第9講函數模型及其應用1幾種常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數模型f(x)axb(a，b為常數，a0)二次函數模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數，a0)指數函數模型f(x)baxc(a，b，c為常數，a>0且a1，b0)對數函數模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數，a>0且a1，b0)冪函數模型f(x)axnb(a，b，n為常數，a0，n0)2.三種函數模型性質比較yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的單調性增函數增函數增函數增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)冪函數增長比直線增長更快()(2)不存在x0，使ax0<x<logax0.()(3)在(0，)上，隨著x的增大，yax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于yxa(a>1)的增長速度()(4)“指數爆炸”是指數型函數ya·bxc(a0，b>0，b1)增長速度越來越快的形象比喻()答案：(1)×(2)×(3)(4)×教材衍化1(必修1P107A組T1改編)在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數據，如表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00則對x，y最適合的擬合函數是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x解析：選D.根據x0.50，y0.99，代入計算，可以排除A；根據x2.01，y0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數據代入函數ylog2x，可知滿足題意2(必修1P102例3改編)某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計圖如圖所示，則下列說法中錯誤的是()A收入最高值與收入最低值的比是31B結余最高的月份是7月C1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同D前6個月的平均收入為40萬元解析：選D.由題圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為30萬元，其比是31，故A正確；由題圖可知，7月份的結余最高，為802060(萬元)，故B正確；由題圖可知，1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同，故C正確；由題圖可知，前6個月的平均收入為×(406030305060)45(萬元)，故D錯誤3(必修1P107A組T4改編)用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為_解析：設隔墻的長度為x(0<x<6)，矩形面積為y，則yx×2x(6x)2(x3)218，所以當x3時，y最大答案：3易錯糾偏(1)對三種函數增長速度的理解不深致錯；(2)建立函數模型出錯；(3)分段函數模型的分并把握不準1已知f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當x(4，)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是()Af(x)>g(x)>h(x) Bg(x)>f(x)>h(x)Cg(x)>h(x)>f(x) Df(x)>h(x)>g(x)解析：選B.由函數性質知，當x(4，)時，增長速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x)故選B.2生產一定數量商品的全部費用稱為生產成本，某企業(yè)一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)x22x20(萬元)一萬件售價為20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產該商品數量為_萬件解析：利潤L(x)20xC(x)(x18)2142，當x18時，L(x)有最大值答案：183某城市客運公司確定客票價格的方法是：如果行程不超過100 km，票價是0.5元/km，如果超過100 km，超過100 km的部分按0.4元/km定價，則客運票價y(元)與行程千米數x(km)之間的函數關系式是_解析：由題意可得y答案：y應用所給函數模型解決實際問題 某商場從生產廠家以每件20元的價格購進一批商品，若該商品零售價定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q8 300170 pp2，則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進貨支出)()A30元B60元C28 000元 D23 000元【解析】設毛利潤為L(p)元，則由題意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)當p(0，30)時，L(p)>0，當p(30，)時，L(p)<0，故L(p)在p30時取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)23 000.【答案】D應用所給函數模型解決實際問題的關鍵點(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數(3)利用該模型求解實際問題 1某市家庭煤氣的使用量x(m3)和煤氣費f(x)(元)滿足關系式f(x)已知某家庭2019年前三個月的煤氣費如表：月份用氣量煤氣費一月份4 m34元二月份25 m314元三月份35 m319元若四月份該家庭使用了20 m3的煤氣，則其煤氣費為()A11.5元 B11元C10.5元 D10元解析：選A.根據題意可知f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得A5，B，C4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5.2一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底部一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細沙量為yaebt(cm3)，經過8 min后發(fā)現容器內還有一半的沙子，則再經過_min，容器中的沙子只有開始時的八分之一解析：當t0時，ya；當t8時，yae8ba，故e8b.當容器中的沙子只有開始時的八分之一時，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經過16 min容器中的沙子只有開始時的八分之一答案：16構建函數模型解決實際問題(高頻考點)構建函數模型是每年高考的重點，難度中等主要命題角度有：(1)構建二次函數模型；(2)構建指數函數、對數函數模型；(3)構建分段函數模型；(4)構建yx(a>0)模型角度一構建二次函數模型 某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若年銷售量為(30R)萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A4，8 B6，10C4%，8% D6%，10%【解析】根據題意，要使附加稅不少于128萬元，需×160×R%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4，8【答案】A角度二構建指數函數、對數函數模型 某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數據：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年【解析】根據題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數列an，其中，首項a1130，公比q112%1.12，所以an130×1.12n1.由130×1.12n1>200，兩邊同時取對數，得n1>，又3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.【答案】B角度三構建分段函數模型 提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/時研究表明：當20x200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(1)當0x200時，求函數v(x)的表達式；(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/時)f(x)x·v(x)可以達到最大，并求出最大值(精確到1輛/時)【解】(1)由題意，當0x20時，v(x)60；當20<x200時，設v(x)axb，再由已知得解得故函數v(x)的表達式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當0x20時，f(x)為增函數，故當x20時，其最大值為60×201 200；當20<x200時，f(x)x(200x)，當且僅當x200x，即x100時，等號成立所以當x100時，f(x)在區(qū)間(20，200上取得最大值.綜上，當x100時，f(x)在區(qū)間上取得最大值3 333，即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/時角度四構建yx(a>0)模型 要建造一個容積為2 400 m3，深為6 m的長方體無蓋水池池底造價為100元/m2，池壁造價為80元/m2，則最低造價為_(元)【解析】設水池長為x，則寬為.則總造價y(12x)×80400×100960(x)40 000960×240 00078 400(元)當且僅當x，即x20時，最低造價為78 400元【答案】78 400構建數學模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結論，理順數量關系，將文字語言轉化成數學語言，建立適當的函數模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制 為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，采用了新工藝，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為：yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產品的價值為100元，則該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？解：設該單位每月獲利為S，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因為400x600，所以當x400時，S有最大值40 000.故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能不虧損核心素養(yǎng)系列4數學建模函數建模在實際問題中的妙用 某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預計年利潤低于10%時，則該企業(yè)就考慮轉型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來年利潤y(百萬元)與年投資成本x(百萬元)變化的一組數據：年份2008200920102011投資成本x35917年利潤y1234給出以下3個函數模型：ykxb(k0)；yabx(a0，b0，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)選擇一個恰當的函數模型來描述x，y之間的關系；(2)試判斷該企業(yè)年利潤超過6百萬元時，該企業(yè)是否要考慮轉型【解】(1)將(3，1)，(5，2)代入ykxb(k0)，得解得所以yx.當x9時，y4，不符合題意；將(3，1)，(5，2)代入yabx(a0，b0，且b1)，得解得所以y·()x2.當x9時，y28，不符合題意；將(3，1)，(5，2)代入yloga(xb)(a0，且a1)，得解得所以ylog2(x1)當x9時，ylog283；當x17時，ylog2164.故可用來描述x，y之間的關系(2)令log2(x1)>6，則x>65.因為年利潤10%，所以該企業(yè)要考慮轉型解函數模型的實際應用題，首先應考慮該題考查的是何種函數，然后根據題意列出函數關系式(注意定義域)，并進行相關求解，最后結合實際意義作答 某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續(xù)5個月，預測上市初期和后期會因供應不足使價格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現供大于求使價格連續(xù)下跌現有三種價格模擬函數：f(x)p·qx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均為常數，且q1)(1)為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(不必說明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6.求出所選函數f(x)的解析式(注：函數定義域是0，5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此類推)；為保證養(yǎng)殖戶的經濟效益，當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該海鮮將在哪幾個月內價格下跌解：(1)因為上市初期和后期價格呈持續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現價格連續(xù)下跌，所以在所給出的函數中應選模擬函數f(x)x(xq)2p.(2)對于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)因為f(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)0，得1x3.所以函數f(x)在(1，3)內單調遞減，所以可以預測這種海鮮將在9月、10月兩個月內價格下跌基礎題組練1在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dylogx解析：選B.由題中表可知函數在(0，)上是增函數，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2某工廠6年來生產某種產品的情況是：前3年年產量的增長速度越來越快，后3年年產量保持不變，則該廠6年來這種產品的總產量C與時間t(年)的函數關系圖象正確的是()解析：選A.前3年年產量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A、C圖象符合要求，而后3年年產量保持不變，故選A.3一種放射性元素的質量按每年10%衰減，這種放射性元素的半衰期(剩余質量為最初質量的一半所需的時間叫作半衰期)是(精確到0.1，已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)()A5.2 B6.6C7.1 D8.3解析：選B.設這種放射性元素的半衰期是x年，則(110%)x，化簡得0.9x，即xlog0.96.6(年)故選B.4某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了以下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10 m3的，按每立方米m元收費；用水超過10 m3的，超過部分加倍收費某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A13 m3 B14 m3C18 m3 D26 m3解析：選A.設該職工用水x m3時，繳納的水費為y元，由題意得y則10m(x10)·2m16m，解得x13.5.已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是()A40萬元 B60萬元C120萬元 D140萬元解析：選C.甲6元時該商人全部買入甲商品，可以買120÷620(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利20×240萬元，乙4元時該商人買入乙商品，可以買(12040)÷440(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利40×280萬元，共獲利4080120萬元，故選C.6.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設計其橫斷面要求面積為9平方米，且高度不低于米記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的范圍為()A2，4 B3，4C2，5 D3，5解析：選B.根據題意知，9(ADBC)h，其中ADBC2·BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x<6.所以yBC2x(2x<6)，由y10.5，解得3x4.因為3，42，6)，所以腰長x的范圍是3，47某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況加油時間加油量(升)加油時的累計里程(千米)2016年5月1日1235 0002016年5月15日4835 600注：“累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程在這段時間內，該車每100千米平均耗油量為_升解析：因為每次都把油箱加滿，第二次加了48升油，說明這段時間總耗油量為48升，而行駛的路程為35 60035 000600(千米)，故每100千米平均耗油量為48÷68(升)答案：88某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3 km(不超過3 km 按起步價付費)；超過3 km但不超過8 km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8 km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元現某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了_km.解析：設出租車行駛x km時，付費y元，則y由y22.6，解得x9.答案：99里氏震級M的計算公式為：Mlg Alg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為_級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的_倍解析：Mlg 1 000lg 0.0013(3)6.設9級地震的最大振幅和5級地震的最大振幅分別為A1，A2，則9lg A1lg A0lg ，則109，5lg A2lg A0lg ，則105，所以104.即9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的10 000倍答案：610 00010(2020·杭州八校聯考)一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費與速度v的平方成正比，且比例系數為k，除燃料費外其他費用為每小時96元當速度為10海里/小時時，每小時的燃料費是6元若勻速行駛10海里，當這艘輪船的速度為_海里/小時時，總費用最小解析：設每小時的總費用為y元，則ykv296，又當v10時，k×1026，解得k0.06，所以每小時的總費用y0.06v296，勻速行駛10海里所用的時間為小時，故總費用為Wy(0.06v296)0.6v248，當且僅當0.6v，即v40時等號成立故總費用最小時輪船的速度為40海里/小時答案：4011A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成x的函數；(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？解：(1)x的取值范圍為10x90.(2)y5x2(100x)2(10x90)(3)因為y5x2(100x)2x2500x25 000，所以當x時，ymin.故核電站建在距A城 km處，能使供電總費用y最少12.如圖，GH是一條東西方向的公路，現準備在點B的正北方向的點A處建一倉庫，設ABy千米，并在公路旁邊建造邊長為x千米的正方形無頂中轉站CDEF(其中邊EF在公路GH上)若從點A向公路和中轉站分別修兩條道路AB，AC，已知ABAC1，且ABC60°.(1)求y關于x的函數解析式；(2)如果中轉站四周圍墻的造價為10萬元/千米，道路的造價為30萬元/千米，問x取何值時，修建中轉站和道路的總造價M最低？解：(1)由題意易知x>1，BC2x，又ABy，ACy1，在ABC中，由余弦定理得，(y1)2y24x22y·2x·cos 60°，所以y(x>1)(2)M30(2y1)40x3040x，其中x>1，設tx1，則t>0，所以M3040(t1)160t2502250490，當且僅當t時等號成立，此時x.所以當x時，修建中轉站和道路的總造價M最低綜合題組練1某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：)滿足函數關系yekxb(e2.718為自然對數的底數，k，b為常數)若該食品在0 的保鮮時間是192小時，在22 的保鮮時間是48小時，則該食品在33 的保鮮時間是()A16小時 B20小時C24小時 D28小時解析：選C.由已知得192eb，48e22kbe22k·eb，將代入得e22k，則e11k，當x33時，ye33kbe33k·eb×19224，所以該食品在33 的保鮮時間是24小時故選C.2某類產品按工藝共分10個檔次，最低檔次產品每件利潤為8元每提高一個檔次，每件利潤增加2元用同樣工時，可以生產最低檔次產品60件，每提高一個檔次將少生產3件產品，則每天獲得利潤最大時生產產品的檔次是()A7 B8C9 D10解析：選C.由題意，當生產第k檔次的產品時，每天可獲利潤為y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10，kN*)，配方可得y6(k9)2864，所以當k9時，獲得利潤最大選C.3擬定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)1.06(0.5m1)給出，其中m0，m是不超過m的最大整數(如33，3.73，3.13)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為_元解析：因為m6.5，所以m6，則f(m)1.06×(0.5×61)4.24.答案：4.244某汽車銷售公司在A、B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y14.1x0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y22x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是_萬元解析：設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16x)輛，所以可得利潤y4.1x0.1x22(16x)0.1x22.1x320.10.1×32.因為x0，16且xN，所以當x10或11時，總利潤取得最大值43萬元答案：435某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數關系式；(2)據進一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時間解：(1)由題圖，設y當t1時，由y4得k4，由4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服藥一次后治療疾病有效的時間是5(小時)6食品安全問題越來越引起人們的重視，農藥、化肥的濫用對人民群眾的健康帶來一定的危害，為了給消費者帶來放心的蔬菜，某農村合作社每年投入200萬元，搭建了甲、乙兩個無公害蔬菜大棚，每個大棚至少要投入20萬元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據以往的種菜經驗，發(fā)現種西紅柿的年收入P、種黃瓜的年收入Q與投入a(單位：萬元)滿足P804，Qa120，設甲大棚的投入為x(單元：萬元)，每年兩個大棚的總收益為f(x)(單位：萬元)(1)求f(50)的值；(2)試問如何安排甲、乙兩個大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？解：(1)由題意知甲大棚投入50萬元，則乙大棚投入150萬元，所以f(50)804×150120277.5(萬元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依題意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，則t2，6，yt24t250(t8)2282，當t8，即x128時，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128萬元，乙大棚投入72萬元時，總收益最大，且最大總收益為282萬元16