《高等數(shù)學：第七章 重積分4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學：第七章 重積分4（57頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1.重積分的幾何應(yīng)用2.重積分的物理應(yīng)用(1).計算體積計算體積空間區(qū)域的體積。niiVdV10lim曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積為 DdyxfV ),(計算由曲面計算由曲面 2241yxz 解一解一用二重積分用二重積分與與 xoy 面所圍成的立體的體積面所圍成的立體的體積14:22 yxD DdxdyyxV)41 (22由對稱性得由對稱性得例例1 122104102222)41 (4)41 (4DxdyyxdxdxdyyxV 2042102324cos2138)41 (38 tdtdxx解二解二用三重積分用三重積分 14dvdvV 21041041022244xyxdzdydx 計算由曲面

2、計算由曲面 2241yxz 與與 xoy 面所圍成的立體的體積面所圍成的立體的體積例例1.4)1 (2dz-14z-1d1010141022dzzzdxdyzVzyx投影法投影法截面法截面法所圍成的立體的體積所圍成的立體的體積2222,2yxzyxz 求求解一解一 DDdyxdyxVVV )()2(222212 Ddyx )1(222（用極坐標）（用極坐標） 20102)1 (2rdrrd解二解二 是柱形區(qū)域是柱形區(qū)域,用柱坐標用柱坐標 2010222rrrdzdrd 102)22(2 drrr例例222222221dyxyxyxzdxdydVV(2)計算面積計算面積平面圖形面積平面圖形面積的

3、面積平面區(qū)域DDd例例1 1. 求由拋物線y=(x2)2+1, 直線y=2x所圍圖形的面積.解：解：y=(x2)2+1y=2x(1, 2), (5, 10)DAdxxyx21)2(512dd5125)d(6xxx332y=2xy=(x2)2+11001 2525dSzndddSnMzxy0DxySSnddSM. 空間曲面空間曲面z=z(x,y),(x,y) D的面積的面積(1): z=z(x, y), 投影區(qū)域Dxy且 z(x, y)C 1(Dxy).思考思考問問題題.|cos| ,|cos|ddSS即).1 ,(),(),(yxzznyxyxzz點的法向量在曲面.11cos22yxzzdSz

4、nddxdyzzdzzSyxyx222211d.|cos| ,|cos|ddSS即. 空間曲面空間曲面z=z(x,y),(x,y) D的面積的面積SSd(1): z=z(x, y), 投影區(qū)域Dxy且 z(x, y)C 1(Dxy).dxdyzzSyx221ddxdyzzSxyDyx221Dxyxyz0(2): x=x(y, z), 投影區(qū)域DyzzyxxSyzDzydd122(3): y=y(x, z), 投影區(qū)域DxzzxyySxzDzxdd122球面的面積A為上半球面面積的兩倍 解 例1 求半徑為R的球的表面積 222yxRxxz 222yxRxxz 222yxRyyz dxdyyxRR

5、Ryx2222222 200222RRddR20224 4RRRRdxdyyxRRRyx2222222 200222RRddR 20224 4RRRR 球心在原點的上半球面的方程為222yxRz 而 dxdyyzxzSRyx22222)()(12例例2 2：求球面x2+y2+z2=a2含在圓柱面x2+y2=ax(a0)內(nèi)部的那部分面積.yzx解：解：A=4A1 :222yxazDxy: x2+y2ax, y0.zyxDxy22222)()(1yxaayzxzyxyxaaAxyDdd2221dd*22rrraaDcos02220ddarrara,222yxaxxz,222yxayyzzyxDxy

6、222yxazDxy: x2+y2ax, y0.cos022201ddarraraA20cos022daraa202d)sin1 (a) 12(2a A=4A1=2(2)a2計算圓柱面計算圓柱面 222azx 被圓柱面被圓柱面222ayx 解解由對稱性可知由對稱性可知A=8A1 A1 的方程的方程22xaz 22221xaazzyx 122002222Daxadyxaadxdxdyxaa2a 28aA 例例5所截的部分的面積。所截的部分的面積。例例3. 3. 求由拋物線 z=x2 上從 x=1 到 x=2 的一段繞z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的面積.解：解：: z=x2+y2Dxy: 1x2

7、+y242222441)()(1yxyzxzxyDyxyxAdd)( 4122rDrrrdd412z=x2201xyzDxyrDrrrdd412rrr d41d21220)41 (d418122212rr21232)41 (324r)551771 (6Dxy: 1x2+y24 一般地，由曲線 z= (x)(00)內(nèi)部的那部分面積.解解：A=4A1,:2xaxyL0 xaLsyxaAd2221zyxLxxaxaaxaad2202axxaa0d22a24aA xxyxyxaad)(1)(20222zyxLLsyxaAd2221求體積的例子求體積的例子vVd例例5.5. 求由旋轉(zhuǎn)拋物面y=x2+z2

8、拋物柱面yx21及平面 y=1所圍立體體積.解解：V=2V1yxz012zyxyx21x10zy2zyx1d1vV20dddxyDzyxDyxxydd2x10zy2zyxyx21xxyyyydd21210)433(41)433(21V.21, 10:yxyyD 例例6.6. 求圓柱體x2+y2ax(a0)被球面x2+y2+z2=a2截得的含在球面內(nèi)的立體的體積.解解：V=4V11d1vV2220dddyxaDzyxyzxzyxD).0( ,:22aaxyxDDyxyxadd222rrraaddcos022202033)dsin(131azyxD)322(313a).322(34431aVV).

9、0( ,:22aaxyxD1d1vV2220dddyxaDzyx例例7.7. 計算由橢圓拋物面z=x2+2y2及拋物面z=2x2所圍立體體積.解：解： z=x2+2y2 z=2x2 x2+y2=1D: x2+y21vVd22222dddxyxDzyxDyxyxxd)d2()(2222DxyzDyxyxd)d1 (22210220d)1 (d2rrr.4241042rrD: x2+y21Dyxyxxd)d2()(2222Dxyz2.重積分的物理應(yīng)用重積分的物理應(yīng)用-(1)計算質(zhì)量計算質(zhì)量 幾何形體 的質(zhì)量分布密度為 (X), X則 d M= (X)d 故d)(XM平面薄板 D, 質(zhì)量面密度(x,

10、 y)，則其在D上的質(zhì)量為：d ),(DyxM空間物體 ：質(zhì)量體密度 (x, y, z)dVzyxM),(曲線型物體 L( ) ：質(zhì)量線密度 (x, y) ( (x, y, z)syxMLd ),()d ),(szyxM曲面型物體 ：質(zhì)量面密度 (x, y, z)SzyxMd ),(例例9.9. 設(shè)球面x2+y2+z2=2及錐面22yxz圍成立體，其質(zhì)量體密度與立體中的點到球心的距離之平方成正比，且在球面上等于1. 試求該立體的質(zhì)量.解：解：體密度為 (x, y, z)=k (x2+y2+z2)(x, y, z)由12222zyx得21kzyxa4所以所以VzyxMd ),(Vzyxd )(2

11、1222rrrdsindd2120224020) 12(54 (x, y, z)=(x2+y2+z2)/2zyxa4例例10.10. 一個圓柱面x2+y2=R2介于平面 z=0， z=H之間，其質(zhì)量面密度等于柱面上的點到原點的距離之平方的倒數(shù)，求其質(zhì)量.解解1 1.2221),(zyxzyx(x, y, z)222dzyxSM則 = 1+ 221xyRRzH且21令1：2：,22xRy,22xRy(y0)(y0)而 Dxy=(x, y)|RxR, 0 z H在1上，,22xRy22221xRRyyzx故21xyRRzH1222dzyxS從而zxxRRzxRxxzDdd)(1222222在2上，

12、,22xRy12有所以RHzyxSarctan2d222zxxRRzxRxzyxSxzDdd)(1d2222222221RRHxxRzzRRd1d122022RHarctan解解2 2：取柱面坐標 x=rcos, y=rsin , 則柱面方程為r=R, 柱面上面積元素dS=Rddz,22222222sincoszRRzyx22zR 222dzyxSM則zzRRHdd02220RHarctan221xyRRzH設(shè)物體體積為設(shè)物體體積為 : 質(zhì)量體密度質(zhì)量體密度 (x, y, z)，任，任取取P(x,y,z) D,dV（2）力矩與質(zhì)心）力矩與質(zhì)心dVzyxgdVdV),(的質(zhì)量重力加速度所受重力z

13、yxP0r0PgdVrzyxP0r0PgdVrgdVzyxrrLgdVzyxrrdVzyxgPPdVPPPdVrOPzyxP),()(,),()(),(,),(00000000000所以力矩所受重力的距離到的力矩所受重力關(guān)于則記取質(zhì)心質(zhì)心).,(0),()(00000zyxPdVzyxrr的點使得是物體質(zhì)量。其中即dVzyxmmdVzyxzzmdVzyxyymdVzyxxxdVzyxzzdVzyxyydVzyxxx),(),(),(),(, 0),()(, 0),()(, 0),()(000000（2）力矩與質(zhì)心）力矩與質(zhì)心設(shè)平面薄板在Oxy平面占位D，面密度為(x,y)DDDdyxmmdyx

14、yymdyxxx),(,),(,),(00則薄板質(zhì)心為：DDDdSSydySxdx,00心為：若薄板密度均勻，則質(zhì)例例11.11. 求r=2sin和r=4sin所圍均勻薄片 D 的質(zhì)心.解解：因D關(guān)于 y 軸對稱，故, 0 xDySyd1*2ddsin41Drrsin4sin220dsind31rr37 質(zhì)質(zhì)心為)37, 0(xy0例例12.12. 在底圓半徑為 R , 高為 H 的圓柱體上拼加一個半徑為 R 的半球體，要使拼加后的整個立體 的質(zhì)心位球心處，求 R 與 H 的關(guān)系.解：解：由題意選擇坐標系如圖，則則xyRz0H圓柱體：x2+y2 R2, Hz0半球體：x2+y2+z2R2, z

15、0因 關(guān)于 x,y 軸對稱, 故有0 , 0yx而vzVzd1)dsincosddddd(10320200020RHRrrzzrrV)24(1224HRRV其中 V 為 的體積令0z得024224HRR故有.2HR xyRz0H圓柱體：x2+y2 R2, Hz0半球體：x2+y2+z2R2, z0（3）轉(zhuǎn)動慣量）轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)點的質(zhì)量質(zhì)點到平面的距離轉(zhuǎn)動慣量（關(guān)于平面）質(zhì)點的質(zhì)量質(zhì)點到軸的距離轉(zhuǎn)動慣量（關(guān)于軸）22.),()(222dVzyxyxdVzPzdV的質(zhì)量軸的距離到軸的轉(zhuǎn)動慣量物體關(guān)于.),()(22dVzyxyxJzz軸的轉(zhuǎn)動慣量為對則,),(),(dVzyxPzyx及任取，體密度為設(shè)

16、物體體積為.),()(22dVzyxzyJxx軸的轉(zhuǎn)動慣量為對.),()(22dVzyxzxJyy軸的轉(zhuǎn)動慣量為對的轉(zhuǎn)動慣量為對一點),(0000zyxP的轉(zhuǎn)動慣量為，對原點)000(o.),()()()(2020200dVzyxzzyyxxJP.),()(222dVzyxzyxJo.),(2dVzyxzJOxyxy平面的轉(zhuǎn)動慣量為對關(guān)于平面的轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于平面的轉(zhuǎn)動慣量.),(2dVzyxxJOyzyz平面的轉(zhuǎn)動慣量為對.),(2dVzyxyJOzxzx平面的轉(zhuǎn)動慣量為對空間物體對質(zhì)點的引力空間物體對質(zhì)點的引力.),(,),(.),(),(00000dVzyxdmdVdVzyxPmzyxPzy

17、x的質(zhì)量則及任取為的質(zhì)量質(zhì)點，體密度為設(shè)物體體積為.|1 ,)()()(|),(020202000200000rrrzzyyxxrPPrrrdmmkdFzyxPdV的距離，到是其中的引力對rdVzyxrmkrrrdVzyxmkrrdmmkdF),(|),(|3020020空間物體對質(zhì)點的引力空間物體對質(zhì)點的引力).,(),(,)()()(),(),(000202020023zzyyxxzyxrdVzzyyxxzyxrzyxkmF.),(,),(,),(300300300dVzyxrzzkmFdVzyxryykmFdVzyxrxxkmFFzyx的三個分量為：重積分重積分 小結(jié)小結(jié)二重積分在直角坐

18、標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf X型型Y型型（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二重積分在極坐標下的計算公式二重積分在極坐標下的計算公式 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd （在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性）重積分重積分 小結(jié)小結(jié)三重積分三重積分 小結(jié)小結(jié)三重積分的定義和計算三重積分的定

19、義和計算（計算時將三重積分化為三次積分）（計算時將三重積分化為三次積分）在直角坐標系下的體積元素在直角坐標系下的體積元素dxdydzdv 三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標柱面坐標球面坐標球面坐標（1） 柱面坐標的體積元素柱面坐標的體積元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐標的體積元素球面坐標的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 對稱性簡化運算對稱性簡化運算幾何應(yīng)用：曲面的面積幾何應(yīng)用：曲面的面積物理應(yīng)用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、物理應(yīng)用：質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量、對質(zhì)點的引力對質(zhì)點的引力（注意熟悉相關(guān)物理知識）（注意熟悉相關(guān)物理知識）重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用1.平面圖形的面積平面圖形的面積 DdA 2.空間立體的體積空間立體的體積 DdyxfV ),( dvV3.曲面的面積曲面的面積曲面曲面 z=f(x,y)在在 xoy 面的投影區(qū)域為面的投影區(qū)域為D dffADyx 221關(guān)于重積分應(yīng)用關(guān)于重積分應(yīng)用4.質(zhì)量質(zhì)量d 積分域的元素積分域的元素靜力矩靜力矩=質(zhì)點質(zhì)量與質(zhì)點到坐標軸（面）距離的乘積質(zhì)點質(zhì)量與質(zhì)點到坐標軸（面）距離的乘積對各坐標軸（面）靜力矩分別平衡點的坐標對各坐標軸（面）靜力矩分別平衡點的坐標5.重心重心重心重心d)(XMd)(XdM