2022屆高考數(shù)學總復(fù)習 第二單元 函數(shù) 第13講 函數(shù)與方程檢測 1．(2015·安徽卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是(D) A．y＝ln x B．y＝x2＋1 C．y＝sin x D．y＝cos x A是非奇非偶函數(shù)，故排除；B是偶函數(shù)，但沒有零點，故排除；C是奇函數(shù)，故排除；y＝cos x是偶函數(shù)，且有無數(shù)個零點．故選D. 2．(2016·湖南省六校聯(lián)考)已知2是函數(shù)f(x)＝ 的一個零點，則f[f(4)]的值是(A) A．3 B．2 C．1 D．log23 由題意log2(2＋m)＝0，所以m＝－1. 所以f[f(4)]＝f(log23)＝2log23＝3，選A. 3．已知[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，g(x)＝[x]．若x0是函數(shù)f(x)＝ln x－的零點，則g(x0)等于(B) A．1 B．2 C．3 D．4 由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－>0， 所以x0∈(2,3)，所以g(x0)＝[x0]＝2. 4．(2016·福州市畢業(yè)班質(zhì)量檢查)已知函數(shù)f(x)＝ 若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是(B) A．(－1,1) B．(0,1) C．(0,1] D．(－1,0) 畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，如下圖所示． 方程f(x)＝k有兩個不同的實根等價于y＝k與函數(shù)y＝f(x)的圖象有兩個交點，由圖象知，0<k<1，故選B. 5．求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實數(shù)根，取區(qū)間的中點x0＝2.5，那么下一個有根的區(qū)間是　[2,2.5]　. 設(shè)f(x)＝x3－2x－5，f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(2.5)＝5.625>0，所以f(x)＝0的下一個有根的區(qū)間為[2,2.5]． 6．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8的零點x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，則a＋b＝　5　. 因為f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函數(shù)f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3，所以a＋b＝5. 7．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋a，方程f(x)－x＝0的兩根為x1和x2. (1)若x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求實數(shù)a的取值范圍； (2)若滿足0<x1<x2<1，求實數(shù)a的取值范圍． (1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a. 由于x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)， 所以即 解得－<a<0. 故所求實數(shù)a的取值范圍是(－，0)． (2)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a， 由題意可得 ? 解得0<a<3－2. 所以所求實數(shù)a的取值范圍是(0,3－2)． 8．(2017·廣州市二測)在區(qū)間[－1,5]上隨機地取一個實數(shù)a，則方程x2－2ax＋4a－3＝0有兩個正根的概率為(C) A. B. C. D. x2－2ax＋4a－3＝0有兩個正根? ??<a≤1或3≤a≤5. 故所求概率P＝＝. 9．(2018·河北五校高三聯(lián)考)奇函數(shù)f(x)，偶函數(shù)g(x)的圖象分別如圖1,2所示，函數(shù)f[g(x)]，g[f(x)]的零點個數(shù)分別為m，n，則m＋n＝ 　10　. 由圖可知，圖1為f(x)的圖象，f(x)的零點為－1,0,1. 圖2為g(x)的圖象，零點為x1,0，x2，其中x1∈(－2，－1)，x2∈(1,2)． 方程f[g(x)]＝0?g(x)＝－1，或g(x)＝0，或g(x)＝1. 由圖2可知g(x)＝－1，或g(x)＝0，或g(x)＝1的根有x＝－1，x＝1；x＝x1，x＝0，x＝x2；x＝－2，x＝2共7個． 所以函數(shù)f[g(x)]的零點共有7個，即m＝7. 而g[f(x)]＝0?f(x)＝x1，或f(x)＝x2，或f(x)＝0. 因為x1∈(－2，－1)，x2∈(1,2)， 所以f(x)＝x1，f(x)＝x2無解． 而f(x)＝0的解為x＝－1,0,1有3個． 所以函數(shù)g[f(x)]的零點有3個，即n＝3. 所以m＋n＝10. 10．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)． (1)若g(x)＝m有零點，求m的取值范圍； (2)確定m的取值范圍，使得函數(shù)F(x)＝g(x)－f(x)有兩個不同的零點． 　　 (1)因為g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號成立的條件是x＝e， 故g(x)的值域為[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點． 即m的取值范圍為[2e，＋∞)． (2)函數(shù)F(x)＝g(x)－f(x)有兩個不同的零點， 即g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根， 即g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點， 作出g(x)＝x＋(x>0)的圖象． 因為f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2， 其對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為m－1＋e2， 故當m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點， 即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． 所以m的取值范圍是(－e2＋2e＋1，＋∞)．