2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式及推理與證明 專題研究2 數(shù)學(xué)歸納法練習(xí) 理1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于()A1B2C3 D0答案C解析邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形2(2017·山東德州一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n22n31，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊的式子為()A1 B12C1222 D122223答案D解析當(dāng)n1時(shí)，左邊122223.故選D.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1>(nN*)成立，其初始值至少應(yīng)取()A7 B8C9 D10答案B解析1>，整理得2n>128，解得n>7.初始值至少應(yīng)取8.4設(shè)f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.答案D5用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除時(shí)，當(dāng)nk1時(shí)，對(duì)于34(k1)152(k1)1可變形為()A56·34k125(34k152k1)B34·34k152·52kC34k152k1D25(34k152k1)答案A解析因?yàn)橐褂脷w納假設(shè)，必須將34(k1)152(k1)1分解為歸納假設(shè)和能被8整除的兩部分所以應(yīng)變形為56·34k125(34k152k1)6若數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，記cn2(1a1)(1a2)(1an)，試通過(guò)計(jì)算c1，c2，c3的值，推測(cè)cn_答案解析c12(1a1)2×(1)，c22(1a1)(1a2)2×(1)×(1)，c32(1a1)(1a2)(1a3)2×(1)×(1)×(1)，故由歸納推理得cn.7設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的自然數(shù)n都有：(Sn1)2anSn.(1)求S1，S2，S3；(2)猜想Sn的表達(dá)式并證明答案(1)S1，S2，S3 (2)Sn，證明略解析(1)由(S11)2S12，得S1；由(S21)2(S2S1)S2，得S2；由(S31)2(S3S2)S3，得S3.(2)猜想：Sn.證明：當(dāng)n1時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)nk(k1且kN*)時(shí)，Sk成立則當(dāng)nk1時(shí)，由(Sk11)2ak1Sk1，得Sk1.從而nk1時(shí)，猜想也成立綜合得結(jié)論成立8已知函數(shù)f(x)xsinx，數(shù)列an滿足：0<a1<1，an1f(an)，n1，2，3，證明：0<an1<an<1.答案略解析先用數(shù)學(xué)歸納法證明0<an<1，n1，2，3，.當(dāng)n1時(shí)，由已知，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即0<ak<1.因?yàn)?<x<1時(shí)，f(x)1cosx>0，所以f(x)在(0，1)上是增函數(shù)又f(x)在0，1上連續(xù)，從而f(0)<f(ak)<f(1)，即0<ak1<1sin1<1.故當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由可知，0<an<1對(duì)一切正整數(shù)都成立又因?yàn)?<an<1時(shí)，an1anansinanansinan<0，所以an1<an.綜上所述0<an1<an<1.9(2018·保定模擬)已知f(x)xx2，設(shè)0a1，an1f(an)，nN，證明：an.答案略證明(1)當(dāng)n1時(shí)，0a1，不等式an成立；因a2f(a1)(a1)2<，故n2時(shí)不等式也成立(2)假設(shè)nk(k2)時(shí)，不等式ak成立，因?yàn)閒(x)xx2的對(duì)稱軸為x，知f(x) 在(，上為增函數(shù)，所以由ak，得f(ak)f()于是有ak1·.所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)任何nN，不等式an成立10已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a01，an1an·(4an)，(nN)證明：an<an1<2，(nN)答案略證明方法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n0時(shí)，a01，a1a0(4a0)，所以a0<a1<2，命題正確(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即ak1<ak<2.則當(dāng)nk1時(shí)，akak1ak1(4ak1)ak(4ak)2(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(ak1ak)(4ak1ak)而ak1ak<0，4ak1ak>0，所以akak1<0.又ak1ak(4ak)4(ak2)2<2.所以nk1時(shí)命題成立由(1)(2)可知，對(duì)一切nN時(shí)有an<an1<2.方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n0時(shí)，a01，a1a0(4a0)，所以0<a0<a1<2.(2)假設(shè)nk時(shí)有ak1<ak<2成立，令f(x)x(4x)，f(x)在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有f(ak1)<f(ak)<f(2)即ak1(4ak1)<ak(4ak)<×2×(42)也即當(dāng)nk1時(shí)，ak<ak1<2成立所以對(duì)一切nN，有ak<ak1<2.11在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列(nN*)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè)an，bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；(2)證明：<.答案(1)a26，a312，a420，b29，b316，b425，ann(n1)，bn(n1)2，證明略 (2)略解析(1)由條件得2bnanan1，an12bnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜測(cè)ann(n1)，bn(n1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即akk(k1)，bk(k1)2.那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立(2)<.當(dāng)n2時(shí)，由(1)知anbn(n1)(2n1)>2(n1)·n.故<()()()<.1用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由nk推導(dǎo)nk1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是_答案解析不等式的左邊增加的式子是，故填.2用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的nN*，.答案略解析(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*且k1)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)，所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立由(1)(2)可知，對(duì)一切nN*等式都成立3(2017·湖北宜昌一中模擬)已知函數(shù)f(x)x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，an1f(an1)試比較與1的大小，并說(shuō)明理由答案<1解析f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，于是由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而得a3(a21)21241231.由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：當(dāng)n1時(shí)，a12111，結(jié)論成立；假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)結(jié)論成立，即ak2k1，則當(dāng)nk1時(shí)，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增知，ak1(ak1)2122k12k11，即nk1時(shí)，結(jié)論也成立由、知，對(duì)任意nN*，都有an2n1.即1an2n，.1()n1.