2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪（文） 第三章 3-3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案1用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖正弦函數(shù)ysin x，x0,2的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函數(shù)ycos x，x0,2的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRx|xR且xk，kZ值域1,11,1R單調(diào)性2k，2k(kZ)上遞增；2k，2k(kZ)上遞減2k，2k(kZ)上遞增；2k，2k(kZ)上遞減(k，k)(kZ)上遞增最值x2k(kZ)時，ymax1；x2k(kZ)時，ymin1x2k(kZ)時，ymax1；x2k(kZ)時，ymin1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(k，0)(kZ)(k，0) (kZ)(，0)(kZ)對稱軸方程xk(kZ)xk(kZ)周期22【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)常函數(shù)f(x)a是周期函數(shù)，它沒有最小正周期()(2)ysin x在x0，上是增函數(shù)()(3)ycos x在第一、二象限上是減函數(shù)(×)(4)ytan x在整個定義域上是增函數(shù)(×)(5)yksin x1(xR)，則ymaxk1.(×)(6)若sin x>，則x>.(×)1(xx·陜西改編)函數(shù)f(x)cos(2x)的最小正周期是_答案解析最小正周期為T.2若函數(shù)f(x)sin x (>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則_.答案解析f(x)sin x(>0)過原點(diǎn)，當(dāng)0x，即0x時，ysin x是增函數(shù)；當(dāng)x，即x時，ysin x是減函數(shù)由f(x)sin x (>0)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減知，.3(xx·湖北改編)將函數(shù)ycos xsin x(xR) 的圖象向左平移m(m0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是_答案解析ycos xsin x2sin(x)向左平移m個單位長度后得到y(tǒng)2sin(xm)，它關(guān)于y軸對稱可得sin(m)±1，mk，kZ，mk，kZ，m>0，m的最小值為.4函數(shù)ylg sin 2x的定義域?yàn)開答案x|3x<或0<x<解析由得3x<或0<x<.函數(shù)ylg sin 2x的定義域?yàn)閤|3x<或0<x<.題型一求三角函數(shù)的定義域和值域例1(1)函數(shù)y2sin(0x9)的最大值與最小值之和為_(2)函數(shù)y的定義域?yàn)開答案(1)2(2)x|xk且xk，kZ解析(1)利用三角函數(shù)的性質(zhì)先求出函數(shù)的最值0x9，x，sin.y，ymaxymin2.(2)要使函數(shù)有意義，必須有即故函數(shù)的定義域?yàn)閤|xk且xk，kZ思維升華(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：形如yasin xbcos xk的三角函數(shù)化為yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函數(shù)，可先設(shè)sin xt，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函數(shù)，可先設(shè)tsin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)(1)函數(shù)y的定義域是_(2)(xx·天津改編)函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為_答案(1)x|2kx2k，kZ(2)解析(1)要使函數(shù)有意義，必須有sin xcos x0，即sin xcos x，同一坐標(biāo)系中作出ysin x，ycos x，x0,2的圖象如圖所示結(jié)合圖象及正、余弦函數(shù)的周期是2知，函數(shù)的定義域?yàn)閤|2kx2k，kZ(2)x，2x，令y2x，則sinsin y在y上的最小值為sin.題型二三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性例2寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期：(1)ysin；(2)y|tan x|.解(1)ysin，它的增區(qū)間是ysin的減區(qū)間，它的減區(qū)間是ysin的增區(qū)間由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所給函數(shù)的減區(qū)間為，kZ；增區(qū)間為，kZ.最小正周期T.(2)觀察圖象可知，y|tan x|的增區(qū)間是，kZ，減區(qū)間是，kZ.最小正周期T.思維升華(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中>0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解但如果<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡單化原則，將解析式先化簡，并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定(xx·北京)求函數(shù)ysincos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值解，coscoscossin.y2sin，周期T.當(dāng)2k4x2k (kZ)時，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的遞增區(qū)間為 (kZ)當(dāng)2k4x2k (kZ)時，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的遞減區(qū)間為(kZ)當(dāng)x (kZ)時，ymax2；當(dāng)x (kZ)時，ymin2.題型三三角函數(shù)的奇偶性和對稱性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函數(shù)yf(x) 的圖象關(guān)于直線x0對稱，則的值為_(2)如果函數(shù)y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么|的最小值為_答案(1)(2)解析(1)f(x)2sin，yf(x)2sin圖象關(guān)于x0對稱，即f(x)為偶函數(shù)k，kZ，即k，kZ，又|，.(2)由題意得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值為.思維升華若f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時，f(x)取得最大值或最小值若f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x0時，f(x)0.如果求f(x)的對稱軸，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令xk (kZ)即可(1)若函數(shù)f(x)sin axcos ax(a>0)的最小正周期為1，則它的圖象的對稱中心為_(2)設(shè)函數(shù)ysin(x)(>0，(，)的最小正周期為，且其圖象關(guān)于直線x對稱，則在下面四個結(jié)論：圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱；圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱；在0，上是增函數(shù)；在，0上是增函數(shù)中，所有正確結(jié)論的編號為_答案(1)(，0)(kZ)(2)解析(1)由條件得f(x)sin(ax)，又函數(shù)的最小正周期為1，故1，a2，故f(x)sin(2x)則2xk，kZ，x，kZ.函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(，0)(kZ)(2)T，2.又2×k(kZ)，k(kZ)(，)，ysin(2x)，由圖象及性質(zhì)可知正確三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性典例：(1)已知>0，函數(shù)f(x)sin(x)在(，)上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_(2)已知函數(shù)f(x)2cos(x)b對任意實(shí)數(shù)x有f(x)f(x)成立，且f()1，則實(shí)數(shù)b的值為_(3)(xx·北京)設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)(A，是常數(shù)，A>0，>0)若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且fff，則f(x)的最小正周期為_思維點(diǎn)撥(1)(，)為函數(shù)f(x)某個單調(diào)減區(qū)間的子集；(2)由f(x)f(x)可得函數(shù)的對稱軸，應(yīng)用函數(shù)在對稱軸處的性質(zhì)求解即可；(3)利用正弦型函數(shù)圖象的對稱性求周期解析(1)由<x<得<x<，由題意知(，)，.(2)由f(x)f(x)可知函數(shù)f(x)2cos(x)b關(guān)于直線x對稱，又函數(shù)f(x)在對稱軸處取得最值，故±2b1，b1或b3.(3)f(x)在上具有單調(diào)性，T .ff，f(x)的一條對稱軸為x.又ff，f(x)的一個對稱中心的橫坐標(biāo)為.T，T.答案(1)，(2)1或3(3)溫馨提醒(1)對于已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的某一部分確定參數(shù)的范圍的問題：首先，明確已知的單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集；其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的關(guān)系可求解(2)函數(shù)yAsin(x)b的圖象與其對稱軸的交點(diǎn)是最值點(diǎn).方法與技巧1討論三角函數(shù)性質(zhì)，應(yīng)先把函數(shù)式化成yAsin(x)(>0)的形式2函數(shù)yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期為，ytan(x)的最小正周期為.3對于函數(shù)的性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等)可以通過換元的方法令tx，將其轉(zhuǎn)化為研究ysin t的性質(zhì)失誤與防范1閉區(qū)間上最值或值域問題，首先要在定義域基礎(chǔ)上分析單調(diào)性，含參數(shù)的最值問題，要討論參數(shù)對最值的影響2要注意求函數(shù)yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時的符號，盡量化成>0時的情況3三角函數(shù)的最值可能不在自變量區(qū)間的端點(diǎn)處取得，直接將兩個端點(diǎn)處的函數(shù)值作為最值是錯誤的.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)1下列函數(shù)中，周期為且在0，上是減函數(shù)的是_(填序號)ysin(x); ycos(x)；ysin 2x; ycos 2x.答案解析對于函數(shù)ycos 2x，T，當(dāng)x0，時，2x0，ycos 2x是減函數(shù)2已知函數(shù)f(x)2sin(2x)(|<)，若f()2，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是_答案k，k(kZ)解析由f()2得f()2sin(2×)2sin()2，所以sin()1.因?yàn)閨<，所以.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為k，k(kZ)3將函數(shù)f(x)sin x(其中>0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值是_答案2解析根據(jù)題意平移后函數(shù)的解析式為ysin ，將代入得sin 0，則2k，kZ，且>0，故的最小值為2.4給出下列四個命題，其中不正確的命題為_(填序號)若cos cos ，則2k，kZ；函數(shù)y2cos的圖象關(guān)于x中心對稱；函數(shù)ycos(sin x)(xR)為偶函數(shù)；函數(shù)ysin|x|是周期函數(shù)，且周期為2.答案解析命題：若，則cos cos ，假命題；命題：x，coscos 0，故x是y2cos的對稱中心；命題：函數(shù)ysin|x|不是周期函數(shù)5函數(shù)ycos 2xsin2x，xR的值域是_答案0,1解析ycos 2xsin2xcos 2x.cos 2x1,1，y0,16函數(shù)ycos(2x)的單調(diào)減區(qū)間為_答案k，k(kZ)解析由ycos(2x)cos(2x)得2k2x2k(kZ)，故kxk(kZ)所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為k，k(kZ)7設(shè)函數(shù)f(x)3sin(x)，若存在這樣的實(shí)數(shù)x1，x2，對任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，則|x1x2|的最小值為_答案2解析f(x)3sin(x)的周期T2×4，f(x1)，f(x2)應(yīng)分別為函數(shù)f(x)的最小值和最大值，故|x1x2|的最小值為2.8.已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖象如圖，則f()_.答案解析由題中圖象可知，此正切函數(shù)的半周期等于，即最小正周期為，所以2.由題意可知，圖象過定點(diǎn)(，0)，所以0Atan(2×)，即k(kZ)，所以k(kZ)，又|<，所以.又圖象過定點(diǎn)(0,1)，所以A1.綜上可知，f(x)tan(2x)，故有f()tan(2×)tan .9設(shè)函數(shù)f(x)sin (<<0)，yf(x)圖象的一條對稱軸是直線x.(1)求；(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)增區(qū)間解(1)令2×k，kZ，k，kZ，又<<0，則.(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.10設(shè)函數(shù)f(x)sin()2cos21.(1)求f(x)的最小正周期(2)若函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，求當(dāng)x0，時，yg(x)的最大值解(1)f(x)sin cos cos sin cos sin cos sin()，故f(x)的最小正周期為T8.(2)方法一在yg(x)的圖象上任取一點(diǎn)(x，g(x)，它關(guān)于x1的對稱點(diǎn)(2x，g(x)由題設(shè)條件，知點(diǎn)(2x，g(x)在yf(x)的圖象上，從而g(x)f(2x)sin(2x)sincos()當(dāng)0x時，因此yg(x)在區(qū)間0，上的最大值為g(x)maxcos .方法二區(qū)間0，關(guān)于x1的對稱區(qū)間為，2，且yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，故yg(x)在0，上的最大值為yf(x)在，2上的最大值由(1)知f(x)sin()，當(dāng)x2時，.因此yg(x)在0，上的最大值為g(x)maxsin .B組專項(xiàng)能力提升(時間：20分鐘)1函數(shù)ysin(x)(>0且|<)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到1，那么此函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_答案解析函數(shù)ysin(x)的最大值為1，最小值為1，由該函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，且函數(shù)值從1減小到1，可知為半周期，則周期為，2，此時原函數(shù)式為ysin(2x)，又由函數(shù)ysin(x)的圖象過點(diǎn)(，1)，且|<.代入可得，因此函數(shù)為ysin(2x)，令x0，可得y.2已知函數(shù)f(x)2msin xncos x，直線x是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，則_.答案解析由x是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸易得f(0)f()，n2msinncos ，nm，mn，.3函數(shù)ytan(2x)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是_.答案(，0)(kZ)解析由2xk(kZ)得，x(kZ)函數(shù)ytan(2x)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是(，0)(kZ)4給出下列命題：函數(shù)f(x)4cos(2x)的一個對稱中心為(，0)；已知函數(shù)f(x)minsin x，cos x，則f(x)的值域?yàn)?，；若、均為第一象限角，且>，則sin >sin .其中所有真命題的序號是_答案解析對于，令x，則2x，有f()0，因此(，0)為f(x)的一個對稱中心，為真命題；對于，結(jié)合圖象知f(x)的值域?yàn)?，為真命題；對于，令390°，60°，有390°>60°，但sin 390°<sin 60°，故為假命題，所以真命題為.5已知a>0，函數(shù)f(x)2asin2ab，當(dāng)x時，5f(x)1.(1)求常數(shù)a，b的值；(2)設(shè)g(x)f且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)>0，得g(x)>1，4sin1>1，sin>，2k<2x<2k，kZ，其中當(dāng)2k<2x2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞增，即k<xk，kZ，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.又當(dāng)2k<2x<2k，kZ時，g(x)單調(diào)遞減，即k<x<k，kZ.g(x)的單調(diào)減區(qū)間為，kZ.