4.2　空間圖形的公理(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握公理4及等角定理.2.掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角． 知識點(diǎn)一　平行公理(公理4) 思考　在平面內(nèi)，直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則a∥c.該結(jié)論在空間中是否成立？ 答案　成立． 梳理　平行公理 (1)文字表述：平行于同一條直線的兩條直線平行． (2)符號表示：?a∥c. 知識點(diǎn)二　空間兩直線的位置關(guān)系 思考　在同一平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關(guān)系？ 觀察下面兩個圖形，你能找出既不平行又不相交的兩條直線嗎？ 答案　平行與相交． 教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線；六角螺母中直線AB與CD. 梳理　異面直線的概念 (1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線． (2)異面直線的畫法(襯托平面法) 如圖(1)(2)所示，為了表示異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時，通常用一個或兩個平面來襯托． (3)判斷兩直線為異面直線的方法 ①定義法； ②兩直線既不平行也不相交． (4)空間兩條直線的三種位置關(guān)系 ①從是否有公共點(diǎn)的角度來分： ②從是否共面的角度來分： 知識點(diǎn)三　等角定理 思考　觀察圖，在平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC與∠A′D′C′，∠ADC與∠D′A′B′的兩邊分別對應(yīng)平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？ 答案　從圖中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°. 梳理　等角定理空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，則這兩個角相等或互補(bǔ)． 知識點(diǎn)四　異面直線所成的角 思考　在平行六面體A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，則“直線BC1與直線BC所成的角”與“直線AD1與直線BC所成的角”是否相等？ 答案　相等． 梳理　異面直線所成角的定義 定義 前提 兩條異面直線a，b 作法 經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b 結(jié)論 我們把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角) 范圍 記異面直線a與b所成的角為θ，則0°<θ≤90°. 特殊情況 當(dāng)θ＝90°時，a與b互相垂直，記作：a⊥b. 1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線．(　×　) 2．兩直線若不是異面直線，則必相交或平行．(　√　) 3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠BAC＝∠B′A′C′.(　×　) 類型一　公理4及等角定理的應(yīng)用 例1　在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，E′，F(xiàn)′分別是AB，BC，A′B′，B′C′的中點(diǎn)，求證：EE′∥FF′. 考點(diǎn)　平行公理 題點(diǎn)　判斷、證明線線平行 證明　因?yàn)镋，E′分別是AB，A′B′的中點(diǎn)， 所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′. 所以四邊形EBB′E′是平行四邊形， 所以EE′∥BB′，同理可證FF′∥BB′. 所以EE′∥FF′. 反思與感悟　(1)空間兩條直線平行的證明：①定義法：即證明兩條直線在同一平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)．②利用公理4找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行． (2)“等角”定理的結(jié)論是相等或互補(bǔ)，在實(shí)際應(yīng)用時，一般是借助于圖形判斷是相等，還是互補(bǔ)，還是兩種情況都有可能． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)． 求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形； (2)∠DNM＝∠D1A1C1. 考點(diǎn)　空間等角定理 題點(diǎn)　判斷、證明角的關(guān)系 證明　(1)如圖 ，連接AC， 在△ACD中， ∵M(jìn)，N分別是CD，AD的中點(diǎn)， ∴MN是△ACD的中位線， ∴MN∥AC，MN＝AC. 由正方體的性質(zhì)得 AC∥A1C1，AC＝A1C1. ∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1， 即MN≠A1C1， ∴四邊形MNA1C1是梯形． (2)由(1)可知MN∥A1C1. 又∵ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)． 而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角， ∴∠DNM＝∠D1A1C1. 類型二　異面直線 命題角度1　異面直線的判定 例2　(1)若a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c的位置關(guān)系是(　　) A．異面 B．相交或平行 C．平行或異面 D．相交、平行或異面 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　D 解析　異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明a，b異面，直線c的位置可如圖所示． (2)如圖，已知正方體ABCD—A′B′C′D′.哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？ 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 解　由異面直線的定義可知，棱AD，DC，CC′，DD′，D′C′，B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線． 反思與感悟　判斷兩直線是否為異面直線，只需判斷它們是否相交、平行．只要既不相交，也不平行，就是異面直線． 跟蹤訓(xùn)練2　(1)在四棱錐P－ABCD中，各棱所在的直線互相異面的有________對． 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　8 解析　與AB異面的有側(cè)棱PD和PC，同理，與底面的各條邊異面的都有兩條側(cè)棱，故共有異面直線4×2＝8(對)． (2)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原成正方體，那么AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對？分別是哪幾對？ 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 解　還原的正方體如圖所示． 異面直線有三對，分別為AB與CD， AB與GH，EF與GH. 命題角度2　求異面直線所成的角 例3　在空間四邊形ABCD中，AB＝CD，且AB與CD所成銳角為30°，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，求EF與AB所成角的大?。? 考點(diǎn)　異面直線所成的角 題點(diǎn)　求異面直線所成的角 解　如圖所示，取AC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G， 則EG∥AB且EG＝AB， GF∥CD且GF＝CD， 由AB＝CD知EG＝FG， 從而可知∠GEF為EF與AB所成角，∠EGF或其補(bǔ)角為AB與CD所成角． ∵AB與CD所成角為30°， ∴∠EGF＝30°或150°， 由EG＝FG知△EFG為等腰三角形， 當(dāng)∠EGF＝30°時，∠GEF＝75°， 當(dāng)∠EGF＝150°時，∠GEF＝15°， 故EF與AB所成角的大小為15°或75°. 反思與感悟　(1)異面直線一般依附于某幾何體，所以在求異面直線所成的角時，首先將異面直線平移成相交直線，而定義中的點(diǎn)O常選取兩異面直線中其中一個線段的端點(diǎn)或中點(diǎn)或幾何體中的某個特殊點(diǎn)． (2)求異面直線所成的角的一般步驟： ①作角：平移成相交直線． ②證明：用定義證明前一步的角為所求． ③計(jì)算：在三角形中求角的大小，但要注意異面直線所成的角的范圍． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為平面A′B′C′D′與AA′D′D的中心，則EF與CD所成角的大小是________． 考點(diǎn)　異面直線所成的角 題點(diǎn)　求異面直線所成的角 答案　45° 解析　連接B′D′，則E為B′D′的中點(diǎn)，連接AB′，則EF∥AB′，又CD∥AB，所以∠B′AB為異面直線EF與CD所成的角，即∠B′AB＝45°. 1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是(　　) A．平行或異面 B．相交或異面 C．異面 D．相交 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　B 解析　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1與BC是異面直線，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，顯然BB1∩BC＝B，DD1與BC是異面直線，故選B. 2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，則∠A′O′B′為(　　) A．130° B．50° C．130°或50° D．不能確定 考點(diǎn)　空間等角定理 題點(diǎn)　利用等角定理求角 答案　C 解析　根據(jù)定理，∠A′O′B′與∠AOB相等或互補(bǔ)，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°. 3．下列四個結(jié)論中錯誤的個數(shù)是(　　) ①垂直于同一直線的兩條直線互相平行； ②平行于同一直線的兩直線平行； ③若直線a，b，c滿足a∥b，b⊥c，則a⊥c； ④若直線l1，l2是異面直線，則與l1，l2都相交的兩條直線是異面直線． A．1 B．2 C．3 D．4 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析?、佗芫鶠殄e誤結(jié)論．①可舉反例，如a，b，c三線兩兩垂直． ④如圖甲所示，c，d與異面直線l1，l2交于四個點(diǎn)，此時c，d異面； 當(dāng)點(diǎn)A在直線l1上運(yùn)動(其余三點(diǎn)不動)時，會出現(xiàn)點(diǎn)A與B重合的情形，如圖乙所示，此時c，d共面相交． 4．如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號) 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　②④ 解析?、僦?，∵G，M是中點(diǎn)， ∴AG∥BM，AG＝BM， ∴GM∥AB，GM＝AB，HN∥AB，HN＝AB， ∴四邊形GHNM是平行四邊形． ∴GH∥MN，即G，H，M，N四點(diǎn)共面； ②中，∵H，G，N三點(diǎn)共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點(diǎn)M顯然不在平面HGN內(nèi)， ∴H，G，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面； ③中，∵G，M是中點(diǎn)，∴GM∥CD，GM＝CD， ∴GM∥HN，GM＝HN，即GMNH是梯形，則GH，MN必相交，∴H，G，M，N四點(diǎn)共面； ④中，同②，G，H，M，N四點(diǎn)不共面，即GH與MN異面． 5．如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中． (1)求A1C1與B1C所成角的大小； (2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大?。? 考點(diǎn)　異面直線所成的角 題點(diǎn)　求異面直線所成的角 解　(1)如圖所示，連接AC，AB1. 由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形， ∴AC∥A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角． 在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°， 即A1C1與B1C所成的角為60°. (2)如圖所示，連接BD.由(1)知AC∥A1C1， ∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角． ∵EF是△ABD的中位線，∴EF∥BD. 又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1， 即A1C1與EF所成的角為90°. 1．判定兩直線的位置關(guān)系的依據(jù)就在于兩直線平行、相交、異面的定義．很多情況下，定義就是一種常用的判定方法． 2．在研究異面直線所成角的大小時，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化，這是我們學(xué)習(xí)立體幾何的一條重要的思維途徑．需要強(qiáng)調(diào)的是，兩條異面直線所成角的范圍為(0°，90°]，解題時經(jīng)常結(jié)合這一點(diǎn)去求異面直線所成角的大?。? 作異面直線所成的角．可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：①直接平移法(可利用圖中已有的平行線)；②中位線平移法；③補(bǔ)形平移法(在已知圖形中，補(bǔ)作一個相同的幾何體，以便找到平行線)． 一、選擇題 1．如圖所示，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是其所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的是(　　) 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　C 解析　選項(xiàng)A，B中RS與PQ平行；選項(xiàng)D中RS與PQ相交，故選C. 2．兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，那么這兩個三角形(　　) A．全等 B．不相似 C．僅有一個角相等 D．相似 考點(diǎn)　空間等角定理 題點(diǎn)　判斷、證明角的關(guān)系 答案　D 解析　由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應(yīng)相等，故選D. 3．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c一定(　　) A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交 C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行 考點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系的判定 答案　C 解析　若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面矛盾，故選C. 4．空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形一定是(　　) A．空間四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 考點(diǎn)　平行公理 題點(diǎn)　判斷、證明線線平行 答案　B 解析　如圖，易證四邊形EFGH為平行四邊形． 又∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)， ∴EF∥AC. 又∵FG∥BD， ∴∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角． 而AC與BD所成的角為90°， ∴∠EFG＝90°， 故四邊形EFGH為矩形． 5.如圖所示，已知在正方體ABCD—A1B1C1D1中，l平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列一定不正確的是(　　) A．l與AD平行 B．l與AB異面 C．l與CD所成角為30° D．l與BD垂直 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　A 6.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是(　　) A．CC1與B1E是異面直線 B．C1C與AE共面 C．AE與B1C1是異面直線 D．AE與B1C1所成的角為60° 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　C 解析　由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．綜上所述，故選C. 7．如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成的角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 考點(diǎn)　異面直線所成的角 題點(diǎn)　求異面直線所成的角 答案　C 解析　如圖，連接BC1，A1C1. ∵BC1∥AD1，∴異面直線A1B與AD1所成的角即為直線A1B與BC1所成的角． 在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1， ∴∠A1BC1＝60°. 故異面直線A1B與AD1所成的角為60°. 8．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c(　　) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是異面直線 D．平行、相交或異面都有可能 考點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定 答案　D 解析　當(dāng)a，b，c共面時，a∥c；當(dāng)a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交． 二、填空題 9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個結(jié)論： ①直線AM與CC1是相交直線； ②直線AM與BN是平行直線； ③直線BN與MB1是異面直線； ④直線AM與DD1是異面直線． 其中正確的結(jié)論為________．(填序號) 考點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定 答案?、邰? 解析　直線AM與CC1是異面直線，直線AM與BN也是異面直線，故①②錯誤；③④正確． 10．在空間四邊形ABCD中，如圖所示，＝，＝，則EH與FG的位置關(guān)系是________． 考點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定 答案　平行 解析　如圖，連接BD，在△ABD中，＝， 則EH∥BD， 同理可得FG∥BD. ∴EH∥FG. 11．如果兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐所在的12條直線中，異面直線共有________對． 考點(diǎn)　異面直線的判定 題點(diǎn)　異面直線的判定 答案　24 解析　六條側(cè)棱不是異面直線，一條側(cè)棱與底面六邊形的兩邊相交，與另四條邊異面，這樣異面直線一共有4×6＝24(對)． 12．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， (1)AC與DD1所成的角為________； (2)AC與D1C1所成的角為________． 考點(diǎn)　異面直線所成的角 題點(diǎn)　求異面直線所成的角 答案　(1)90°　(2)45° 解析　(1)DD1和AC是異面直線，因?yàn)锳A1∥DD1，所以∠A1AC為DD1和AC所成的角．因?yàn)锳A1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°. (2)因?yàn)镈C∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°. 三、解答題 13.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥AF，BE＝AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)． (1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形； (2)判斷C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？ 考點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系 題點(diǎn)　空間中直線與直線的位置關(guān)系判定的應(yīng)用 (1)證明　由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD， 可得GH∥AD，GH＝AD. 又BC∥AD，BC＝AD， ∴GH∥BC，GH＝BC， ∴四邊形BCHG為平行四邊形． (2)解　C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，理由如下： 由BE∥AF，BE＝AF，G為FA的中點(diǎn)知，BE∥GF，BE＝GF， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，BG＝CH， ∴EF∥CH，∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面． 四、探究與拓展 14.如圖，在三棱錐D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 考點(diǎn)　異面直線所成的角 題點(diǎn)　求異面直線所成的角 答案　B 解析　如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG. ∵E，F(xiàn)分別為CD，AB的中點(diǎn)， ∴FG∥AC，EG∥BD， 且FG＝AC，EG＝BD. 又∵AC＝BD，∴FG＝EG， ∴∠EFG為EF與AC所成的角或其補(bǔ)角． ∵AC⊥BD，∴FG⊥EG， ∴∠FGE＝90°， ∴△EFG為等腰直角三角形， ∴∠EFG＝45°，即EF與AC所成的角為45°. 15.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1與AC，AB所成的角均為60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值． 考點(diǎn)　異面直線所成的角 題點(diǎn)　求異面直線所成的角 解　如圖所示，把三棱柱補(bǔ)為四棱柱ABDC－A1B1D1C1， 連接BD1，A1D1，AD， 由四棱柱的性質(zhì)知BD1∥AC1， 則∠A1BD1就是異面直線A1B與AC1所成的角． 設(shè)AB＝a， ∵AA1與AC，AB所成的角均為60°， 且AB＝AC＝AA1， ∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a. 又∠BAC＝90°， ∴在矩形ABDC中，AD＝a， ∴A1D1＝a， ∴A1D＋A1B2＝BD， ∴∠BA1D1＝90°， ∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝. 17