2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù) 專題研究2 正、余弦定理應用舉例練習 理
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2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù) 專題研究2 正、余弦定理應用舉例練習 理
2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù) 專題研究2 正、余弦定理應用舉例練習 理1.如圖所示,為了測量某湖泊兩側A,B間的距離,李寧同學首先選定了與A,B不共線的一點C(ABC的角A,B,C所對的邊分別記為a,b,c),然后給出了三種測量方案:測量A,C,b;測量a,b,C;測量A,B,a,則一定能確定A,B間的距離的所有方案的序號為()ABC D答案D解析由題意可知,在三個條件下三角形均可唯一確定,通過解三角形的知識可求出AB.故選D.2.(2017·廣東中山上學期期末)如圖所示,設A,B兩點在河的兩岸,一測量者在A的同側,在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m,ACB45°,CAB105°后,就可以計算出A,B兩點的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由題意,得B30°.由正弦定理,得,AB50 (m)故選A.3某人在C點測得某塔在南偏西80°,塔頂仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進10米到D,測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為()A15米 B5米C10米 D1米答案C解析如圖所示,設塔高為h,在RtAOC中,ACO45°,則OCOAh.在RtAOD中,ADO30°,則ODh,在OCD中,OCD120°,CD10,由余弦定理得OD2OC2CD22OC·CDcosOCD,即(h)2h21022h×10×cos120°,h25h500,解得h10或h5(舍去)4有一長為1千米的斜坡,它的傾斜角為20°,現(xiàn)要將傾斜角改為10°,則斜坡長為()A1千米 B2sin10° 千米C2cos10° 千米 Dcos20° 千米答案C解析由題意知DCBC1,BCD160°,BD2DC2CB22DC·CB·cos160°112×1×1cos(180°20°)22cos20°4cos210°,BD2cos10°.5.(2017·湖南師大附中月考)如圖所示,測量河對岸的塔高AB時可以測量與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D,測得BCD15°,BDC30°,CD30,并在點C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高AB()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中,CBD180°45°135°.由正弦定理得,所以BC15.在RtABC中,ABBCtanACB15×15.故選D.6在200 m高的山頂上,測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為()A. m B. mC. m D. m答案A解析如圖,在RtBAC中,ABC30°,AB200,BC.EBD30°,EBC60°,DBC30°,BDC120°.在BDC中,.DC(m)7(2018·廣東佛山二模)某沿海四個城市A,B,C,D的位置如圖所示,其中ABC60°,BCD135°,AB80 n mile,BC(4030) n mile,CD250 n mile,D位于A的北偏東75°方向現(xiàn)在有一艘輪船從城市A出發(fā)以50 n mile/h的速度向城市D直線航行,60 min后,輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行,收到指令時城市C對于輪船的方位角是南偏西,則sin_答案解析設輪船行駛至F時收到指令,則AF50 n mile.連接AC,CF,過A作AEBC于E,則AEABsin60°40(n mile),BEABcos60°40(n mile),CEBCBE30(n mile),AC50(n mile),所以cosACE,sinACE,所以cosACDcos(135°ACE)××,所以CAD90°.因為AF50 n mile,AC50 n mile,可得AFC60°,所以75°AFC15°,故sin.8要測底部不能到達的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45°,在D點測得塔頂A的仰角是30°,并測得水平面上的BCD120°,CD40 m,求電視塔的高度答案40米解析如圖設電視塔AB高為x,則在RtABC中,由ACB45°,得BCx.在RtADB中,ADB30°,BDx.在BDC中,由余弦定理,得BD2BC2CD22BC·CD·cos120°.即(x)2x24022·x·40·cos120°,解得x40,電視塔高為40米9.衡水市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示,城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標志,小李、小王設計的底座形狀分別為ABC,ABD,經(jīng)測量ADBD7米,BC5米,AC8米,CD.(1)求AB的長度;(2)若環(huán)境標志的底座每平方米造價為5 000元,不考慮其他因素,小李、小王誰的設計使建造費用較低(請說明理由)?較低造價為多少?(1.732,1.414)答案(1)7米(2)小李的設計建造費用低,86 600元解析(1)在ABC中,由余弦定理,得cosC.在ABD中,由余弦定理,得cosD.由CD,得cosCcosD.AB7,AB長為7米(2)小李的設計建造費用較低,理由如下:SABDAD·BD·sinD,SABCAC·BC·sinC.AD·BD>AC·BC,SABD>SABC.故選擇ABC建造環(huán)境標志費用較低ADBDAB7,ABD是等邊三角形,D60°.SABC1010×1.73217.32.總造價為5 000×17.3286 600(元)10(2017·鹽城一模)如圖所示,經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC,根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M,N(異于村莊A),要求PMPNMN2(單位:千米)如何設計,使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)?答案當設計AMN60°時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小解析設AMN,在AMN中,.因為MN2,所以AMsin(120°)在APM中,cosAMPcos(60°)AP2AM2MP22AM·MP·cosAMPsin2(120°)42×2×sin(120°)cos(60°)sin2(60°)sin(60°)cos(60°)41cos(2120°)sin(2120°)4sin(2120°)cos(2120°)sin(2150°),(0°,120°)當且僅當2150°270°,即60°時,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.所以設計AMN60°時,工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小