2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 三角函數(shù)與解三角形 3-1任意角、弧度制與任意角的三角函數(shù)教案【教學(xué)目標(biāo)】 1.了解任意角的概念； 2了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化； 3理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。【重點(diǎn)難點(diǎn)】1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角,弧度制和任意角三角函數(shù)的概念； 2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖考綱再現(xiàn): 考試內(nèi)容 要求層次了解 理解 掌握任意角的概念和弧度制   弧度與角度的互化任意角的正弦、余弦、正切定義用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切 考綱傳真1.了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化3理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義 從近五年高考情況來看，本課時(shí)在高考中一般不直接考查， 常與三角恒等變形進(jìn)行綜合考查，但本講是學(xué)習(xí)后邊內(nèi)容的基礎(chǔ)，是學(xué)好三角函數(shù)必須要掌握的基本內(nèi)容.真題再現(xiàn)1. 【xx福建高考】若 ， 且 為第四象限角，則 的值等于（ ）2.【xx課標(biāo)卷】如圖所示，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則yf(x)在0，的圖象大致為()解析:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OA為x軸的正方向，坐系則P(cosx，sinx)，M(cosx,0)，故M到直O(jiān)P的距離為f(x)|sinx·cosx|sin2x|，x0，故選B.。學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。學(xué)生通過對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。通過對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢環(huán)節(jié)二：知識(shí)梳理：知識(shí)點(diǎn)1角的有關(guān)概念1從運(yùn)動(dòng)的角度看，可分為正角、_和_2從終邊位置來看，可分為_和軸線角3若與角的終邊相同，則用表示為2k(kZ)知識(shí)點(diǎn)2弧度的定義和公式1定義:長(zhǎng)度等于_的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.2.換算關(guān)系與相關(guān)公式角的弧度數(shù)公式|(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算1°rad；1 rad°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l|r扇形面積公式Slr|r2知識(shí)點(diǎn)3任意角的三角函數(shù)1).任意角的三角函數(shù)定義：任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)時(shí)，sin ，cos ，tan (x0).2）.三角函數(shù)線如下圖，設(shè)角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過P作PMx軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線與的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T.名師點(diǎn)睛：1必會(huì)結(jié)論(1)象限角與軸線角象限角：軸線角：(2)任意角三角函數(shù)的定義設(shè)P(x，y)是角終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sin ，cos ，tan .2必清誤區(qū)(1)第一象限角、銳角、小于90°的角是三個(gè)不同的概念，前者是象限角，后兩者是區(qū)間角(2)角度制與弧度制可利用180° rad進(jìn)行互化，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用考點(diǎn)分項(xiàng)突破考點(diǎn)一： 角的概念及其集合表示1終邊在直線yx上的角的集合是_【解析】在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角為，終邊在直線yx上的角的集合為2若角的終邊與角的終邊相同，則在0,2內(nèi)終邊與角的終邊相同的角的個(gè)數(shù)為_【解析】2k(kZ)，(kZ)，依題意02，k，k0,1,2，即在0,2內(nèi)與終邊相同的角為，共三個(gè)跟蹤訓(xùn)練1：1.若角的終邊和函數(shù)y|x|的圖象重合，試寫出角的集合；2.若角的終邊與168°角的終邊相同，求在0°，360°)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角解析：1.由于y|x|的圖象是三、四象限的角平分線， 故在0°360°間所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為225°及315°，從而角的集合為 S|k360°225°或k360°315°，kZ解析2.:k·360°168°，kZ，k·120°56°，kZ.依題意得0k·120°56°360°，當(dāng)k0,1,2時(shí)，k·120°56°在0°，360°)內(nèi)，所以56°，176°，296°.歸納：1終邊在某直線上角的求法步驟(1)數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線(2)按逆時(shí)針方向?qū)懗?,2內(nèi)的角(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合(4)求并集化簡(jiǎn)集合2確定k，(kN*)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角的范圍，再寫出k或的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定k或的終邊所在位置考點(diǎn)二: 扇形的弧長(zhǎng)、面積公式 (1)若圓弧長(zhǎng)度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)是_(2)已知扇形的圓心角是，半徑是r，弧長(zhǎng)為l，若100°，r2，求扇形的面積；若扇形的周長(zhǎng)為20，求扇形面積的最大值，并求此時(shí)扇形圓心【解析】(1)設(shè)圓半徑為r，則圓內(nèi)接正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2r，正方形邊長(zhǎng)為r，圓心角的弧度數(shù)是.角的弧度數(shù) (2)Slrr2××4，由題意知l2r20，即l202r，Sl·r(202r)·r(r5)225，當(dāng)r5時(shí)，S的最大值為25.當(dāng)r5時(shí)，l202×510，2(rad)即扇形的面積最大值為25，此時(shí)扇形圓心角的弧度數(shù)為2 rad.跟蹤訓(xùn)練2：1.已知一扇形的圓心角為，半徑為R，弧長(zhǎng)為l. (1)若60°，R10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)l； (2)已知扇形的周長(zhǎng)為10 cm，面積是4 cm2，求扇形的圓心角：(3)若扇形周長(zhǎng)為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè) 扇形的面積最大？ 解由已知得，l2R20.當(dāng)R5時(shí)，S取得最大值25，此時(shí)l10，2.2已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)是()A2 Bsin2C. D2sin1解析：如圖，AOB2弧度，過O點(diǎn)作OCAB于C，并延長(zhǎng)OC交于D.AODBOD1弧度，且ACAB1，在RtAOC中，AO，從而弧AB的長(zhǎng)為l|·R.故選C.歸納：弧度制下有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形面積問題的解題策略1明確弧度制下弧長(zhǎng)公式lr，扇形的面積公式是Slrr2(其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，是扇形的圓心角)2求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量考點(diǎn)三：三角函數(shù)的定義 命題角度1利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值1已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，則cos ()A. B.C D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .2若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(，m)(m0)且sin m，則cos 的值為_【解析】由題意知r，sin m，m0，m±，r2，cos .命題角度2利用三角函數(shù)的定義求點(diǎn)的坐標(biāo)3點(diǎn)P從(0,1)出發(fā)，沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_【解析】由三角函數(shù)定義可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)滿足xcos ，ysin ，Q.4已知角的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由題意知xcos，ysin，P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)命題角度3利用三角函數(shù)線解三角不等式5.在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：sin解析：作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的終邊的范圍，故滿足條件的角的集合為|2k2k，kZ跟蹤訓(xùn)練3：1. 設(shè)90°180°，角的終邊上一點(diǎn)為P(x，)，且cosx，求sin與tan的值；解析：r，cos，從而x，解得x0或x±.90°180°，x0，因此x.故r2，sin，tan.2如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)A，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，則cos_.解析：由題意可得，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，由三角函數(shù)的定義得cos.3. 如果點(diǎn)P(sincos，2cos)位于第三象限，那么角所在的象限是()A 第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：3. 因?yàn)辄c(diǎn)P(sincos，2cos)位于第三象限，所以sincos0,2cos0，即所以為第二象限角，選B.4.在單位圓中畫出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫出角的解：作直線x交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC,OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍故滿足條件的角的集合|2k2k，kZ集合：cos.歸納：三角函數(shù)定義的應(yīng)用方法1已知角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角的三角函數(shù)值先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解2已知角的某三角函數(shù)值，可求角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值3已知角的終邊所在的直線方程或角的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)4. 單位圓及三角函數(shù)線,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法引導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過跟蹤訓(xùn)練，來鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，到底知識(shí)和能力的內(nèi)化。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過跟蹤訓(xùn)練，來鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力，到底知識(shí)和能力的內(nèi)化。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1認(rèn)真分析題意，合理選擇數(shù)學(xué)模型是解決應(yīng)用問題的基礎(chǔ)；2實(shí)際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等求得最值3函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)是常見的解題錯(cuò)誤所以，正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是正確解決這類問題的前提和基礎(chǔ)4要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域5注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。