2022高考數(shù)學一輪復習 第4章 三角函數(shù) 專題研究2 正、余弦定理應用舉例練習 理1.如圖所示，為了測量某湖泊兩側A，B間的距離，李寧同學首先選定了與A，B不共線的一點C(ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測量方案：測量A，C，b；測量a，b，C；測量A，B，a，則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號為()ABC D答案D解析由題意可知，在三個條件下三角形均可唯一確定，通過解三角形的知識可求出AB.故選D.2.(2017·廣東中山上學期期末)如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由題意，得B30°.由正弦定理，得，AB50 (m)故選A.3某人在C點測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進10米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A15米 B5米C10米 D1米答案C解析如圖所示，設塔高為h，在RtAOC中，ACO45°，則OCOAh.在RtAOD中，ADO30°，則ODh，在OCD中，OCD120°，CD10，由余弦定理得OD2OC2CD22OC·CDcosOCD，即(h)2h21022h×10×cos120°，h25h500，解得h10或h5(舍去)4有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則斜坡長為()A1千米 B2sin10° 千米C2cos10° 千米 Dcos20° 千米答案C解析由題意知DCBC1，BCD160°，BD2DC2CB22DC·CB·cos160°112×1×1cos(180°20°)22cos20°4cos210°，BD2cos10°.5.(2017·湖南師大附中月考)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以測量與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D，測得BCD15°，BDC30°，CD30，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中，CBD180°45°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15×15.故選D.6在200 m高的山頂上，測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為()A. m B. mC. m D. m答案A解析如圖，在RtBAC中，ABC30°，AB200，BC.EBD30°，EBC60°，DBC30°，BDC120°.在BDC中，.DC(m)7(2018·廣東佛山二模)某沿海四個城市A，B，C，D的位置如圖所示，其中ABC60°，BCD135°，AB80 n mile，BC(4030) n mile，CD250 n mile，D位于A的北偏東75°方向現(xiàn)在有一艘輪船從城市A出發(fā)以50 n mile/h的速度向城市D直線航行，60 min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市C直線航行，收到指令時城市C對于輪船的方位角是南偏西，則sin_答案解析設輪船行駛至F時收到指令，則AF50 n mile.連接AC，CF，過A作AEBC于E，則AEABsin60°40(n mile)，BEABcos60°40(n mile)，CEBCBE30(n mile)，AC50(n mile)，所以cosACE，sinACE，所以cosACDcos(135°ACE)××，所以CAD90°.因為AF50 n mile，AC50 n mile，可得AFC60°，所以75°AFC15°，故sin.8要測底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的BCD120°，CD40 m，求電視塔的高度答案40米解析如圖設電視塔AB高為x，則在RtABC中，由ACB45°，得BCx.在RtADB中，ADB30°，BDx.在BDC中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BC·CD·cos120°.即(x)2x24022·x·40·cos120°，解得x40，電視塔高為40米9.衡水市某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為ABC，ABD，經(jīng)測量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.(1)求AB的長度；(2)若環(huán)境標志的底座每平方米造價為5 000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用較低(請說明理由)？較低造價為多少？(1.732，1.414)答案(1)7米(2)小李的設計建造費用低，86 600元解析(1)在ABC中，由余弦定理，得cosC.在ABD中，由余弦定理，得cosD.由CD，得cosCcosD.AB7，AB長為7米(2)小李的設計建造費用較低，理由如下：SABDAD·BD·sinD，SABCAC·BC·sinC.AD·BD>AC·BC，SABD>SABC.故選擇ABC建造環(huán)境標志費用較低ADBDAB7，ABD是等邊三角形，D60°.SABC1010×1.73217.32.總造價為5 000×17.3286 600(元)10(2017·鹽城一模)如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M，N(異于村莊A)，要求PMPNMN2(單位：千米)如何設計，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠)?答案當設計AMN60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小解析設AMN，在AMN中，.因為MN2，所以AMsin(120°)在APM中，cosAMPcos(60°)AP2AM2MP22AM·MP·cosAMPsin2(120°)42×2×sin(120°)cos(60°)sin2(60°)sin(60°)cos(60°)41cos(2120°)sin(2120°)4sin(2120°)cos(2120°)sin(2150°)，(0°，120°)當且僅當2150°270°，即60°時，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以設計AMN60°時，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小