2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四第二講 數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列求和教案 理類型一 數(shù)列的通項(xiàng)問題1累加法求通項(xiàng)：形如an1anf(n)2累乘法求通項(xiàng)：形如f(n)3構(gòu)造法：形如：an1panq.4已知Sn求an，即an例1(xx年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為Tn，滿足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解析(1)當(dāng)n1時(shí)，T12S112.因?yàn)門1S1a1，所以a12a11，解得a11.(2)當(dāng)n2時(shí)，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1，所以Sn2Sn12n1，所以Sn12Sn2n1，得an12an2.所以an122(an2)，即2(n2)當(dāng)n1時(shí)，a123，a226，則2，所以當(dāng)n1時(shí)也滿足上式所以an2是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an23·2n1，所以an3·2n12.跟蹤訓(xùn)練數(shù)列an中，a11，對(duì)所有的n2，都有a1·a2·a3··ann2，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_解析：由題意，當(dāng)n2時(shí)，a1·a2·a3··ann2，故當(dāng)n2時(shí)，有a1·a2224，又因?yàn)閍11，所以a24.故當(dāng)n3時(shí)，有a1·a2·a3··an1(n1)2，由，得an.而當(dāng)n1時(shí)，a11，不滿足上式，n2時(shí)，滿足上式所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an答案：類型二 數(shù)列求和數(shù)列求和的方法技巧(1)轉(zhuǎn)化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并；(2)錯(cuò)位相減法這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列；(3)裂項(xiàng)相消法利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和例2(xx年高考浙江卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n2n，nN*，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和Tn.解析(1) 由Sn2n2n，得當(dāng)n1時(shí)，a1S13；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14n1.所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)·2n1，nN*，所以Tn37×211×22(4n1)·2n1，2Tn3×27×22(4n5)·2n1(4n1)·2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.跟蹤訓(xùn)練(xx年高考課標(biāo)全國(guó)卷)數(shù)列an滿足an1(1)nan2n1，則an的前60項(xiàng)和為()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：利用數(shù)列的遞推式的意義結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案：D類型三 數(shù)列的綜合應(yīng)用1數(shù)列的綜合應(yīng)用多涉及函數(shù)、不等式、解析幾何等知識(shí)2數(shù)列的單調(diào)性的判斷方法：(1)作差：an1an與0的關(guān)系；(2)作商：與1的關(guān)系例3(xx年高考廣東卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差數(shù)列(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有<.解析(1)a1，a25，a3成等差數(shù)列，2(a25)a1a3.又2Snan12n11，2S1a2221，2S2a3231，2a1a23，2(a1a2)a37.由得a11.(2)2Snan12n11，當(dāng)n2時(shí)，2Sn1an2n1.得2anan1an2n12n，an13an2n.兩邊同除以2n1得·，1(1)又由(1)知1(1)，數(shù)列1是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，1·()n1()n，an3n2n，即數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2n.(3)證明：an3n2n(12)n2nC·1n·20C·1n1·21C·1n2·22C·10·2n2n12n2(n2n)2n2n>12n2(n2n)12n2>2n2>2n(n1)，<·，<11(1)1(1)<，即<.跟蹤訓(xùn)練(xx年北京東城模擬)已知數(shù)列an滿足a1，(n2，nN)(1)試判斷數(shù)列(1)n是否為等比數(shù)列，并說明理由；(2)設(shè)cnansin ，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn.求證：對(duì)任意的nN*，Tn<.解析：(1)由an得(1)n，所以(1)n2·(1)n2(1)n1又130，故數(shù)列(1)n是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列(2)證明：由(1)得(1)n3·(2)n1.所以3·(2)n1(1)n，an，所以cnansin (1)n1<.所以Tn<1()n<.析典題（預(yù)測(cè)高考）高考真題【真題】(xx年高考湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年的相同公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元(1)用d表示a1，a2，并寫出an1與an的關(guān)系式；(2)若公司希望經(jīng)過m(m3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)【解析】(1)由題意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1d(an2d)d()2an2dd()n1a1d1()2()n2整理得an()n1(3 000d)2d()n11()n1(3 0003d)2d.由題意，知am4 000，即()m1(3 0003d)2d4 000，解得d.即該企業(yè)每年上繳資金d的值為時(shí)，經(jīng)過m(m3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元【名師點(diǎn)睛】本題考查利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法，考查綜合利用數(shù)列知識(shí)分析解決實(shí)際問題的能力，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是求出遞推關(guān)系an1and，并變形求an.考情展望高考對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)與求和的考查多以解答題形式出現(xiàn)，主要考查an與Sn的關(guān)系，以及錯(cuò)位相減求和、裂項(xiàng)求和及分組轉(zhuǎn)化求和，難度中檔偏上名師押題【押題】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)不等式組(nN*)表示的平面區(qū)域?yàn)镈n，記Dn內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn12bnan，b113.求證：數(shù)列bn6n9是等比數(shù)列，并求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式【解析】(1)由得0<x3，所以平面區(qū)域?yàn)镈n內(nèi)的整點(diǎn)為點(diǎn)(3，0)或在直線x1和x2上直線y2n(x3)與直線x1和x2交點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為y14n和y22n，Dn內(nèi)在直線x1和x2上的整點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為4n1和2n1，an4n12n116n3.(2)由bn12bnan得bn12bn6n3，bn16(n1)92(bn6n9)，b16×192，bn6n9是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，bn6n92n，bn2n6n9.