2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.3（二）導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)1(2018·昆明市高三摸底調(diào)研測(cè)試)若函數(shù)f(x)2xx21，對(duì)于任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，1 B(，0C(，4 D(，5解析：對(duì)任意的xZ且x(，a)，都有f(x)0恒成立，可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的xZ且x(，a)，2xx21恒成立令g(x)2x，h(x)x21，當(dāng)x<0時(shí)，g(x)<h(x)，當(dāng)x0或1時(shí)，g(x)h(x)，當(dāng)x2或3或4時(shí)，g(x)<h(x)，當(dāng)x5時(shí)，g(x)>h(x)綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，5，故選D.答案：D2已知函數(shù)yf(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，有f(x)>0，則函數(shù)F(x)xf(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：由F(x)xf(x)0，得xf(x)，設(shè)g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)，因?yàn)閤0時(shí)，有f(x)>0，所以x0時(shí)，>0，即當(dāng)x>0時(shí)，g(x)f(x)xf(x)>0，此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，此時(shí)g(x)>g(0)0，當(dāng)x<0時(shí)， g(x)f(x)xf(x)<0，此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，此時(shí)g(x)>g(0)0，作出函數(shù)g(x)和函數(shù)y的圖象，(直線只代表單調(diào)性和取值范圍)，由圖象可知函數(shù)F(x)xf(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)答案：B3定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo)，即f(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上也可導(dǎo)，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記作f(x)，即f(x)f(x).定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正，即f(x)>0恒成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù)已知函數(shù)f(x)x3x21在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是_解析：f(x)x3x21，f(x)3x23x，f(x)6x3.令f(x)>0，即6x3>0，解得x>.x的取值范圍是.答案：4已知函數(shù)f(x)，g(x)(x1)2a2，若當(dāng)x>0時(shí)，存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得存在x1，x2R，使得f(x2)g(x1)成立，等價(jià)于f(x)ming(x)max.因?yàn)間(x)(x1)2a2，x>0，所以當(dāng)x1時(shí)，g(x)maxa2.因?yàn)閒(x)，x>0，所以f(x).所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以f(x)minf(1)e.又g(x)maxa2，所以a2ea或a.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，)答案：(，)5(2018·武漢市武昌區(qū)調(diào)研考試)已知函數(shù)f(x)ln x，aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明f(x).解析：(1)f(x)(x>0)當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時(shí)，若x>a，則f(x)>0，函數(shù)f(x)在(a，)上單調(diào)遞增；若0<x<a，則f(x)<0，函數(shù)f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)minf(a)ln a1.要證f(x)，只需證ln a1，即證ln a10.令函數(shù)g(a)ln a1，則g(a)(a>0)，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0，當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0，所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立，所以f(x).6(2018·南昌市第一次模擬測(cè)試卷)已知函數(shù)f(x)exaln xe(aR)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若f(x)在x1處取得極小值，求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解析：(1)易知f(x)的定義域?yàn)?0，)由f(x)exaln xe(aR)，得f(x)ex.由題意可知f(1)0，所以ae，所以f(x)ex.令g(x)xexe，則g(x)ex(1x)當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)0.所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)>0，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0.故函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1，)(2)由f(x)exaln xe，得f(x)ex.當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex>0，所以f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)0.(符合題意)當(dāng)a>0時(shí)，f(x)ex，當(dāng)x1，)時(shí)，exe.()當(dāng)a(0，e時(shí)，因?yàn)閤1，)，所以e，f(x)ex0，所以f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)0.(符合題意)()當(dāng)a(e，)時(shí)，存在x01，)，滿足f(x0)e0，所以f(x)在1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，故f(x0)<f(1)0.不滿足x1，)時(shí)，f(x)0恒成立綜上所述，a的取值范圍是(，eB級(jí)1(2018·武漢市部分學(xué)校調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論g(x)f(x)在區(qū)間0,1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解析：(1)f(x)exax1，f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0恒成立，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)<0，得x<ln a，令f(x)>0，得x>ln a，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，ln a)，單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a，)(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考慮f(x)在區(qū)間0,1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增且f(0)0，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ae時(shí)，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1<a<e時(shí)，f(x)在(0，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a,1)上單調(diào)遞增，而f(1)ea1，當(dāng)ea10，即1<ae1時(shí)，f(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)ea1<0，即e1<a<e時(shí)，f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x時(shí)，由f0得a2(1)，當(dāng)a1或a>e1或a2(1)時(shí)，g(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1<ae1且a2(1)時(shí)，g(x)在0,1上有三個(gè)零點(diǎn)2(2018·開(kāi)封市高三定位考試)已知函數(shù)f(x)axx2xln a(a>0，a1)(1)當(dāng)ae(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.當(dāng)ae時(shí)，f(x)2xex1，在R上是增函數(shù)，又f(0)0，f(x)>0的解集為(0，)，f(x)<0的解集為(，0)，故函數(shù)f(x)在ae時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)(2)存在x1，x21,1，使得|f(x1)f(x2)|e1，又當(dāng)x1，x21,1時(shí)，|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，只要f(x)maxf(x)mine1即可當(dāng)a>1時(shí)，ln a>0，y(ax1)ln a在R上是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)，ln a<0，y(ax1)ln a在R上也是增函數(shù)，當(dāng)a>1或0<a<1時(shí)，總有f(x)在R上是增函數(shù)，又f(0)0，f(x)，f(x)隨x的變化而變化的情況如表所示：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減1單調(diào)遞增當(dāng)x1,1時(shí)，f(x)的最小值f(x)minf(0)1，f(x)的最大值f(x)max為f(1)和f(1)中的較大者f(1)f(1)(a1ln a)a2ln a，令g(a)a2ln a(a>0)，g(a)120，g(a)a2ln a在(0，)上是增函數(shù)而g(1)0，故當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0，即f(1)>f(1)；當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0，即f(1)<f(1)當(dāng)a>1時(shí)，f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1，即aln ae1，函數(shù)yaln a在(1，)上是增函數(shù)，解得ae；當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1，即ln ae1，函數(shù)yln a在(0,1)上是減函數(shù)，解得0<a.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為e，)