3.2.2復數代數形式的乘除運算學習目標1.掌握復數代數形式的乘法和除法運算.2.理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律.3.理解共軛復數的概念知識點一復數的乘法及其運算律思考怎樣進行復數的乘法運算？答案兩個復數相乘，類似于兩個多項式相乘，只要把已得結果中的i2換成1，并且把實部與虛部分別合并即可梳理(1)復數的乘法法則設z1abi，z2cdi是任意兩個復數，那么它們的積(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)復數乘法的運算律對于任意z1，z2，z3C，有交換律z1z2z2z1結合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3知識點二共軛復數當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數，z的共軛復數用表示即zabi，則abi.知識點三復數的除法法則思考類比根式除法的分母有理化，比如，你能寫出復數的除法法則嗎？答案設z1abi，z2cdi(cdi0)，則i.1復數加減乘除的混合運算法則是先乘除，再加減()2兩個共軛復數的和與積是實數()3若z1，z2C，且zz0，則z1z20.(×)類型一復數代數形式的乘除運算例1計算：(1)(1i)；(2)；(3).考點復數的乘除法運算法則題點乘除法的運算法則解(1)(1i)(1i)(1i)ii.(2)i.(3)1i.反思與感悟(1)按照復數的乘法法則，三個或三個以上的復數相乘可按從左到右的順序運算或利用結合律運算，混合運算和實數的運算順序一致，在計算時，若符合乘法公式，則可直接運用公式計算(2)根據復數的除法法則，通過分子、分母都乘以分母的共軛復數，使“分母實數化”，這個過程與“分母有理化”類似跟蹤訓練1計算：(1)(4i)(62i)(7i)(43i)；(2)；(3).考點復數的乘除法運算法則題點乘除法的運算法則解(1)(4i)(62i)(7i)(43i)(248i6i2)(2821i4i3)(262i)(3117i)515i.(2)ii0.(3)1i.類型二i的運算性質例2計算：(1)2 016；(2)ii2i2 017.考點虛數單位i及其性質題點虛數單位i的運算性質解(1)原式1 008i(1i)(i)1 008ii2(1)1 008·i1 008i1i4×252i11i.(2)方法一原式i.方法二因為inin1in2in3in(1ii2i3)0(nN*)，所以原式(ii2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 013i2 014i2 015i2 016)i2 017i2 017(i4)504·i1504·ii.反思與感悟(1)等差、等比數列的求和公式在復數集C中仍適用，i的周期性要記熟，即inin1in2in30(nN*)(2)記住以下結果，可提高運算速度(1i)22i，(1i)22i；i，i；i.跟蹤訓練2(1)2 017_.考點虛數單位i及其性質題點虛數單位i的運算性質答案i解析2 0172 0172 017i2 017(i4)504·i1504·ii.(2)化簡i2i23i3100i100.考點虛數單位i及其性質題點虛數單位i的運算性質解設Si2i23i3100i100，所以iSi22i399i100100i101，得(1i)Sii2i3i100100i101100i1010100i100i.所以S5050i.所以i2i23i3100i1005050i.類型三共軛復數及其應用例3把復數z的共軛復數記作，已知(12i)43i，求z.考點共軛復數的定義與應用題點利用定義求共軛復數解設zabi(a，bR)，則abi，由已知得(12i)(abi)(a2b)(2ab)i43i，由復數相等的定義知，得a2，b1，所以z2i.引申探究例3條件改為(z2)43i，求z.解設zxyi(x，yR)則xyi，由題意知，(xyi)(xyi2)43i.得解得或所以zi或zi.反思與感悟當已知條件出現復數等式時，常設出復數的代數形式，利用復數相等的充要條件轉化為實數問題求解跟蹤訓練3已知復數z滿足|z|1，且(34i)z是純虛數，求z的共軛復數.考點共軛復數的定義與應用題點利用定義求共軛復數解設zabi(a，bR)，則|z|1，即a2b21.因為(34i)z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i是純虛數，所以3a4b0，且3b4a0.由聯立，解得或所以i或i.1設復數z滿足iz1，其中i為虛數單位，則z等于()Ai BiC1 D1考點復數的乘除法運算法則題點利用乘除法求復數中的未知數答案A解析zi.2若z43i(i為虛數單位)，則等于()A1 B1C.i D.i考點復數的乘除法運算法則題點乘除法的運算法則答案D解析z43i，|z|5，i.3已知1i(i為虛數單位)，則復數z等于()A1i B1iC1i D1i考點復數四則運算的綜合應用題點復數的混合運算答案D解析因為1i，所以z1i.4設i是虛數單位，是復數z的共軛復數，若z，則_.考點共軛復數的定義與應用題點利用定義求共軛復數答案1i解析z1i，所以1i.5已知復數z滿足：z·2zi86i，求復數z的實部與虛部的和考點共軛復數的定義與應用題點與共軛復數有關系的綜合問題解設zabi(a，bR)，則z·a2b2，a2b22i(abi)86i，即a2b22b2ai86i，解得ab4，復數z的實部與虛部的和是4.1復數代數形式的乘除運算(1)復數代數形式的乘法類似于多項式乘以多項式，復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律(2)在進行復數代數形式的除法運算時，通常先將除法寫成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共軛復數，化簡后可得，類似于以前學習的分母有理化2共軛復數的性質可以用來解決一些復數問題3復數問題實數化思想復數問題實數化是解決復數問題的基本思想方法，其橋梁是設復數zabi(a，bR)，利用復數相等的充要條件轉化.一、選擇題1i為虛數單位，等于()A0 B2iC2i D4i考點虛數單位i及其性質題點虛數單位i的運算性質答案A解析i，i，i，i，0.2復數(1i)2(23i)的值為()A64i B64iC64i D64i考點復數的乘除法運算法則題點乘除法的運算法則答案D解析(1i)2(23i)2i(23i)64i.3已知復數z滿足(z1)i1i，則z等于()A2i B2iC2i D2i考點復數的乘除法運算法則題點利用乘除法求復數中的未知數答案C解析由(z1)i1i，兩邊同乘以i，則有z11i，所以z2i.4已知復數z13bi，z212i，若是實數，則實數b等于()A6 B6C0 D.考點復數的乘除法運算法則題點利用乘除法求復數中的未知數答案A解析是實數，6b0，實數b的值為6，故選A.5已知i為虛數單位，圖中復平面內的點A表示復數z，則表示復數的點是()AM BNCP DQ考點復數的乘除法運算法則題點運算結果與點的對應關系答案D解析由圖可知z3i，所以復數2i表示的點是Q(2，1)故選D.6設復數z滿足i，則|z|等于()A1 B.C. D2考點復數的乘除法運算法則題點利用乘除法求復數中的未知數答案A解析由i，得zi，|z|i|1.7若z6，z·10，則z等于()A1±3i B3±iC3i D3i考點共軛復數的定義與應用題點與共軛復數有關的綜合問題答案B解析設zabi(a，bR)，則abi，所以解得則z3±i.8計算的值是()A0 B1C2i Di考點復數四則運算的綜合應用題點復數的混合運算答案C解析原式iii2i.二、填空題9已知a，bR，i是虛數單位，若(1i)(1bi)a，則的值為_考點復數的乘除法運算法則題點利用乘除法求復數中的未知數答案2解析因為(1i)(1bi)1b(1b)ia，又a，bR，所以1ba且1b0，得a2，b1，所以2.10若復數z滿足(34i)z43i(i是虛數單位)，則|z|_.考點復數的乘除法運算法則題點利用乘除法求復數中的未知數答案1解析因為(34i)z43i，所以zi.則|z|1.11定義一種運算：adbc.則復數的共軛復數是_考點共軛復數的定義與應用題點利用定義求共軛復數答案13i解析3i(1i)213i，其共軛復數為13i.三、解答題12已知z，為復數，(13i)z為純虛數，且|5，求.考點復數的乘除法運算法則題點乘除法的綜合應用解設zabi(a，bR)，則(13i)za3b(3ab)i.由題意得a3b0,3ab.因為|5，所以|z|5，將a3b代入，解得a15，b5或a15，b5，故±±(7i)13已知復數z1i.(1)設z234，求；(2)若1i，求實數a，b的值考點復數四則運算的綜合應用題點與混合運算有關的未知數求解解(1)因為z1i，所以z234(1i)23(1i)41i.(2)因為z1i，所以1i，即1i，所以(ab)(a2)i(1i)i1i，所以解得四、探究與拓展14投擲兩顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n，則復數(mni)(nmi)為實數的概率為_考點復數的乘除法運算法則題點乘除法的綜合應用答案解析易知(mni)(nmi)mnm2in2imn2mn(n2m2)i.若復數(mni)(nmi)為實數，則m2n2，即(m，n)共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，6種情況，所以所求概率為.15設z是虛數，z是實數，且1<<2.(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍；(2)設，求證：為純虛數考點復數四則運算的綜合應用題點與四則運算有關的問題(1)解因為z是虛數，所以可設zxyi(x，yR，且y0)，則z(xyi)xyii.因為是實數，且y0，所以y0，即x2y21.所以|z|1，此時2x.又1<<2，所以1<2x<2.所以<x<1，即z的實部的取值范圍是.(2)證明.又x2y21，所以i.因為y0，所以為純虛數14