專題一 三角江蘇卷5年考情分析小題考情分析大題考情分析常考點(diǎn)1.三角化簡(jiǎn)求值(5年3考)2.三角函數(shù)的性質(zhì)(5年3考)3.平面向量的數(shù)量積(5年5考)江蘇高考中，對(duì)三角計(jì)算題的考查始終圍繞著求角、求值問題，以兩角和與差的三角函數(shù)公式的運(yùn)用為主，可見三角恒等變換比三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)更加重要，三角變換的基本解題規(guī)律是：尋找聯(lián)系、消除差異.三角考題的花樣翻新在于條件變化，大致有三類：第一類給出三角函數(shù)值(見2018年三角解答題)，第二類是給出三角形(見2015年、2016年、2019年三角解答題)，第三類是給出向量(見2017年三角解答題).偶考點(diǎn)1.平面向量的概念及線性運(yùn)算2.正弦、余弦定理第一講 | 小題考法三角函數(shù)、解三角形考點(diǎn)(一) 三角化簡(jiǎn)求值主要考查利用三角恒等變換解決化簡(jiǎn)求值或求角問題多涉及兩角和與差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.題組練透1計(jì)算：sin 50°(1tan 10°)_解析：sin 50°(1tan 10°)sin 50°sin 50°×sin 50°×1.答案：12已知，(0，)，且tan()，tan ，則2的值為_解析：tan tan()>0，0<<.又tan 2>0，0<2<，tan(2)1.tan <0，<<，<2<0，2.答案：3(2019·江蘇高考)已知，則sin的值是_解析：由，解得tan 2或.sin(sin 2cos 2)(2sin cos 2cos21)(sin cos cos2)··，將tan 2和分別代入得sin. ， sin coscos sin.又sinsinsincos cossin ，由，解得sin cos，cos sin. sinsinsin coscos sin.答案：方法技巧1解決三角函數(shù)求值或求角問題的關(guān)鍵與思路解決三角函數(shù)的求值或求角問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”轉(zhuǎn)化為k，(kZ)與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”2常見的配角技巧(1)2()()；(2)()；(3)；(4)；(5)等3三角函數(shù)化簡(jiǎn)的原則及結(jié)果考點(diǎn)(二) 三角函數(shù)的性質(zhì)主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或最值(值域)，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍.題組練透1(2018·江蘇高考)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則的值為_解析：由題意得fsin±1，k，kZ，k，kZ.，.答案：2(2019·南京鹽城一模)設(shè)函數(shù)f(x)sin，其中0.若函數(shù)f(x)在0，2上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_解析：法一：由f(x)0得xk(kZ)，解得x(kZ)，因?yàn)?，且函數(shù)f(x)在0，2上恰有2個(gè)零點(diǎn)，所以法二：f(x)取零點(diǎn)時(shí)，x滿足條件x(kZ)，當(dāng)x>0時(shí)的零點(diǎn)從小到大依次為x1，x2，x3，所以解得.答案：3(2019·蘇北三市一模)將函數(shù)f(x)sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，則以函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的相鄰三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為_解析：函數(shù)f(x)sin 2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)sinsin的圖象，如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，B，C之間的距離為一個(gè)周期，所以三角形ABC的面積為×2×.答案：4已知函數(shù)f(x)2sinsin，x，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)開解析：依題意，有f(x)2·sin xcos x(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin，因?yàn)閤，所以02x，從而0sin1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?，1答案：0，1方法技巧1對(duì)于f(x)Asin(x)的圖象平移后圖象關(guān)于y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的兩種處理方法(1)若平移后所得函數(shù)解析式為yAsin(x)，要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則k，kZ；要關(guān)于y軸對(duì)稱，則k，kZ.(2)利用平移后的圖象關(guān)于y軸或原點(diǎn)對(duì)稱得到原函數(shù)的對(duì)稱性，再利用ysin x的對(duì)稱性去求解2求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法(1)代換法：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A，為常數(shù)，A0，>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，令xz，則yAsin z(或yAcos z)，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間3求解三角函數(shù)的值域的三種方法化歸法在研究三角函數(shù)值域時(shí)，首先應(yīng)將所給三角函數(shù)化歸為yAsin(x)，yAcos(x)或yAtan(x)的形式，再利用換元tx，從而轉(zhuǎn)化為求yAsin t，yAcos t或yAtan t在給定區(qū)間上的值域換元法對(duì)于無法化歸的三角函數(shù)，通?？梢杂脫Q元法來處理，如ysin xcos xsin xcos x，可以設(shè)sin xcos xt來轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域?qū)?shù)法對(duì)于無法化歸和換元的三角函數(shù)，可以通過導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性和值域考點(diǎn)(三) 正、余弦定理主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面積公式求解三角形的邊長(zhǎng)、角以及面積，或考查將兩個(gè)定理與三角恒等變換相結(jié)合解三角形. 題組練透1在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcos A2ca，則角B的大小為_解析：法一：因?yàn)?bcos A2ca，所以由余弦定理得2b·2ca，即b2a2c2ac，所以cos B，因?yàn)锽(0，)，所以B.法二：因?yàn)?bcos A2ca，所以由正弦定理得2sin Bcos A2sin Csin A2sin(AB)sin A2sin Acos B2cos Asin Bsin A，故2cos Bsin Asin A，因?yàn)閟in A0，所以cos B，因?yàn)锽(0，)，所以B.答案：2(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知5a8b，A2B，則sin_解析：由正弦定理得5sin A8sin B，由A2B可得sin B，cos B，易得B，A，sin A，cos A，sin(sin Acos A).答案：3銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2asin Cc，a1，則ABC周長(zhǎng)的最大值為_解析：依題意，由已知條件及正弦定理得2sin Asin Csin C，即sin A.由于三角形為銳角三角形，故A.由正弦定理得bsin B，csin C，故三角形的周長(zhǎng)為1sin Bsin C1sin Bsin12sin，故當(dāng)B，即三角形為等邊三角形時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值，為123.答案：34(2018·常熟高三期中)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，D為AB的中點(diǎn)，若bacos Ccsin A且CD，則ABC面積的最大值是_解析：因?yàn)閎acos Ccsin A，所以由正弦定理得sin Bsin Acos Csin Csin A，即sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Csin A，因?yàn)閟in C0，所以cos Asin A，即tan A1，因?yàn)锳(0，)，所以A.在ACD中，由余弦定理得CD2b22b·cos，即2bc4b2c284bc8，所以bc42，當(dāng)且僅當(dāng)2bc時(shí)等號(hào)成立，所以SABCbcsin A·bc1.答案：1方法技巧1利用正弦、余弦定理解決有關(guān)三角形問題的方法(1)解三角形問題時(shí)，要注意兩個(gè)統(tǒng)一原則，即將“邊”統(tǒng)一為“角”，將“角”統(tǒng)一為“邊”當(dāng)條件或結(jié)論是既含有邊又含有角的形式時(shí)，就需要將邊統(tǒng)一為角或?qū)⒔墙y(tǒng)一為邊在應(yīng)用這兩個(gè)原則時(shí)要注意：若式子中含有角的余弦、邊的二次式，則考慮用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化；若式子中含有角的正弦、邊的一次式，則考慮用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化(2)求解與三角形相關(guān)的平面幾何中的有關(guān)量時(shí)，由于圖形中的三角形可能不止一個(gè)，因此，需要合理分析，確定求解的順序，一般先將所給的圖形拆分成若干個(gè)三角形，根據(jù)已知條件確定解三角形的先后順序，再根據(jù)各個(gè)三角形之間的關(guān)系求得結(jié)果，同時(shí)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用2與面積、范圍有關(guān)問題的求解方法(1)與三角形面積有關(guān)的問題主要有兩種：一是求三角形面積；二是給出三角形的面積，求其他量解題時(shí)主要應(yīng)用三角形的面積公式Sabsin Cbcsin Aacsin B，此公式既與邊長(zhǎng)的乘積有關(guān)，又與角的三角函數(shù)值有關(guān)，由此可以與正弦定理、余弦定理綜合起來求解另外，還要注意用面積法處理問題(2)求與三角形中邊角有關(guān)的量的取值范圍問題時(shí)，主要是利用已知條件和有關(guān)定理，將所求的量用三角形的某個(gè)內(nèi)角或某條邊表示出來，結(jié)合三角形邊角的取值范圍、函數(shù)值域的求法等求解，或者通過基本不等式來進(jìn)行求解在求解時(shí)，要注意題目中的隱含條件，如|bc|<a<bc，三角形中大邊對(duì)大角等 (一)主干知識(shí)要牢記1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sin cos ±cos sin ；(2)cos(±)cos cos sin sin ；(3)tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 2.3函數(shù)yAsin(x)的圖象(1)“五點(diǎn)法”作圖：設(shè)zx，令z0，2，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點(diǎn)、連線可得(2)常見的兩種圖象變換：ysin xysin(x)ysin(x) yAsin(x)(A>0，>0)ysin xysin xysin(x)yAsin(x)(A>0，>0)4三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間ysin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)；ycos x的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間是2k，2k(kZ)；ytan x的遞增區(qū)間是(kZ)5三角函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性yAsin(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)k(kZ)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，當(dāng)k(kZ)時(shí)為奇函數(shù)6正弦定理及其變形在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等7余弦定理及其變形在ABC中，a2b2c22bccos A.變形：b2c2a22bccos A，cos A.8三角形面積公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.(二)二級(jí)結(jié)論要用好1sin cos 0的終邊在直線yx上方(特殊地，當(dāng)在第二象限時(shí)有 sin cos 1)2sin cos 0的終邊在直線yx上方(特殊地，當(dāng)在第一象限時(shí)有sin cos >1)3輔助角公式：asin bcos sin().4在ABC中，tan Atan Btan Ctan A·tan B·tan C.5ABC中，內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列的充要條件是B.6ABC為正三角形的充要條件是A，B，C成等差數(shù)列，且a，b，c成等比數(shù)列7SABC(R為ABC外接圓半徑) A組抓牢中檔小題1sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°_解析：sin 20°cos 10°cos 160°sin 10°sin 20°cos 10°cos 20°sin 10°sin(20°10°)sin 30°.答案：2(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)y3sin x的圖象與y3cos 2x2的圖象交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P到x軸的距離為_解析：法一：根據(jù)題意得，3sin x3cos 2x2，3sin x3(12sin2x)2，6sin2x3sin x50，(2sin x5)·(sin x1)0，所以sin x，此時(shí)yP3×3，所以點(diǎn)P到x軸的距離為3.法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP，yP)，因?yàn)閤，所以yP3sin xP0，sin xP，又yP3cos 2xP2，所以yP3(12sin2xP)2，yP32，所以2y9yP450，(2yP15)(yP3)0，因?yàn)閥P0，所以yP3，故點(diǎn)P到x軸的距離為3.答案：33(2019·常州期末)已知函數(shù)f(x)sin(x)(0，R)是偶函數(shù)，點(diǎn)(1，0)是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心，則的最小值為_解析：由函數(shù)f(x)sin(x)(0，R)是偶函數(shù)，知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱，又點(diǎn)(1，0)是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T的最大值為4，所以的最小值為.答案：4(2019·揚(yáng)州期末)設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，且滿足tan ，則_解析：因?yàn)閠an ，所以，所以acos sin bcos cos asin cos bsin sin ，所以ab，即asinbcos，asin bcos ，所以tan .答案：5(2019·無錫期末)已知是第四象限角，cos ，那么的值為_解析：依題意，得sin ，.答案：6(2019·南通等七市二模)在ABC中，已知C120°，sin B2sin A，且ABC的面積為2，則AB的長(zhǎng)為_解析：設(shè)a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，則由sin B2sin A和正弦定理得b2a，由ABC的面積Sabsin Cab2，得ab8，所以a2，b4，由余弦定理可得AB24162×2×4×28，得AB2.答案：27已知ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2bac，若sin B，cos B，則b的值為_解析：sin B，cos B，sin2Bcos2B1，ac15，又2bac，b2a2c22accos Ba2c218(ac)2484b248，解得b4.答案：48(2019·南京三模)函數(shù)f(x)2sin，其中0.若x1，x2是方程f(x)2的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且|x1x2|的最小值為.則當(dāng)x時(shí)，f(x)的最小值為_解析：根據(jù)已知可得，所以2，所以f(x)2sin.因?yàn)閤，所以2x，數(shù)形結(jié)合易知，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取得最小值，為1.答案：19在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱若sin ，則cos()_解析：因?yàn)榻桥c角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以2k，kZ，所以cos()cos(22k)cos 2(12sin2).答案：10(2019·石莊中學(xué)模擬)將函數(shù)f(x)cos(2x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，則_解析：依題意，g(x)coscos，令2xk(kZ)，即函數(shù)g(x)圖象的對(duì)稱軸為x(kZ)，又|，當(dāng)k0時(shí)，有，解得.答案：11(2019·徐州中學(xué)模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos 2A3cos A1，b5，ABC的面積S5，則ABC的周長(zhǎng)為_解析：由cos 2A3cos A1得2cos2A3cos A20，解得cos A2(舍去)或cos A，則sin A，由Sbcsin A×5×c5，得c4.所以a2b2c22bccos A25162×5×4×21，得a.所以ABC的周長(zhǎng)為549.答案：912已知tan，且<<0，則_解析：由tan，得tan .又<<0，所以sin .故2sin .答案：13(2019·鹽城三模)在ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且c2a2b2ab，則的取值范圍是_解析：因?yàn)閏2a2b2ab，所以由余弦定理得cos C，所以C，由正弦定理得sin.因?yàn)?A，所以2A，所以(1，1)答案：(1，1)14(2018·蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知sin 3sin，則tan_解析：sin 3sin3sin cos3cos ·sinsin cos ，tan .又tan tan2，tan24.答案：24B組力爭(zhēng)難度小題1.如圖，已知A，B分別是函數(shù)f(x)sin x(0)在y軸右側(cè)圖象上的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，且AOB，則該函數(shù)的最小正周期是_解析：設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，由圖象可得A，B，則·30，解得T4.答案：42(2019·平潮中學(xué)模擬)在ABC中，若，則cos A的取值范圍為_解析：由，得，即，即，即，由正弦定理，得bccos Aa2，由余弦定理，得bccos Ab2c22bccos A，即cos A(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào))，又易知cos A1，所以cos A1.答案：3已知為銳角，cos，則sin的值為_解析：因?yàn)?，所以，所以sin ，因?yàn)閟insin2 sin·cos，coscos2 cos21，所以sinsinsincoscossin.答案：4.函數(shù)f(x)Asin(x)的部分圖象如圖所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，則f(x1x2)_解析：由圖象可得A1，解得2，所以f(x)sin(2x)，將點(diǎn)代入函數(shù)f(x)可得0sin，所以k，所以k(kZ)，又|<，所以，所以f(x)sin.因?yàn)椋闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，又x1，x2，且f(x1)f(x2)，所以x1x2×2，所以f(x1x2)sin.答案：5在ABC中，B，AC，D為BC中點(diǎn)，E為AB中點(diǎn)，則AEBD的取值范圍為_解析：在ABC中，設(shè)C，則A，且.由正弦定理，得AB2sin ，BC2sin，所以AEBDABBCsin sinsin cos sin sin cos sin.又，則，所以sin，所以sin，即AEBD的取值范圍是.答案：6.(2018·南通基地卷)將函數(shù)ysin的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysin(|<)的圖象如圖所示，點(diǎn)M，N分別是函數(shù)f(x)圖象上y軸兩側(cè)相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，設(shè)MON，則tan()的值為_解析：將函數(shù)ysin的圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)ysin，所以，M(1，)，|OM|2，N(3，)，ON2，|MN|2，由余弦定理可得，cos ，tan()tan2.答案：2第二講 | 小題考法平面向量考點(diǎn)(一) 平面向量的概念及線性運(yùn)算主要考查平面向量的加、減、數(shù)乘等線性運(yùn)算以及向量共線定理的應(yīng)用.題組練透1設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC，若12 (1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_解析：如圖，().又12，且與不共線所以1，2，所以12.答案：2(2019·無錫期末)在四邊形ABCD中，已知a2b，4ab，5a3b，其中a，b是不共線的向量，則四邊形ABCD的形狀是_解析：a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)，所以2，即ADBC，且AD2BC，所以四邊形ABCD是梯形答案：梯形3(2018·南京考前模擬)在直角梯形ABCD中，ABCD，DAB90°，AB2CD，M為CD的中點(diǎn)，N為線段BC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，若，則的最小值為_解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)B(2，0)，C(1，t)，M，N(x0，y0)，因?yàn)镹在線段BC上，所以y0(x02)，即y0t(2x0)，因?yàn)?，所以即tty0tt(2x0)，因?yàn)閠0，所以1(2x0)2x02，所以344，這里，均為正數(shù)，所以4(34)31215227，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.答案：方法技巧向量線性運(yùn)算問題的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量的基本思路：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果(3)與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值考點(diǎn)(二)平面向量的數(shù)量積主要考查數(shù)量積的運(yùn)算、夾角以及模的計(jì)算問題或求參數(shù)的值. 題組練透1已知e1，e2是互相垂直的單位向量若e1e2與e1e2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)的值是_解析：因?yàn)?，故，解?答案：2(2019·江蘇高考)如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若·6·，則的值是_解析：如圖，過點(diǎn)D作DFCE交AB于點(diǎn)F，由D是BC的中點(diǎn)，可知F為BE的中點(diǎn)又BE2EA，則知EFEA，從而可得AOOD，則有()，所以6·()·22··，整理可得232，所以.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)E(1，0)，C(a，b)，則B(3，0)，D.O. ·6·， (3，0)·(a，b)6·(a1，b)，即3a6， a2b23， AC. .答案：3(2019·南京鹽城二模)已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，且滿足()·4.若AD，則·的值為_解析：法一：由AD為RtABC的斜邊BC上的高，得··0，因?yàn)?)·4，所以(2)·4，即·2，即|·|cos 02，所以|2，所以·()·()2·2|·|cos 2|·|2|2422.法二：因?yàn)锳DBC于D，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xDy，設(shè)B(m，0)，C(n，0)，P(0，t)，則(m，t)，(n，t)，因?yàn)锳D，所以A(0，)，所以(0，)由()·4，得t2，又·0，所以mn2，所以·mnt2242.答案：24(2018·南通、揚(yáng)州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調(diào))在平面四邊形ABCD中，已知AB1，BC4，CD2，DA3，則·的值為_解析：法一：因?yàn)?，則，平方得2222(···)()22，即···6，則·()·()···261610.法二：如圖，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)BO，DO.所以··()··()·()()·()(2222)×(16149)10.答案：10方法技巧平面向量數(shù)量積相關(guān)問題的求解策略(1)夾角和模的問題的處理方法，一是轉(zhuǎn)為基底向量結(jié)合數(shù)量積的定義進(jìn)行運(yùn)算；二是建立坐標(biāo)系用坐標(biāo)公式求解(2)平面向量的數(shù)量積可以用定義結(jié)合基底向量求解，也可以建立坐標(biāo)系用坐標(biāo)公式求解(3)對(duì)于極化恒等式：a·b.在ABC中，若M是BC的中點(diǎn)，則·22.其作用是：用線段的長(zhǎng)度來計(jì)算向量的數(shù)量積從而避開求向量的夾角.考點(diǎn)(三)平面向量的綜合問題主要考查與平面向量數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問題或參數(shù)求值問題.典例感悟典例(1)已知向量a，b滿足|a|，|b|1，且對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，|axb|ab|恒成立，則a與b的夾角大小為_(2)(2018·蘇州期末)如圖，ABC為等腰三角形，BAC120°，ABAC4，以A為圓心，1為半徑的圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是劣弧上的一動(dòng)點(diǎn)，則·的取值范圍是_解析(1)法一：將|axb|ab|兩邊平方可得：22xa·bx222a·b1，即x22a·bx2a·b10對(duì)于xR恒成立，4(a·b)28a·b40，即4(a·b1)20，所以a·b1，即cos ，所以a，b夾角為.法二：如圖，令a，xb(P為直線l上任意一點(diǎn))，則axb，所以|axb|OP的最小值即O到直線l的距離OH，即OH|ab|，即ab，所以b.在直角三角形OHA中，AH1，OA，cosHOA，即HOA，所以a，b夾角為.(2)法一(幾何法)：如圖，取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，·()·()22.因?yàn)镸C為定值，所以·的變化可由PM的變化確定易得AM2，MC2.當(dāng)P為劣弧與AM的交點(diǎn)時(shí)，PM取最小值A(chǔ)M11；PM的最大值為EMFM.所以PM2MC2的取值范圍是11，9，即·11，9法二(坐標(biāo)法)：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于BC的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則B(2，2)，C(2，2)，設(shè)P(cos ，sin )，其中.所以·(2cos ，sin 2)·(2cos ，2sin )(cos 2)2sin21274cos .因?yàn)閏os ，所以·11，9答案(1)(2)11，9方法技巧平面向量有關(guān)最值(范圍)問題求解的2種思路形化即利用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷數(shù)化即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來解決演練沖關(guān)1已知|，且·1.若點(diǎn)C滿足|1，則|的取值范圍是_解析：如圖，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，則，因?yàn)閨，·1，所以|，由|1得|1，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上，而|表示點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離，從而|1|1，即1|1，即|的取值范圍是1，1答案：1，12(2019·蘇州期末)如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BMDNMN，則·的最小值是_解析：法一：由題意，以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)M(2，m)，N(n，2)，其中0m2，0n2，則向量(2，m)，(n，2)，所以·(2，m)·(n，2)2n2m.由BMDNMN，知mn ，整理得2(mn)mn40，又由02(mn)mn42(mn)4，得mn44，當(dāng)且僅當(dāng)mn22時(shí)等號(hào)成立，所以·的最小值是88.法二：設(shè)BMm(0m2)，DNn(0n2)，則MC2m，NC2n，由MN2MC2NC2，得(mn)2(2m)2(2n)2，整理得2(mn)mn40. ·()·()2m2n.由02(mn)mn42(mn)4，得mn44，當(dāng)且僅當(dāng)mn22時(shí)等號(hào)成立，所以·的最小值是88.答案：883如圖，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A位于兩平行直線m，n的同側(cè)，且A到m，n的距離分別為1，3.點(diǎn)B，C分別在m，n上，|5，則·的最大值是_解析：設(shè)P為BC的中點(diǎn)，則2，從而由|5得|，又·()·()222，因?yàn)閨2，所以21，故·1，當(dāng)且僅當(dāng)|2時(shí)等號(hào)成立答案： (一) 主干知識(shí)要記牢1平面向量的兩個(gè)充要條件若兩個(gè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，則(1)abab(b0)x1y2x2y10.(2)aba·b0x1x2y1y20.2平面向量的性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .(4)|a·b|a|·|b|.(二)二級(jí)結(jié)論要用好1三點(diǎn)共線的判定(1)A，B，C三點(diǎn)共線，共線(2)向量，中三終點(diǎn)A，B，C共線存在實(shí)數(shù)，使得，且1.針對(duì)練在ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若mn (m，nR)，則_解析：如圖，2，mn，m(2n1)，F(xiàn)，E，B三點(diǎn)共線，m2n11，2.答案：22中點(diǎn)坐標(biāo)和三角形的重心坐標(biāo)(1)設(shè)P1，P2的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則線段P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為.(2)三角形的重心坐標(biāo)公式：設(shè)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則ABC的重心坐標(biāo)是G.3三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則(1)O為ABC的外心|.(2)O為ABC的重心0.(3)O為ABC的垂心···.(4)O為ABC的內(nèi)心abc0.4極化恒等式a·b提醒極化恒等式的使用是最近考查的熱點(diǎn)，要有將平面向量數(shù)量積用此工具轉(zhuǎn)化的基本意識(shí) A組抓牢中檔小題1(2018·南京學(xué)情調(diào)研)設(shè)向量a(1，4)，b(1，x)，ca3b.若ac，則實(shí)數(shù)x_解析：因?yàn)閍(1，4)，b(1，x)，ca3b(2，43x)又ac，所以43x80，解得x4.答案：42(2018·無錫期末)已知向量a(2，1)，b(1，1)，若ab與mab垂直，則m的值為_解析：因?yàn)閍(2，1)，b(1，1)，所以ab(1，2)，mab(2m1，m1)，因?yàn)閍b與mab垂直，所以(ab)·(mab)0，即2m12(m1)0，解得m.答案：3(2019·南京四校聯(lián)考)設(shè)a，b是單位向量，且a·b，向量c滿足c·ac·b2，則|c|_解析：法一：由題意可設(shè)cab(，R)，則c·a2，c·b2，所以，所以|c|ab| .法二：由題意不妨令a(1，0)，b.設(shè)c(x，y)，則c·ax2，c·bxy2，所以c(2，)，所以|c|.答案：4已知|a|1，|b|，且a(ab)，則向量a與向量b的夾角為_解析：a(ab)，a·(ab)a2a·b1cosa，b0，cosa，b，a，b.答案：5(2019·南京三模)已知向量a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a，b是夾角為60°的兩個(gè)單位向量若向量c滿足c·5，則|c|的最小值為_解析：設(shè)向量c與a2b的夾角為.由c·(a2b)5，得|c|·|a2b|cos 5，因?yàn)閨a2b|，所以|c|· cos 5，則|c|.因?yàn)?cos 0，所以當(dāng)cos 1時(shí)，|c|取得最小值，為.答案：6.如圖，在ABC中，已知BAC，AB2，AC3，2，3，則|_解析：()，而()，故，從而| .答案：7已知非零向量a，b滿足|a|b|ab|，則a與2ab夾角的余弦值為_解析：法一：因?yàn)榉橇阆蛄縜，b滿足|a|b|ab|，所以a2b2a22a·bb2，a·ba2b2，所以a·(2ab)2a2a·ba2，|2ab|a|，所以cosa，2ab.法二：因?yàn)榉橇阆蛄縜，b滿足|a|b|ab|，所以a，b，所以a·(2ab)2a2a·b2a2|a|·|b|cosa2，|2ab|a|.所以cosa，2ab.答案：8在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ABC60°，P是對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則·_解析：如圖所示，由條件知ABC為正三角形，ACBP，所以·()····×cos 60°2×2×2.答案：29已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BAD120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上BC，DC上，t，DFm，若·1，CE·CF，則tm_解析：因?yàn)閠t；DFmm，所以·(t)·(m)22tm4t4m1；CE·CF2(1t)(1m)22m2t2tm，聯(lián)立解得tm.答案：10(2019·常州期末)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)O，A，B，滿足|1，|2，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，AOB的平分線交線段AB于D，若|，則|_解析：法一：由點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，得，又|，|1，|2，所以，得cosAOB，AOB.由SAODSBODSAOB得×|×|sin×|×|sin ×|×|sin，得|.法二：由點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，得，又|，|1，|2，所以，得cosAOB，AOB.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，0)，不妨令B(1，)，易知OD：yx，AB：y(x1)，聯(lián)立得得D，則| .答案：11.如圖，在平面四邊形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，且OA3，OC5.若·7，則·的值是_解析：因?yàn)?#183;()·()()·()OC2OD2，同理：·AO2OD27，所以O(shè)D216，所以·OC2OD29.答案：912已知A(0，1)，B(0，1)，C(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足·2|2，則|的最大值為_解析：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)，因?yàn)锳(0，1)，B(0，1)，C(1，0)，·2|2，所以(x，y1)·(x，y1)2(x1)2y2，即(x2)2y21.因?yàn)閨2，所以|表示圓(x2)2y21上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的2倍，所以|的最大值為2×(21)6.答案：613(2019·蘇北三市一模)在ABC中，AB2，AC3，BAC60°，P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足2，則·的值為_. 解析：法一：因?yàn)?，所以()2，得，所以·()··2·×3×2×cos 60°1.法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳B2，AC3，BAC60°，所以A(0，0)，B(2，0)，C.設(shè)P(x，y)，由2，得解得即P，所以··(2，0)1.答案：114(2019·鹽城三模)已知圓O的半徑為2，A，B，C為該圓上的三點(diǎn)，且AB2，·0，則·()的取值范圍是_解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，其中BA與x軸平行，且位于x軸上方，點(diǎn)B在點(diǎn)A左側(cè)，則結(jié)合題意得B(1，)，A(1，)，設(shè)C(2cos ，2sin )()，則(3，)，·(2，0)·(2cos 1，2sin )2(2cos 1)0，因?yàn)镃與A，B都不重合，所以或，所以·()(2cos ，2sin )·(3，)6cos 2 sin 4 cos(6，0)(0，4 答案：(6，0)(0，4 B組力爭(zhēng)難度小題1在ABC中，若·2··，則的值為_解析：由·2··，得2bc·ac·ab·，化簡(jiǎn)可得ac.由正弦定理得，.答案：2(2019·無錫期末)已知點(diǎn)P在圓M：(xa)2(ya2)21上，A，B為圓C：x2(y4)24上兩動(dòng)點(diǎn)，且AB2，則·的最小值為_解析：取AB的中點(diǎn)D，因?yàn)锳B2，圓C的半徑R2，所以CD1，所以·()·()23.C(0，4)，M(a，a2)，易知當(dāng)C，D，P，M在一條直線上時(shí)，PD最小，此時(shí)，PDCMCDPM2232(當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)等號(hào)成立)，所以·231912，當(dāng)a3時(shí)取到最小值1912.答案：19123在直角坐標(biāo)系xOy中，已知三點(diǎn)A(a，1)，B(2，b)，C(3，4)，若··，則a2b2的最小值為_解析：因?yàn)?#183;·0，所以·0，從而有(a2，1b)·(3，4)0，即3a4b2.則(a，b)可視為直線l：3x4y2上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其為P，則為坐標(biāo)原點(diǎn)O到P的距離，故|OP|mind(O，l)，故(a2b2)min.答案：4.如圖，已知ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q.若3，5，則()·()的值為_解析：因?yàn)椋?，而，由于，所以·0，所以()·()(2)·2·，又因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以2，故2·()·()2292516.答案：165(2019·蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)在ABC中，已知AB2，AC1，BAC90°，D，E分別為BC，AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線交AB于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q，則·的最大值為_解析：法一：如圖，以A為原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么B(0，2)，C(1，0)，易知點(diǎn)E的坐標(biāo)為，可設(shè)直線PQ的方程為yk(k0)，所以有P，Q.則··2 ，當(dāng)且僅當(dāng)k1時(shí)取等號(hào)，故·的最大值為.法二：如圖，以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，那么B(2，0)，C(0，1)因?yàn)镈，E分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以D，E，設(shè)P(a，0)，Q(0，b)，a0，b0，則直線PQ的方程為1，因?yàn)橹本€PQ過點(diǎn)E，所以1.易知(2，b)，(a，1)，所以·2ab(2ab)·，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)取等號(hào)，故·的最大值為.法三：設(shè)，0，0，則()，因?yàn)镋，P，Q三點(diǎn)共線，所以1，所以·()·()··(4)(4)，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故·的最大值為.答案：6設(shè)O是ABC的三邊中垂線的交點(diǎn)，a，b，c分別為角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊，已知b22bc20，則·的取值范圍是_解析：由O是ABC的三邊中垂線的交點(diǎn)，知O是三角形外接圓的圓心，如圖所示連接AO并延長(zhǎng)交外接圓于點(diǎn)D，則AD是O的直徑，連接BD，CD，則ABDACD90°，cosBAD，cosCAD，所以·()·|·cosCAD|cosBAD(b2c2)(b22bb2).因?yàn)閏22bb20，所以0b2，設(shè)f(b)(0b2)，則當(dāng)b時(shí)，f(b)取最小值，又2，所以f(b)，所以·的取值范圍是.答案：第三講 | 大題考法解三角形題型(一)三角變換與解三角形的綜合問題主要考查利用正、余弦定理求解三角形的邊長(zhǎng)或角的大小(或三角函數(shù)值)，且常與三角恒等變換綜合考查. 典例感悟例1(2018·南京學(xué)情調(diào)研)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，cos B.(1)若c2a，求的值；(2)若CB，求sin A的值解(1)法一(角化邊)：在ABC中，因?yàn)閏os B，所以.因?yàn)閏2a，所以，即，所以.又由正弦定理得，所以.法二(邊化角)：因?yàn)閏os B，B(0，)，所以sin B.因?yàn)閏2a，由正弦定理得sin C2sin A，所以sin C2sin(BC)cos Csin C，即sin C2cos C.又因?yàn)閟in2Ccos2C1，sin C0，解得sin C，所以.(2)因?yàn)閏os B，所以cos 2B2cos2B1.又0B，所以sin B，所以sin 2B2sin Bcos B2××.因?yàn)镃B，即CB，所以A(BC)2B，所以sin Asinsincos 2Bcossin 2B××.方法技巧三角變換與解三角形綜合問題求解策略(1)三角變換與解三角形綜合問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的，其基本步驟是：(2)三角變換與解三角形的綜合問題要關(guān)注三角形中的隱藏條件，如ABC，sin(AB)sin C，cos(AB)cos C, 以及在ABC中，A>Bsin A>sin B等演練沖關(guān)1(2019·江蘇高考)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.(1)若a3c，b，cos B，求c的值；(2)若，求sin的值解：(1)因?yàn)閍3c，b，cos B，由余弦定理，得cos B，即，解得c2.所以c.(2)因?yàn)?，由正弦定理，得，所以cos B2sin B.從而cos2B(2sin B)2，即cos2B4(1cos2B)，故cos2B.因?yàn)閟in B>0