3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律.2.了解平行(共線)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.3.理解共線向量的充要條件和共面向量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題知識點(diǎn)一空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘幾何定義0a與向量a的方向相同0a與向量a的方向相反a的長度是a的長度的|倍0a0，其方向是任意的運(yùn)算律分配律(ab)ab結(jié)合律(a)()a知識點(diǎn)二共線向量與共面向量思考1回顧平面向量中關(guān)于向量共線的知識，給出空間中共線向量的定義答案如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量思考2空間中任何兩個(gè)向量都是共面向量，這個(gè)結(jié)論是否正確？答案正確根據(jù)向量相等的定義，可以把向量進(jìn)行平移，空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為共面向量梳理平行(共線)向量與共面向量共線(平行)向量共面向量定義表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量充要條件對于空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ab若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb推論如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對于空間任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使ta，其中a叫做直線l的方向向量，如圖所示若在l上取a，則式可化為t如圖，空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使xy，或?qū)臻g任意一點(diǎn)O來說，有xy(1)若pxayb，則p與a，b共面()(2)若p與a，b共面，則pxayb.(×)(3)若xy，則P，M，A，B共面()(4)若P，M，A，B共面，則xy.(×)類型一共線問題例1(1)已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，則一定共線的三點(diǎn)是()AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，D(2)設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)k_.考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷答案(1)A(2)1解析(1)3a6b3(a2b)3，故，又與有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線(2)7e1(k6)e2，且與共線，故x，即7e1(k6)e2xe1xke2，故(7x)e1(k6xk)e20，又e1，e2不共線，解得故k的值為1.反思與感悟(1)判斷向量共線的策略熟記共線向量的充要條件：()若ab，b0，則存在唯一實(shí)數(shù)使ab；()若存在唯一實(shí)數(shù)，使ab，b0，則ab.判斷向量共線的關(guān)鍵：找到實(shí)數(shù).(2)證明空間三點(diǎn)共線的三種思路對于空間三點(diǎn)P，A，B可通過證明下列結(jié)論來證明三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)，使成立對空間任一點(diǎn)O，有t(tR)對空間任一點(diǎn)O，有xy(xy1)跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請判斷向量與是否共線？考點(diǎn)線線、線面平行的判斷題點(diǎn)線線平行的判斷解設(shè)AC的中點(diǎn)為G，連接EG，F(xiàn)G，又，共面，()，與共線類型二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及應(yīng)用例2如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且”，其他條件不變，如何表示？解acb.反思與感悟利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F(xiàn)在對角線A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用證明設(shè)a，b，c.因?yàn)?，所以，所以b，()()abc，所以abc.又bcaabc，所以，又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線類型三空間向量共面問題例3(1)已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，確定在下列條件下，點(diǎn)P是否與A，B，M一定共面3；4.(2)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)M滿足.，三個(gè)向量是否共面？點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)？考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用解(1)3，()()，為共面向量，P與A，B，M共面2()()2，根據(jù)空間向量共面的推論，點(diǎn)P位于平面ABM內(nèi)的充要條件是xy，P與A，B，M不共面(2)3，()()，向量，共面由知向量，共面，又它們有共同的起點(diǎn)M，且A，B，C三點(diǎn)不共線，M，A，B，C四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)反思與感悟向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對于向量共面的充要條件，不僅會正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，若P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)H為PC上的點(diǎn)，且，點(diǎn)G在AH上，且m，若G，B，P，D四點(diǎn)共面，求m的值考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用解連接BG.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所?).又因?yàn)?，所以，因?yàn)閙，所以m，因?yàn)?，所?又因?yàn)镚，B，P，D四點(diǎn)共面，所以10，m.即m的值是.1下列命題中正確的是()A若a與b共線，b與c共線，則a與c共線B向量a，b，c共面，即它們所在的直線共面C零向量沒有確定的方向D若ab，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使ab考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)線線平行的判定答案C解析零向量的方向是任意的2A，B，C不共線，對空間任意一點(diǎn)O，若，則P，A，B，C四點(diǎn)()A不共面B共面C不一定共面D無法判斷是否共面考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案B解析()()，.由共面的充要條件，知P，A，B，C四點(diǎn)共面3下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是()A.B.C.D.|考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案C解析由知與共線，又因有一共同的點(diǎn)B，故A，B，C三點(diǎn)共線4若非零空間向量e1，e2不共線，則使2ke1e2與e12(k1)e2共線的k的值為_考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案解析若2ke1e2與e12(k1)e2共線，則2ke1e2e12(k1)e2，k.5若非零空間向量e1，e2不共線，則使ke1e2與e1ke2共線的k_.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案±1解析由ke1e2與e1ke2共線，得ke1e2(e1ke2)，即故k±1.1四點(diǎn)P，A，B，C共面對空間任意一點(diǎn)O，都有xyz，且xyz1.2.xy稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式由此可知空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定3證明(或判斷)三點(diǎn)A，B，C共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)，使(或)即可，也可用“對空間任意一點(diǎn)O，有t(1t)”來證明三點(diǎn)A，B，C共線4空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使xy，滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點(diǎn)都滿足這個(gè)關(guān)系式這個(gè)充要條件常用于證明四點(diǎn)共面一、選擇題1在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量，是()A有相同起點(diǎn)的向量B等長向量C共面向量D不共面向量考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案C解析因?yàn)椋?，所以，?又與不共線，所以，三向量共面2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是()AabcBabcCabcDabc考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案A解析()c(ab)abc.3如圖所示，在四面體ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記a，b，c，則等于()AabcBabcCabcDabc考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案B解析連接AE，E是CD的中點(diǎn)，b，c，()(bc)在ABE中，又a，a(bc)abc.4設(shè)點(diǎn)M是ABC的重心，記a，b，c，且abc0，則等于()A.B.C.D.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案D解析設(shè)D是BC邊的中點(diǎn)，M是ABC的重心，.而()(cb)，(cb)5設(shè)空間四點(diǎn)O，A，B，P滿足mn，其中mn1，則()A點(diǎn)P一定在直線AB上B點(diǎn)P一定不在直線AB上C點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上D與的方向一定相同考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用答案A解析已知mn1，則m1n，(1n)nnn，即n()，即n.因?yàn)?，所以和共線，又AP和AB有公共點(diǎn)A，所以點(diǎn)A，P，B共線，故選A.6已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點(diǎn)O，有x，則x的值為()A1B0C3D.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案D解析x，且M，A，B，C四點(diǎn)共面，x1，x，故選D.7在下列命題中：若a，b共線，則a，b所在的直線平行；若a，b所在的直線是異面直線，則a，b一定不共面；若a，b，c三向量兩兩共面，則a，b，c三向量一定也共面；已知三向量a，b，c，則空間任意一個(gè)向量p總可以唯一表示為pxaybzc.其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案A解析根據(jù)空間向量的基本概念知四個(gè)命題都不對二、填空題8以下命題：兩個(gè)共線向量是指在同一直線上的兩個(gè)向量；共線的兩個(gè)向量互相平行；共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量；共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量其中正確命題的序號是_考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量共面定理及應(yīng)用答案解析根據(jù)共面與共線向量的定義判定，知正確9已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O為平面ABC外一點(diǎn)，若由向量確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，則_.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共面向量定理及應(yīng)用答案解析A，B，C三點(diǎn)不共線，點(diǎn)O是平面ABC外一點(diǎn)，由向量確定的點(diǎn)P與A，B，C共面，1，解得.10如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為AB，B1C的中點(diǎn)用，表示，則_.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案解析()().11設(shè)棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中的八個(gè)頂點(diǎn)所成的集合為S.向量的集合Pm|m，P1，P2S，則P中長度為a的向量有_個(gè)考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案8解析每一條體對角線對應(yīng)兩個(gè)向量，正方體共有4條體對角線三、解答題12設(shè)e1，e2，e3三向量不共面，而e12e23e3，2e1e2e3，3e1e22e3，如果A，B，D三點(diǎn)共線，試求，的值考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間共線向量定理及應(yīng)用解(2e1e2e3)(3e1e22e3)(23)e1(1)e2e3.A，B，D三點(diǎn)共線，與是共線向量存在實(shí)數(shù)k，使得k，即e12e23e3k(23)e1(1)e2e3(12k3k)e1(2kk)e2(3k)e30.e1，e2，e3三向量不共面，12k3k0,2kk0,3k0.將k代入前兩式，可得解得1，3.13.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EFAB，AB2EF，H為BC的中點(diǎn)求證：FH平面EDB.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量共面定理及應(yīng)用證明因?yàn)镠為BC的中點(diǎn)，所以()()(2)因?yàn)镋FAB，CDAB，且AB2EF，所以20，所以().因?yàn)榕c不共線，所以由共面向量定理知，共面因?yàn)镕H平面EDB，所以FH平面EDB.四、探究與拓展14.如圖所示，已知A，B，C三點(diǎn)不共線，P為一定點(diǎn)，O為平面ABC外任一點(diǎn)，則下列能表示向量的為_22；32；32；23.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量的線性運(yùn)算答案解析因?yàn)锳，B，C，P四點(diǎn)共面，所以可設(shè)xy，即xy，由題圖可知x3，y2.15.如圖，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對角線BD，AE上，且BMBD，ANAE.求證：MN平面CDE.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn)空間向量共面定理及應(yīng)用證明因?yàn)镸在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又與不共線，根據(jù)共面向量定理可知，共面因?yàn)镸N不在平面CDE內(nèi)，所以MN平面CDE.17