2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 壓軸專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題練習(xí) 文A組小題提速練一、選擇題1曲線yex在點(diǎn)A處的切線與直線xy30垂直，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為()A(1，e1)B(0,1)C(1，e) D(0,2)解析：與直線xy30垂直的直線的斜率為1，所以切線的斜率為1，因?yàn)閥ex，所以由yex1，解得x0，此時(shí)ye01，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，選B.答案：B2已知函數(shù)f(x)x22cos x，若f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f(x)在原點(diǎn)附近的圖象大致是()解析：因?yàn)閒(x)2x2sin x，f(x)22cos x0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故選A.答案：A3曲線f(x)xln x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的傾斜角為()A. B.C. D.解析：因?yàn)閒(x)xln x，所以f(x)ln x1，所以f(1)1，所以曲線f(x)xln x在點(diǎn)(1，f(1)處的切線的傾斜角為.答案：B4如圖是f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象，則f(x)的極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：由題意知在x1處f(1)0，且其左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)為左負(fù)右正答案：A5當(dāng)函數(shù)yx·2x取極小值時(shí)，x()A. BCln 2 Dln 2解析：令y2xx·2xln 20，x.答案：B6函數(shù)f(x)x2ln x的最小值為()A. B1C0 D不存在解析：f(x)x，且x>0.令f(x)>0，得x>1；令f(x)<0，得0<x<1.f(x)在x1處取得極小值也是最小值，且f(1)ln 1.答案：A7函數(shù)f(x)x的極值情況是()A當(dāng)x1時(shí)，取極大值2，但無(wú)極大值B當(dāng)x1時(shí)，取極大值2，但無(wú)極小值C當(dāng)x1時(shí)，取極小值2；當(dāng)x1時(shí)，取極大值2D當(dāng)x1時(shí)，取極大值2；當(dāng)x1時(shí)，取極小值2解析：f(x)1，令f(x)0，得x±1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1)和(1，)上單調(diào)遞增，在(1,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1時(shí)，取極大值2，當(dāng)x1時(shí)，取極小值2.答案：D8若直線yax是曲線y2ln x1的一條切線，則實(shí)數(shù)a的值為()解析：依題意，設(shè)直線yax與曲線y2ln x1的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，則有y|xx0，于是有答案：B9已知函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值為()A1 B2C0 D.解析：函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，1，得a2.又g(x)2x，依題意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.答案：B10若函數(shù)f(x)x(bR)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，則f(x)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A(2,0) B(0,1)C(1，) D(，2)解析：由題意知，f(x)1，函數(shù)f(x)x(bR)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)，令10，得bx2，又x(1,2)，b(1,4)令f(x)>0，解得x<或x>，即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，(，)b(1,4)，(，2)符合題意答案：D11(2017·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)(a>0)在1，)上的最大值為，則a的值為()A.1 B.C. D.1解析：由f(x)得f(x)，當(dāng)a>1時(shí)，若x>，則f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，若1<x<，則f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)有最大值，得a<1，不合題意；當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)遞減，最大值為f(1)，不合題意；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)遞減，此時(shí)最大值為f(1)，得a1，符合題意，故a的值為1，選A.答案：A12已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若x2f(x)xf(x)sin x(x(0,6)，f()2，則下列結(jié)論正確的是()Axf(x)在(0,6)上單調(diào)遞減Bxf(x)在(0,6)上單調(diào)遞增Cxf(x)在(0,6)上有極小值2Dxf(x)在(0,6)上有極大值2解析：因?yàn)閤2f(x)xf(x)sin x，x(0,6)，所以xf(x)f(x)，設(shè)g(x)xf(x)，x(0,6)，則g(x)f(x)xf(x)，由g(x)>0得0<x<，g(x)<0得<x<6，所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)g(x)xf(x)取得極大值g()f()2.答案：D二、填空題13曲線yx2在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為_解析：y2x，y|x11，即曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率k1，切線方程為y2x1，即xy10.答案：xy1014設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)x2，則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為_解析：因?yàn)閒(x)x(ex1)x2，所以f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)>0，即(ex1)·(x1)>0，解得x(，1)或x(0，)所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)15函數(shù)f(x)x33x26在x_時(shí)取得極小值解析：依題意得f(x)3x(x2)當(dāng)x<0或x>2時(shí)，f(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，f(x)<0.因此，函數(shù)f(x)在x2時(shí)取得極小值答案：216已知函數(shù)f(x)x22axln x，若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_解析：由題意知f(x)x2a0在區(qū)間上恒成立，即2ax在區(qū)間上恒成立又yx在區(qū)間上單調(diào)遞減，max，2a，即a.答案：B組大題規(guī)范練1已知函數(shù)f(x)(ax1)ln x.(1)若a2，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線l的方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，其中x1(0，e，求g(x1)g(x2)的最小值解析：(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln xx2，f(1)2，f(1)，切線l的方程為y2(x1)，即4x2y30.(2)函數(shù)g(x)aln xxa，定義域?yàn)?0，)，g(x)1，令g(x)0，得x2ax10，其兩根為x1，x2，且x1x2a，x1x21，故x2，a.g(x1)g(x2)g(x1)galn x1x1a22aln x122ln x1，令h(x)22ln x，x(0，e則g(x1)g(x2)minh(x)min，h(x)，當(dāng)x(0,1時(shí)，h(x)0，當(dāng)x(1，e時(shí)，h(x)<0，即當(dāng)x(0，e時(shí)，h(x)單調(diào)遞減，h(x)minh(e)，故g(x1)g(x2)min.2已知函數(shù)f(x)ax3bx在x處取得極小值.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若過(guò)點(diǎn)M(1，m)的直線與曲線yf(x)相切且這樣的切線有三條，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解析：(1)由題意得，f(x)3ax2b.函數(shù)f(x)ax3bx在x處取得極小值，即解得則函數(shù)f(x)的解析式為f(x)2x33x.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,2x3x0)，則曲線yf(x)的切線的斜率kf(x0)6x3，切線方程為y(2x3x0)(6x3)(xx0)，代入點(diǎn)M(1，m)，得m4x6x3，依題意，方程m4x6x3有三個(gè)不同的實(shí)根令g(x)4x36x23，則g(x)12x212x12x(x1)，當(dāng)x(，0)時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)<0.故g(x)4x36x23在(，0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減g(x)極小值g(0)3，g(x)極大值g(1)1.當(dāng)3<m<1時(shí)，g(x)4x36x23的圖象與直線ym有三個(gè)不同的交點(diǎn)，3<m<1時(shí)，存在這樣的三條切線故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3，1)3已知函數(shù)f(x)ln x(1a)x2x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a<1時(shí)，證明：對(duì)任意的x(0，)，有f(x)<(1a)x2a1.解析：(1)由題知f(x)(x>0)，當(dāng)a1時(shí)，由f(x)0得2(1a)x2x10且98a，x1，x2，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(0，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)<a<1時(shí)，f(x)在(0，x2)和(x1，)上單調(diào)遞增，在(x2，x1)上單調(diào)遞減(2)證明：當(dāng)a<1時(shí)，要證f(x)<(1a)x2a1在(0，)上恒成立，只需證ln xx<a1在(0，)上恒成立，令F(x)ln xx，g(x)a1，因?yàn)镕(x)1，易得F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，故F(x)F(1)1，由g(x)a1得g(x)(x>0)當(dāng)0<x<e時(shí)，g(x)<0；當(dāng)x>e時(shí)，g(x)>0.所以g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增所以g(x)g(e)1a.又a<1，所以1a>>1，即F(x)max<g(x)min，所以ln xx<a1在(0，)上恒成立，故當(dāng)a<1時(shí)，對(duì)任意的x(0，)，f(x)<(1a)x2a1恒成立4設(shè)函數(shù)f(x).(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程；(2)當(dāng)x1時(shí)，不等式f(x)恒成立，求a的取值范圍解析：(1)由題意可得，f(e)，f(x)，所以f(e)，所以曲線yf(x)在點(diǎn)(e，f(e)處的切線方程為y(xe)，即xe2y3e0.(2)由題意可得，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0恒成立，令g(x)ln xa(x21)(x1)，則g(x)2ax，當(dāng)a0時(shí)，g(x)>0，所以函數(shù)yg(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以g(x)g(1)0，所以不等式f(x)成立，即a0符合題意當(dāng)a>0時(shí)，令2ax0，解得x，令1，解得a.當(dāng)0<a<時(shí)， >1，所以在上g(x)>0，在上g(x)<0，所以函數(shù)yg(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，glnaln aa，令h(a)ln aa，則h(a)1>0恒成立，又0<a<，所以h(a)<hln2ln 2<0，所以存在g<0，所以0<a<不符合題意；當(dāng)a時(shí)， 1，g(x)0在1，)上恒成立，所以函數(shù)yg(x)在1，)上單調(diào)遞減，所以g(x)g(1)0，顯然a不符合題意綜上所述，a的取值范圍為a|a0