2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練41 空間幾何體的表面積和體積 文一、選擇題1如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖，其俯視圖是面積為8的矩形則該幾何體的表面積是()A8 B208C16 D248解析由題意可知，該幾何體是底面為直角三角形的直三棱柱，其側(cè)棱為4，故其表面積S表2×42×42×4×2×2×2208.答案B2已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長均為1，且AA1底面ABC，則三棱錐B1ABC1的體積為()A. B.C. D.解析VB1ABC1VC1ABB1××1×1×.答案A3(2015·全國卷)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 ()A14斛 B22斛C36斛 D66斛解析米堆的體積為×××2×5.將3代入上式，得體積為立方尺從而這堆米約有22(斛)答案B4(2017·河北唐山二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積為()A24 B243 C24 D242解析由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體挖去右下方球后得到的幾何體，該球以頂點(diǎn)為球心，2為半徑，則該幾何體的表面積為2×2×63×××22×4××2224，故選A.答案A5(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.1 B.3C.1 D.3解析由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個(gè)圓錐和一個(gè)三棱錐組成的，故該幾何體的體積V××3××2×1×31，故選A.答案A6(2017·全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都是由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12 C14 D16解析由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個(gè)面是梯形，這些梯形的面積之和為×212，故選B.答案B二、填空題7(2017·天津卷)已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_解析由正方體的表面積為18，得正方體的棱長為.設(shè)該正方體外接球的半徑為R，則2R3，R，所以這個(gè)球的體積為R3×.答案8下圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是_解析該幾何體是一個(gè)長方體挖去一半球而得，直觀圖如圖所示，(半)球的半徑為1，長方體的長、寬、高分別為2、2、1，該幾何體的表面積為：S16×4×12×1216.答案169(2017·山東卷)由一個(gè)長方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_解析由三視圖可知，該組合體中的長方體的長、寬、高分別為2,1,1，其體積V12×1×12；兩個(gè)圓柱合起來就是圓柱的一半，圓柱的底面半徑r1，高h(yuǎn)1，故其體積V2××12×1.故該幾何體的體積VV1V22.答案2三、解答題10如圖，在四邊形ABCD中，DAB90°，ADC135°，AB5，CD2，AD2，求四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積解由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面S圓臺(tái)側(cè)S圓臺(tái)下底S圓錐側(cè)(25)×5×25×2×2(604)，VV圓臺(tái)V圓錐(·22·52)×4×22×2.能力提升11(2015·全國卷)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A36 B64 C144 D256解析如圖，設(shè)點(diǎn)C到平面OAB的距離為h，球O的半徑為R，因?yàn)锳OB90°，所以SOABR2，要使VOABC·SOAB·h最大，則OA，OB，OC應(yīng)兩兩垂直，且(VOABC)max×R2×RR336，此時(shí)R6，所以球O的表面積為S球4R2144.故選C.答案C12(2017·重慶診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B2 C. D3解析該幾何體的直觀圖是如圖所示的不規(guī)則幾何體ABB1DC1C，其體積是底邊邊長為2的等邊三角形，高為3的正三棱柱ABCA1B1C1的體積減去三棱錐AA1C1D的體積，即3×3×.答案C13(2017·河南南陽一中四模)球O為正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，AB2，E，F(xiàn)分別為棱AD，CC1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長為_解析設(shè)EF與球面交于M，N兩點(diǎn)，因?yàn)锳B2，E，F(xiàn)分別為棱AD，CC1的中點(diǎn)，所以EF，OEOF，取EF中點(diǎn)O，則OF，所以O(shè)O.由球O為正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，可得ON1，由勾股定理得ON，故MN.所以直線EF被球O截得的線段長為.答案14如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PD底面ABCD，且PD2，PAPC2，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是_解析由已知得，PAD，PDC，PAB，PBC都是直角三角形設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP，易知VPABCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即×22×2×22×R××22×R××2×2×R××2×2×R××22×R，解得R2，所以此球的最大半徑是2.答案215如圖，在直三棱柱ABCABC中，ABC為等邊三角形，AA平面ABC，AB3，AA4，M為AA的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC的交點(diǎn)為N，求：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長；(2)PC與NC的長；(3)三棱錐CMNP的體積解(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對(duì)角線長為.(2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB展開，如下圖，設(shè)PCx，則MP2MA2(ACx)2.MP，MA2，AC3，x2，即PC2.又NCAM，故，即.NC.(3)SPCN×CP×CN×2×.在三棱錐MPCN中，M到面PCN的距離，即h×3.VCMNPVMPCN·h·SPCN××.16(2017·全國卷)如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)證明：ACBD；(2)已知ADC是正三角形，ABBD，若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比解(1)證明：取AC的中點(diǎn)O，連接BO、DO，如圖所示因?yàn)锳DCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.從而AC平面DOB，故ACBD.(2)連接EO.由(1)及題設(shè)知，ADC90°，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90°.由題設(shè)知AEC為直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E為BD的中點(diǎn)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.延伸拓展(2017·安徽蚌埠一模)如圖所示，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為4的雞蛋(視為球體)放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B.C. D.解析蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1.因?yàn)殡u蛋的表面積為4，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離d，而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.答案D