2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專題六 解析幾何 6.3 圓錐曲線的綜合問題練習(xí)1已知拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且|MF|2|NF|，則直線l的斜率為()A± B±2C± D±解析：依題意得F(1,0)設(shè)直線MN的方程為xmy1.由消去x并整理，得y24my40.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y24m，y1y24.因?yàn)閨MF|2|NF|，所以y12y2.聯(lián)立和，消去y1，y2，得m±，所以直線l的斜率是±2.故選B.答案：B2(2018·全國卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A. B3C2 D4解析：由已知得雙曲線的兩條漸近線方程為y±x.設(shè)兩漸近線夾角為2，則有tan ，所以30°.所以MON260°.又OMN為直角三角形，由于雙曲線具有對(duì)稱性，不妨設(shè)MNON，如圖所示在RtONF中，|OF|2，則|ON|.則在RtOMN中，|MN|ON|·tan 2·tan 60°3.故選B.答案：B3(2018·益陽市，湘潭市調(diào)研試卷)已知圓C1：x2(y2)24，拋物線C2：y22px(p>0)，C1與C2相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|，則拋物線C2的方程為_解析：由題意，知圓C1與拋物線C2的其中一個(gè)交點(diǎn)為原點(diǎn)，不妨記為B，設(shè)A(m，n)|AB|，即A.將A的坐標(biāo)代入拋物線方程得22p×，p，拋物線C2的方程為y2x.答案：y2x4已知點(diǎn)A在橢圓1上，點(diǎn)P滿足(1)·(R)(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，且·72，則線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為_解析：因?yàn)?1)，所以，即O，A，P三點(diǎn)共線，因?yàn)?#183;72，所以·|272，設(shè)A(x，y)，OA與x軸正方向的夾角為，線段OP在x軸上的投影長(zhǎng)度為|cos |x|15，當(dāng)且僅當(dāng)|x|時(shí)取等號(hào)答案：155已知橢圓C1：1(a>b>0)的離心率e且與雙曲線C2：1有共同焦點(diǎn)(1)求橢圓C1的方程；(2)在橢圓C1落在第一象限的圖象上任取一點(diǎn)作C1的切線l，求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積的最小值解析：(1)由e，可得：，即，所以，a24b2，又因?yàn)閏22b21，即a2b22b21，聯(lián)立解得：a24，b21，所以橢圓C1的方程為y21.(2)因?yàn)閘與橢圓C1相切于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，所以直線l的斜率必存在且為負(fù)，設(shè)直線l的方程為ykxm(k<0)，聯(lián)立消去y整理可得：x22kmxm210，依題意可得方程只有一實(shí)根，所以(2km)24(m21)0，整理可得：m24k21，因?yàn)橹本€l與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，(0，m)且k<0，所以l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S·，把代入可得：S(2k)2.即三角形面積最小值為2.6(2018·北京卷)已知拋物線C：y22px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，求證：為定值解析：(1)因?yàn)閽佄锞€y22px過點(diǎn)(1,2)，所以2p4，即p2.故拋物線C的方程為y24x.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依題意(2k4)24×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)(1，2)從而k3.所以直線l的斜率的取值范圍是(，3)(3,0)(0,1)(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由(1)知x1x2，x1x2.直線PA的方程為y2(x1)令x0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM22.同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN2.由，得1yM，1yN.所以··2.所以為定值B級(jí)1(2018·南昌市摸底調(diào)研)已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：ykxm與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若kOM·kON，求原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍解析：(1)由題知e，2b2，又a2b2c2，b1，a2，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程，得得(4k21)x28kmx4m240，依題意，(8km)24(4k21)(4m24)>0，化簡(jiǎn)得m2<4k21，x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOM·kON，則，即4y1y25x1x2，4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，(4k25)·4km·4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化簡(jiǎn)得m2k2，由得0m2<，<k2，原點(diǎn)O到直線l的距離d，d21，又<k2，0d2<，原點(diǎn)O到直線l的距離的取值范圍是.2已知F(1,0)，直線l：x1，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且··.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程；(2)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M，過點(diǎn)F的直線與G交于A，B兩點(diǎn)，且AB不垂直于x軸，直線AM交曲線G于點(diǎn)C，直線BM交曲線G于點(diǎn)D.證明直線AB與直線CD的傾斜角互補(bǔ)；直線CD是否經(jīng)過定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)，否則，說明理由解析：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則Q(1，y)，由F(1,0)及··，得(x1,0)·(2，y)(x1，y)·(2，y)，化簡(jiǎn)得y24x，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡G的方程為y24x.(2)由題易知點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M(1,0)，設(shè)過點(diǎn)F的直線AB的方程為xny1(n0)，聯(lián)立方程得消去x，得y24ny40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y24.設(shè)直線AM的方程為xmy1，聯(lián)立方程得消去x，得y24my40，設(shè)C(x3，y3)，則y1y34，即y3，易得A，C，同理可得B，D.kAB，kCD，kABkCD0，設(shè)直線AB，CD的傾斜角分別為，則tan tan ()，又0<<，0<<，且，即.直線AB與直線CD的傾斜角互補(bǔ)易知直線CD的方程y，令y0，得x1，直線CD過定點(diǎn)(1,0)