎn)的充要條件是d1，即1，解得k.答案(1)B(2)k規(guī)律方法判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動直線問題.【訓(xùn)練1】 (1)圓(x1)2(y2)26與直線2xy50的位置關(guān)系是()A.相切 B.相交但直線不過圓心C.相交過圓心 D.相離(2)(2018·湖北七市聯(lián)考)已知圓C：(x1)2y2r2(r>0)，設(shè)條件p：0<r<3，條件q：圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線xy30的距離為1，則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析(1)由題意知圓心(1，2)到直線2xy50的距離d<且2×1(2)50，所以直線與圓相交但不過圓心.(2)由題意知，圓心C(1，0)到直線xy30的距離d2，至多有2點(diǎn)到直線的距離為1時(shí)，0<r<3；反之也成立，故選C.答案(1)B(2)C考點(diǎn)二圓的切線、弦長問題【例2】 (1)(2016·全國卷)設(shè)直線yx2a與圓C：x2y22ay20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則圓C的面積為_.(2)過點(diǎn)P(2，4)引圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為_.解析(1)圓C：x2y22ay20，即C：x2(ya)2a22，圓心為C(0，a)，C到直線yx2a的距離為d.又由|AB|2，得a22，解得a22，所以圓的面積為(a22)4.(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x2，此時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，即d1，解得k，所求切線方程為xy42×0，即4x3y40.綜上，切線方程為x2或4x3y40.答案(1)4(2)x2或4x3y40規(guī)律方法1.弦長的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程.在判別式0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長公式求弦長.(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長為r，則弦長l2.2.圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式0進(jìn)而求得k.(2)幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令dr，進(jìn)而求出k.【訓(xùn)練2】 (1)(2018·合肥測試)過點(diǎn)(3，1)作圓(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的長為_.(2)過原點(diǎn)O作圓x2y26x8y200的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P，Q，則線段PQ的長為_.解析(1)設(shè)P(3，1)，圓心C(2，2)，則|PC|，半徑r2，由題意知最短的弦過P(3，1)且與PC垂直，所以最短弦長為22.(2)將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y4)25，則圓心為(3，4)，半徑長為.由題意可設(shè)切線的方程為ykx，則圓心(3，4)到直線ykx的距離等于半徑長，即，解得k或k，則切線的方程為yx或yx.聯(lián)立切線方程與圓的方程，解得兩切點(diǎn)坐標(biāo)分別為(4，2)，此即為P，Q的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式得|PQ|4.答案(1)2(2)4考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系【例3】 (2017·鄭州調(diào)研)已知兩圓x2y22x6y10，x2y210x12ym0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？(3)當(dāng)m45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，所以兩圓的圓心分別為(1，3)，(5，6)，半徑分別為，(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，由，得m2510.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因?yàn)槎▓A半徑小于兩圓圓心之間的距離5，所以5，解得m2510.(3)由(x2y22x6y1)(x2y210x12y45)0，得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230.故兩圓的公共弦的長為22.規(guī)律方法1.判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.2.若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到.【訓(xùn)練3】 (1)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離(2)(2018·九江模擬)已知圓C1：(xa)2(y2)24與圓C2：(xb)2(y2)21 相外切，則ab的最大值為()A. B. C. D.2解析(1)圓M：x2(ya)2a2，圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1為a，圓心M到直線xy0的距離d，由幾何知識得()2a2，解得a2.M(0，2)，r12.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1，1)，半徑r21，|MN|，r1r23，r1r21.r1r2|MN|r1r2，兩圓相交，故選B.(2)由圓C1與圓C2相外切，可得213，即(ab)29，根據(jù)均值不等式可知ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號成立.答案(1)B(2)C基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.(2016·全國卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A. B. C. D.2解析由圓的方程x2y22x8y130得圓心坐標(biāo)為(1，4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d1，解之得a.答案A2.(2017·長春模擬)過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A.2xy50 B.2xy70C.x2y50 D.x2y70解析過點(diǎn)(3，1)作圓(x1)2y2r2的切線有且只有一條，點(diǎn)(3，1)在圓(x1)2y2r2上，圓心與切點(diǎn)連線的斜率k，切線的斜率為2，則圓的切線方程為y12(x3)，即2xy70.答案B3.(2018·洛陽一模)直線l：ykx1與圓O：x2y21相交于A，B兩點(diǎn)，則“k1”是“|AB|”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析依題意，因|AB|，則圓心O到直線l的距離等于，即有，k±1.因此，“k1”是“|AB|”的充分不必要條件，選A.答案A4.圓x22xy24y30上到直線xy10的距離為的點(diǎn)共有()A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析圓的方程化為(x1)2(y2)28，圓心(1，2)到直線距離d，半徑是2，結(jié)合圖形可知有3個(gè)符合條件的點(diǎn).答案C5.(2018·福州模擬)過點(diǎn)P(1，2)作圓C：(x1)2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則AB所在直線的方程為()A.y B.y C.y D.y解析圓(x1)2y21的圓心為(1，0)，半徑為1，以|PC|2為直徑的圓的方程為(x1)2(y1)21，將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y10，即y.答案B二、填空題6.(2016·全國卷) 已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|_.解析由圓x2y212知圓心O(0，0)，半徑r2，圓心(0，0)到直線xy60的距離d3，|AB|22.過C作CEBD于E.如圖所示，則|CE|AB|2.直線l的方程為xy60，直線l的傾斜角BPD30°，從而BDP60°，因此|CD|4.答案47.已知直線l：xay10(aR)是圓C：x2y24x2y10的對稱軸.過點(diǎn)A(4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|_.解析由于直線xay10是圓C：x2y24x2y10的對稱軸，則圓心C(2，1)滿足直線方程xay10，所以2a10，解得a1，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1).從而|AC|236440.又r2，所以|AB|240436.即|AB|6.答案68.(2018·濟(jì)南月考)點(diǎn)P在圓C1：x2y28x4y110上，點(diǎn)Q在圓C2：x2y24x2y10上，則|PQ|的最小值是_.解析把圓C1、圓C2的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得(x4)2(y2)29，(x2)2(y1)24.圓C1的圓心坐標(biāo)是(4，2)，半徑長是3；圓C2的圓心坐標(biāo)是(2，1)，半徑是2.圓心距d3>5.故圓C1與圓C2相離，所以，|PQ|的最小值是35.答案35三、解答題9.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2，1)，和直線xy1相切，且圓心在直線y2x上.(1)求圓C的方程；(2)已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程.解(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a，2a)，則.化簡，得a22a10，解得a1.所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，半徑r|AC|.故圓C的方程為(x1)2(y2)22.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x0，此時(shí)直線l被圓C截得的弦長為2，滿足條件.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為ykx，由題意得1，解得k，則直線l的方程為yx.綜上所述，直線l的方程為x0或3x4y0.10.(2015·全國卷)已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x2)2(y3)21交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；(2)若·12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.解(1)易知圓心坐標(biāo)為(2，3)，半徑r1，由題設(shè)，可知直線l的方程為ykx1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將ykx1代入方程(x2)2(y3)21，整理得(1k2)x24(1k)x70.所以x1x2，x1x2.·x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18.由題設(shè)可得812，解得k1，所以l的方程為yx1.故圓心C在l上，所以|MN|2.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2018·衡水中學(xué)模擬)已知圓C：(x1)2y225，則過點(diǎn)P(2，1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是()A.10 B.9C.10 D.9解析易知P在圓C內(nèi)部，最長弦為圓的直徑10，又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|，最短弦的長為222，故所求四邊形的面積S×10×210.答案C12.(2018·湖北四地七校聯(lián)考)過點(diǎn)A(1，)的直線l將圓C：(x2)2y24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時(shí)，直線l的斜率k_.解析易知點(diǎn)A(1，)在圓(x2)2y24的內(nèi)部，圓心C的坐標(biāo)為(2，0)，當(dāng)直線l被圓截得的弦的弦心距最長時(shí)，劣弧所對的圓心角最小，此時(shí)lCA，如圖所示，所以k.答案13.(2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx2mx2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1).當(dāng)m變化時(shí)，解答下列問題：(1)能否出現(xiàn)ACBC的情況？說明理由；(2)證明過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.(1)解不能出現(xiàn)ACBC的情況，理由如下：設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2滿足方程x2mx20，所以x1x22.又C的坐標(biāo)為(0，1)，故AC的斜率與BC的斜率之積為·，所以不能出現(xiàn)ACBC的情況.(2)證明BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得BC的中垂線方程為yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂線方程為x.聯(lián)立又xmx220，由解得x，y.所以過A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑r.故圓在y軸上截得的弦長為23，即過A，B，C三點(diǎn)的圓在y軸上截得的弦長為定值.11