2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.3(二)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)
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2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.3(二)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)
2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.3(二)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用練習(xí)1(2018·昆明市高三摸底調(diào)研測(cè)試)若函數(shù)f(x)2xx21,對(duì)于任意的xZ且x(,a),都有f(x)0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(,1 B(,0C(,4 D(,5解析:對(duì)任意的xZ且x(,a),都有f(x)0恒成立,可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的xZ且x(,a),2xx21恒成立令g(x)2x,h(x)x21,當(dāng)x<0時(shí),g(x)<h(x),當(dāng)x0或1時(shí),g(x)h(x),當(dāng)x2或3或4時(shí),g(x)<h(x),當(dāng)x5時(shí),g(x)>h(x)綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(,5,故選D.答案:D2已知函數(shù)yf(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x0時(shí),有f(x)>0,則函數(shù)F(x)xf(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析:由F(x)xf(x)0,得xf(x),設(shè)g(x)xf(x),則g(x)f(x)xf(x),因?yàn)閤0時(shí),有f(x)>0,所以x0時(shí),>0,即當(dāng)x>0時(shí),g(x)f(x)xf(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,此時(shí)g(x)>g(0)0,當(dāng)x<0時(shí), g(x)f(x)xf(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,此時(shí)g(x)>g(0)0,作出函數(shù)g(x)和函數(shù)y的圖象,(直線只代表單調(diào)性和取值范圍),由圖象可知函數(shù)F(x)xf(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)答案:B3定義1:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導(dǎo),即f(x)存在,且導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上也可導(dǎo),則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導(dǎo)數(shù),記作f(x),即f(x)f(x).定義2:若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導(dǎo)數(shù)恒為正,即f(x)>0恒成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù)已知函數(shù)f(x)x3x21在區(qū)間D上為凹函數(shù),則x的取值范圍是_解析:f(x)x3x21,f(x)3x23x,f(x)6x3.令f(x)>0,即6x3>0,解得x>.x的取值范圍是.答案:4已知函數(shù)f(x),g(x)(x1)2a2,若當(dāng)x>0時(shí),存在x1,x2R,使得f(x2)g(x1)成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析:由題意得存在x1,x2R,使得f(x2)g(x1)成立,等價(jià)于f(x)ming(x)max.因?yàn)間(x)(x1)2a2,x>0,所以當(dāng)x1時(shí),g(x)maxa2.因?yàn)閒(x),x>0,所以f(x).所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,所以f(x)minf(1)e.又g(x)maxa2,所以a2ea或a.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(,)答案:(,)5(2018·武漢市武昌區(qū)調(diào)研考試)已知函數(shù)f(x)ln x,aR.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)a>0時(shí),證明f(x).解析:(1)f(x)(x>0)當(dāng)a0時(shí),f(x)>0,f(x)在(0,)上單調(diào)遞增當(dāng)a>0時(shí),若x>a,則f(x)>0,函數(shù)f(x)在(a,)上單調(diào)遞增;若0<x<a,則f(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減(2)證明:由(1)知,當(dāng)a>0時(shí),f(x)minf(a)ln a1.要證f(x),只需證ln a1,即證ln a10.令函數(shù)g(a)ln a1,則g(a)(a>0),當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0,當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0,所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增所以g(a)ming(1)0.所以ln a10恒成立,所以f(x).6(2018·南昌市第一次模擬測(cè)試卷)已知函數(shù)f(x)exaln xe(aR),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若f(x)在x1處取得極小值,求a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)x1,)時(shí),f(x)0恒成立,求a的取值范圍解析:(1)易知f(x)的定義域?yàn)?0,)由f(x)exaln xe(aR),得f(x)ex.由題意可知f(1)0,所以ae,所以f(x)ex.令g(x)xexe,則g(x)ex(1x)當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,且g(1)0.所以當(dāng)x(0,1)時(shí),g(x)<0,當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)>0,所以當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x)<0,當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)>0.故函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,)(2)由f(x)exaln xe,得f(x)ex.當(dāng)a0時(shí),f(x)ex>0,所以f(x)在1,)上單調(diào)遞增,f(x)minf(1)0.(符合題意)當(dāng)a>0時(shí),f(x)ex,當(dāng)x1,)時(shí),exe.()當(dāng)a(0,e時(shí),因?yàn)閤1,),所以e,f(x)ex0,所以f(x)在1,)上單調(diào)遞增,f(x)minf(1)0.(符合題意)()當(dāng)a(e,)時(shí),存在x01,),滿足f(x0)e0,所以f(x)在1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,)上單調(diào)遞增,故f(x0)<f(1)0.不滿足x1,)時(shí),f(x)0恒成立綜上所述,a的取值范圍是(,eB級(jí)1(2018·武漢市部分學(xué)校調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)討論g(x)f(x)在區(qū)間0,1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解析:(1)f(x)exax1,f(x)exa,當(dāng)a0時(shí),f(x)>0恒成立,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a>0時(shí),令f(x)<0,得x<ln a,令f(x)>0,得x>ln a,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,ln a),單調(diào)遞增區(qū)間為(ln a,)(2)令g(x)0,得f(x)0或x,先考慮f(x)在區(qū)間0,1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù),當(dāng)a1時(shí),f(x)在(0,)上單調(diào)遞增且f(0)0,f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)ae時(shí),f(x)在(,1)上單調(diào)遞減,f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)1<a<e時(shí),f(x)在(0,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,1)上單調(diào)遞增,而f(1)ea1,當(dāng)ea10,即1<ae1時(shí),f(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)ea1<0,即e1<a<e時(shí),f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x時(shí),由f0得a2(1),當(dāng)a1或a>e1或a2(1)時(shí),g(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn);當(dāng)1<ae1且a2(1)時(shí),g(x)在0,1上有三個(gè)零點(diǎn)2(2018·開(kāi)封市高三定位考試)已知函數(shù)f(x)axx2xln a(a>0,a1)(1)當(dāng)ae(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若存在x1,x21,1,使得|f(x1)f(x2)|e1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析:(1)f(x)axln a2xln a2x(ax1)ln a.當(dāng)ae時(shí),f(x)2xex1,在R上是增函數(shù),又f(0)0,f(x)>0的解集為(0,),f(x)<0的解集為(,0),故函數(shù)f(x)在ae時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),單調(diào)遞減區(qū)間為(,0)(2)存在x1,x21,1,使得|f(x1)f(x2)|e1,又當(dāng)x1,x21,1時(shí),|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min,只要f(x)maxf(x)mine1即可當(dāng)a>1時(shí),ln a>0,y(ax1)ln a在R上是增函數(shù),當(dāng)0<a<1時(shí),ln a<0,y(ax1)ln a在R上也是增函數(shù),當(dāng)a>1或0<a<1時(shí),總有f(x)在R上是增函數(shù),又f(0)0,f(x),f(x)隨x的變化而變化的情況如表所示:x(,0)0(0,)f(x)0f(x)單調(diào)遞減1單調(diào)遞增當(dāng)x1,1時(shí),f(x)的最小值f(x)minf(0)1,f(x)的最大值f(x)max為f(1)和f(1)中的較大者f(1)f(1)(a1ln a)a2ln a,令g(a)a2ln a(a>0),g(a)120,g(a)a2ln a在(0,)上是增函數(shù)而g(1)0,故當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0,即f(1)>f(1);當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0,即f(1)<f(1)當(dāng)a>1時(shí),f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1,即aln ae1,函數(shù)yaln a在(1,)上是增函數(shù),解得ae;當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)maxf(x)minf(1)f(0)e1,即ln ae1,函數(shù)yln a在(0,1)上是減函數(shù),解得0<a.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為e,)