2022年高考數(shù)學大二輪復習 板塊一 六大核心素養(yǎng)優(yōu)選習題 文是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學研究對象的思維過程.例1(1)如圖表示的是一位騎自行車和一位騎摩托車的旅行者在相距80km的甲、乙兩城間從甲城到乙城所行駛的路程與時間之間的函數(shù)關(guān)系，有人根據(jù)函數(shù)圖象，提出了關(guān)于這兩個旅行者的如下信息：騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3h，晚到1h；騎自行車者是變速運動，騎摩托車者是勻速運動；騎摩托車者在出發(fā)1.5h后追上了騎自行車者；騎摩托車者在出發(fā)1.5h后與騎自行車者速度一樣其中，正確信息的序號是_答案解析看時間軸易知正確；騎摩托車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是直線，所以是勻速運動，而騎自行車者行駛的路程與時間的函數(shù)圖象是折線，所以是變速運動，因此正確；兩條曲線的交點的橫坐標對應著4.5，故正確，錯誤(2)某樓梯共有11級，每步可走一級或二級，走完這11級樓梯共有多少種不同的走法？解樓梯共有11級，數(shù)值比較大，可以先考慮簡單情形樓梯共有：1級、2級、3級、4級、5級、，從特殊的情境里發(fā)現(xiàn)規(guī)律.樓梯級數(shù)1234511走法種數(shù)12358？從上面的走法種數(shù)1,2,3,5,8，可以發(fā)現(xiàn)：前兩個走法種數(shù)之和是下一個走法種數(shù)于是，容易推算出：走完這11級樓梯，共有144種不同的走法1加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A3.50分鐘B3.75分鐘C4.00分鐘D4.25分鐘答案B解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得解得所以p0.2t21.5t222，所以當t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘2甲、乙兩種食物的維生素含量如下表：維生素A(單位/kg)維生素B(單位/kg)甲35乙42分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A，B的含量分別不低于100,120個單位，則混合物重量的最小值為_kg.答案30解析設(shè)甲食物重xkg，乙食物重ykg，A，B的含量分別不低于100,120個單位，由得A(20,10)，混合物重zxy，平移直線zxy，由圖知，當直線過A(20,10)時，z取最小值為201030.素養(yǎng)2直觀想象是指借助幾何直觀形象和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學問題的思想過程.例2(1)如圖，點列An，Bn分別在某銳角的兩邊上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示點P與點Q不重合)若dn|AnBn|，Sn為AnBnBn1的面積，則()ASn是等差數(shù)列BS是等差數(shù)列Cdn是等差數(shù)列Dd是等差數(shù)列答案A解析作A1C1，A2C2，A3C3，AnCn垂直于直線B1Bn，垂足分別為C1，C2，C3，Cn，則A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2|，|CnCn1|Cn1Cn2|.設(shè)|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c，則|A3C3|2ba，|AnCn|(n1)b(n2)a(n3)，n1和n2時也符合Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab)，Sn1Snc(ba)(n1)(2ab)(ba)n(2ab)c(ba)，數(shù)列Sn是等差數(shù)列(2)在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AC1，A1B1的中點點P在該正方體的表面上運動，則總能使MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡的周長等于()A.1B.2C21D22答案B解析如圖，取BB1的中點E，CC1的中點F，連接AE，EF，F(xiàn)D，則BN平面AEFD.設(shè)M在平面ABB1A1中的射影為O，過MO與平面AEFD平行的平面為，能使MP與BN垂直的點P所構(gòu)成的軌跡為矩形，其周長與矩形AEFD的周長相等，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，矩形AEFD的周長為2.3“牟合方蓋”(如圖1)是我國古代數(shù)學家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋)其直觀圖如圖2所示，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線，其實際直觀圖中四邊形不存在，當其正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時，它的正(主)視圖和俯視圖分別可能是()Aa，bBa，cCc，bDb，d答案A解析當正(主)視圖和側(cè)(左)視圖完全相同時，“牟合方蓋”相對的兩個曲面正對前方，正(主)視圖為一個圓，俯視圖為一個正方形，且兩條對角線為實線，故選A.4(2018·北京)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為()A1B2C3D4答案C解析由三視圖得到空間幾何體，如圖所示，則PA平面ABCD，平面ABCD為直角梯形，PAABAD2，BC1，所以PAAD，PAAB，PABC.又BCAB，ABPAA，AB，PA平面PAB，所以BC平面PAB.又PB平面PAB，所以BCPB.在PCD中，PD2，PC3，CD，所以PCD為銳角三角形所以側(cè)面中的直角三角形為PAB，PAD，PBC，共3個故選C.二、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)3邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個命題的思維過程.例3(1)(2018·北京)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a3b|3ab|”是“ab”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案C解析由|a3b|3ab|，得(a3b)2(3ab)2，即a29b26a·b9a2b26a·b.又a，b均為單位向量，所以a2b21，所以a·b0，能推出ab.由ab得|a3b|，|3ab|，能推出|a3b|3ab|.所以“|a3b|3ab|”是“ab”的充要條件故選C.(2)記I為虛數(shù)集，設(shè)a，bR，x，yI，則下列類比所得的結(jié)論正確的是_(填序號)由a·bR，類比得x·yI；由a20，類比得x20；由(ab)2a22abb2，類比得(xy)2x22xyy2；由ab>0，a>b，類比得xy>0，x>y.答案解析由a·bR，不能類比得x·yI，如xyi，則xy1I，故不正確；由a20，不能類比得x20.如xi，則x2<0，故不正確；由(ab)2a22abb2，可類比得(xy)2x22xyy2，故正確；若x，yI，當x1i，yi時，xy0，但x，y是兩個虛數(shù)，不能比較大小，故錯誤故4個結(jié)論中，正確5已知從2開始的連續(xù)偶數(shù)蛇形排列成寶塔形的數(shù)表，第一行為2，第二行為4,6，第三行為12,10,8，第四行為14,16,18,20，如圖所示，在該數(shù)表中位于第i行、第j列的數(shù)記為aij，如a3210，a5424.若aij2018，則ij_.答案72解析第1行有1個偶數(shù)，第2行有2個偶數(shù)，第n行有n個偶數(shù)，則前n行共有123n(個)偶數(shù)，2018在從2開始的偶數(shù)中排在第1009位，所以1009，所以n45.當n44時，第44行第44個偶數(shù)為×21980，所以第44行結(jié)束時最右邊的偶數(shù)為1980.由題意得2018排在第45行的第27位，所以ij452772.6甲、乙、丙三位同學被問到是否參加了學校組織的A，B，C三個活動興趣小組時，甲說：我參加的興趣小組比乙多，但沒參加過A興趣小組；乙說：我沒參加過B興趣小組；丙說：我們?nèi)藚⒓恿送粋€興趣小組由此可判斷乙參加的興趣小組為_答案C解析三人參加了同一個興趣小組，乙不參加B，甲不參加A，三人共同參加的小組只有C，又甲參加的興趣小組比乙多，甲不參加A甲參加兩個興趣小組，乙參加一個小組，甲參加B和C，乙參加的興趣小組是C.素養(yǎng)4數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的思維過程.例4(1)(2018·全國)在ABC中，cos，BC1，AC5，則AB等于()A4B.C.D2答案A解析cos，cosC2cos212×21.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosC52122×5×1×32，AB4.故選A.(2)(2018·全國)已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos2，則|ab|等于()A.B.C.D1答案B解析由cos2，得cos2sin2，又cos0，tan±，即±，|ab|.故選B.(3)(2018·全國)已知函數(shù)f(x)log2(x2a)若f(3)1，則a_.答案7解析f(x)log2(x2a)且f(3)1，1log2(9a)，9a2，a7.7定長為4的線段MN的兩端點在拋物線y2x上移動，設(shè)點P為線段MN的中點，則點P到y(tǒng)軸距離的最小值為_答案解析設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，拋物線y2x的焦點為F，拋物線的準線方程為x，所求的距離d，所以(M，N，F(xiàn)三點共線時取等號)三、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)5數(shù)學建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，構(gòu)造數(shù)學模型用數(shù)學語言表達問題，用數(shù)學知識與方法解決問題的思維過程.例5(1)(2018·山東、湖北部分重點中學模擬)我國古代著名的數(shù)學家劉徽著有海島算經(jīng)內(nèi)有一篇：“今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直從前表卻行百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合問島高及去表各幾何？”請你計算出海島高度為_步.(參考譯文：假設(shè)測量海島，立兩根標桿，高均為5步，前后相距1000步，令前后兩根標桿和島在同一直線上，從前標桿退行123步，人的視線從地面(人的高度忽略不計)過標桿頂恰好觀測到島峰，從后標桿退行127步，人的視線從地面過標桿頂恰好觀測到島峰，問島高多少？島與前標桿相距多遠？)(丈、步為古時計量單位，當時是“三丈5步”)答案1255解析如圖所示，設(shè)島高x步，與前標桿相距y步，由相似三角形的性質(zhì)，有解得則海島高度為1255步(2)秸稈還田是當今世界上普遍重視的一項培肥地力的增產(chǎn)措施，在杜絕了秸稈焚燒所造成的大氣污染的同時還有增肥增產(chǎn)作用某農(nóng)機戶為了達到在收割的同時讓秸稈還田，花137600元購買了一臺新型聯(lián)合收割機，每年用于收割可以收入6萬元(已減去所用柴油費)；該收割機每年都要定期進行維修保養(yǎng)，第一年由廠方免費維修保養(yǎng)，第二年及以后由該農(nóng)機戶付費維修保養(yǎng)，所付費用y(元)與使用年數(shù)n的關(guān)系為yknb(n2，且nN*)，已知第二年付費1800元，第五年付費6000元試求出該農(nóng)機戶用于維修保養(yǎng)的費用f(n)(元)與使用年數(shù)n(nN*)的函數(shù)關(guān)系式；這臺收割機使用多少年，可使年平均收益最大？(收益收入維修保養(yǎng)費用購買機械費用)解依題意知，當n2時，y1800；當n5時，y6000，即解得所以f(n)記使用n年，年均收益為W(元)，則依題意知，當n2時，W60000137 6001 400(23n)1 000(n1)6000060000(137200700n2300n) 6030060300240700，當且僅當700n，即n14時取等號所以這臺收割機使用14年，可使年均收益最大8甲與乙午覺醒來后，發(fā)現(xiàn)自己的手表因故停止轉(zhuǎn)動，于是他們想借助收音機，利用電臺整點報時確認時間(1)求甲等待的時間不多于10分鐘的概率；(2)求甲比乙多等待10分鐘以上的概率解(1)因為電臺每隔1小時報時一次，甲在0,60)之間任何一個時刻打開收音機是等可能的，所以他在哪個時間段打開收音機的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，符合幾何概型的條件設(shè)事件A為“甲等待的時間不多于10分鐘”，則事件A恰好是打開收音機的時刻位于50,60)時間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式得P(A).所以“甲等待的時間不多于10分鐘”的概率為.(2)因為甲、乙兩人起床的時間是任意的，所以所求事件是一個與兩個變量相關(guān)的幾何概型，且為面積型設(shè)甲需要等待的時間為x，乙需要等待的時間為y(10分鐘為一個長度單位)則由己知可得，對應的基本事件空間為.甲比乙多等待10分鐘以上對應的事件為M.在平面直角坐標系中作出兩個不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示顯然表示一個邊長為6的正方形OQRS的內(nèi)部及線段OQ，OS，其面積S16236.M表示的是腰長為5的等腰直角三角形QDE的內(nèi)部及線段DQ，其面積S2×52.故所求事件的概率為P.素養(yǎng)6數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲得相關(guān)數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)中的有用信息進行分析推斷，形成已學知識的思維過程例6華東師范大學為了了解大學生使用手機的情況，分別在大一和大二兩個年級各隨機抽取了100名大學生進行調(diào)查下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生日均使用手機時間的頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表，將使用手機時間不低于80分鐘的學生稱為“手機迷”大一學生日均使用手機時間的頻率分布直方圖如圖所示，大二學生日均使用手機時間的頻數(shù)分布表如下表時間分組頻數(shù)0,20)1220,40)2040,60)2460,80)2680,100)14100,1204(1)將頻率視為概率，估計哪個年級的大學生是“手機迷”的概率大？請說明理由；(2)在大一學生的抽查中，已知隨機抽到的女生共有55名，其中有10名為“手機迷”根據(jù)已知條件列出2×2列聯(lián)表，根據(jù)此資料你有多大的把握認為“手機迷”與性別有關(guān)？附表：P(K2k0)0.100.05k02.7063.841解(1)由頻率分布直方圖可知，大一學生是“手機迷”的概率為P1(0.00250.010)×200.25.由頻數(shù)分布表可知，大二學生是“手機迷”的概率為P20.18.因為P1>P2，所以大一學生是“手機迷”的概率大(2)由頻率分布直方圖可知，從大一學生抽取的100人中，“手機迷”有(0.0100.0025)×20×10025(人)，非手機迷有1002575(人)2×2列聯(lián)表如下：非手機迷手機迷總計男301545女451055總計7525100假設(shè)“手機迷”與性別無關(guān)，隨機變量K2的觀測值k3.030，因為3.030>2.706，所以有90%的把握認為“手機迷”與性別有關(guān)9某市一水電站的年發(fā)電量y(單位：億千瓦時)與該市的年降雨量x(單位：毫米)有如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：2013年2014年2015年2016年2017年降雨量x(毫米)15001400190016002100發(fā)電量y(億千瓦時)7.47.09.27.910.0(1)若從統(tǒng)計的5年中任取2年，求這2年的發(fā)電量都高于7.5億千瓦時的概率；(2)由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為0.004x，該水電站計劃2019年的發(fā)電量不低于8.6億千瓦時，現(xiàn)由氣象部門獲悉2019年的降雨量約為1800毫米，請你預測2019年能否完成發(fā)電任務？解(1)從統(tǒng)計的5年發(fā)電量中任取2年，基本事件為7.4,7.0，7.4,9.2，7.4,7.9，7.4,10.0，7.0,9.2，7.0,7.9，7.0,10.0，9.2,7.9，9.2,10.0，7.9,10.0，共10個；其中這2年的發(fā)電量都高于7.5 億千瓦時的基本事件為9.2,7.9，9.2,10.0，7.9,10.0，共3個所以這2年發(fā)電量都高于7.5 億千瓦時的概率為P.(2)因為1 700，8.3.又直線0.004x過點(，)，所以8.30.004×1 700，解得1.5，所以0.004x1.5.當x1 800時，0.004×1 8001.58.7>8.6，所以預測該水電站2019年能完成發(fā)電任務