2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練06 與四邊形有關(guān)的計(jì)算與證明練習(xí) 湘教版|類型1|平行四邊形背景問題1.xx·曲靖 如圖T6-1,在平行四邊形ABCD的邊AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,連接EF,點(diǎn)M,N是線段EF上的兩點(diǎn),且EM=FN,連接AN,CM.(1)求證:AFNCEM.(2)若CMF=107°,CEM=72°,求NAF的度數(shù).圖T6-12.xx·貴陽 如圖T6-2,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱,AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱.(1)求證:AEF是等邊三角形;(2)若AB=2,求AFD的面積.圖T6-2|類型2|特殊四邊形背景問題3.xx·德陽 如圖T6-3,點(diǎn)E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上一點(diǎn),若AE=DC=2ED,且EFEC.(1)求證:點(diǎn)F為AB的中點(diǎn);(2)EF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,連接AH,若ED=2,求AH的值.圖T6-34.xx·呼和浩特 如圖T6-4,已知A,F,C,D四點(diǎn)在同一條直線上,AF=CD,ABDE,且AB=DE.(1)求證:ABCDEF;(2)若EF=3,DE=4,DEF=90°,請(qǐng)直接寫出使四邊形EFBC為菱形時(shí)AF的長(zhǎng)度.圖T6-45.xx·遵義 如圖T6-5,正方形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AB,BC上(AE<BE),且EOF=90°,OE,DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,OF,AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N,連接MN.(1)求證:OM=ON;(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E為OM的中點(diǎn),求MN的長(zhǎng).圖T6-56.xx·江西 在菱形ABCD中,ABC=60°,點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn),以AP為邊向右側(cè)作等邊三角形APE,點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.(1)如圖T6-6,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí),連接CE,BP與CE的數(shù)量關(guān)系是,CE與AD的位置關(guān)系是. (2)當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)予以證明;若不成立,請(qǐng)說明理由(選擇圖,圖中的一種情況予以證明或說明理由).(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長(zhǎng)線上時(shí),連接BE,若AB=2,BE=2,求四邊形ADPE的面積.圖T6-6參考答案1.解:(1)證明:由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以ABCD,所以CEM=AFN,又AF=CE,EM=FN,所以AFNCEM.(2)因?yàn)镃MF=107°,CEM=72°,且CMF=CEM+ECM,所以ECM=CMF-CEM=107°-72°=35°.因?yàn)锳FNCEM,所以NAF=ECM=35°.因此NAF的度數(shù)是35°.2.解:(1)證明:在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,DAE=AEB=90°.點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),在RtAED中,FE=AF.AE與AF關(guān)于AG對(duì)稱,AE=AF.AE=AF=EF.AEF是等邊三角形.(2)AEF是等邊三角形,EAF=AEF=60°,EAG=EDA=30°.AB與AG關(guān)于AE對(duì)稱,BAE=EAG=30°.在RtABE中,AB=2,BE=AB=1,AE=.DE=2,AD=3.SAFD=SADE=××AE×AD=×××3=.3.解:(1)證明:EFEC,CEF=90°,AEF+DEC=90°.四邊形ABCD是矩形,BAD=D=90°,AEF+AFE=90°,AFE=DEC.AE=DC,AEFDCE,ED=AF.AE=DC=AB=2DE,AB=2AF,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).(2)由(1)得AF=FB,且AEBH,FAE=FBH=90°,AEF=BHF,AEFBHF,AE=HB.ED=2,且AE=2ED,AE=4,HB=AB=AE=4,AH2=AB2+BH2=16+16=32,AH=4.4.解:(1)證明:ABDE,A=D.AF=CD,AC=DF.又AB=DE,ABCDEF.(2)由勾股定理得DF=5,作EPDF于P,則EP=.四邊形BCEF是菱形,EF=CE,由勾股定理得FP=,則CP=FP=,AF=DC=DF-CF=5-2×=.5.解:(1)證明:正方形ABCD中,AC=BD,OA=AC,OB=BD,所以O(shè)A=OB.因?yàn)锳CBD,所以AOB=AOD=90°,所以O(shè)AD=OBA=45°,所以O(shè)AM=OBN,又因?yàn)镋OF=90°,所以AOM=BON,所以AOMBON,所以O(shè)M=ON.(2)過點(diǎn)O作OPAB于P,所以O(shè)PA=90°,所以O(shè)PA=MAE,因?yàn)镋為OM的中點(diǎn),所以O(shè)E=ME,又因?yàn)锳EM=PEO,所以AEMPEO,所以AE=EP.因?yàn)镺A=OB,OPAB,所以AP=BP=AB=2,所以EP=1.RtOPB中,OBP=45°,所以O(shè)P=PB=2,RtOEP中,OE=,所以O(shè)M=2OE=2,RtOMN中,OM=ON,所以MN=OM=2.6.解析 (1)結(jié)論:BP=CE,CEAD.連接AC,證明BAPCAE即可解決問題;(2)結(jié)論仍然成立.證明方法與(1)類似;(3)利用(2)的結(jié)論,然后通過解直角三角形求出AP,DP,OA即可解決問題.解:(1)BP=CECEAD連接AC交BD于O點(diǎn),如圖,BA=BC,ABC=60°,ABC是等邊三角形,AC=AB,BAC=60°=PAE,BAP=CAE.在BAP和CAE中,BAPCAE(SAS),BP=CE.BAPCAE,ACE=ABP=ABC=30°,ACD=60°,ECD=30°,CE為ACD的角平分線,CA=CD,由三線合一知CEAD.(2)仍然成立,選擇圖,理由如下:如圖,連接AC交BD于O點(diǎn),設(shè)CE交AD于點(diǎn)H,在菱形ABCD中,ABC=60°,BA=BC,ABC為等邊三角形,BA=CA.APE為等邊三角形,AP=AE,PAE=BAC=60°,BAP=CAE.在BAP和CAE中,BAPCAE(SAS),BP=CE,ACE=ABP=30°.又CAD=60°,AHC=90°,即CEAD.選擇圖,理由如下:如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,設(shè)CE交AD于點(diǎn)H.同理得BAPCAE,BP=CE,ACE=ABP=30°,又CAD=60°,AHC=90°,即CEAD.(3)如圖,連接AC交BD于點(diǎn)O,連接CE交AD于點(diǎn)H.由(2)可知,CEAD,CE=BP,在菱形ABCD中,ADBC,ECBC.BC=AB=2,BE=2,在RtBCE中,CE=8,BP=CE=8.AC與BD是菱形的對(duì)角線,ABD=ABC=30°,ACBD,BD=2BO=2AB·cos30°=6,AO=AB=,DP=BP-BD=8-6=2,OP=OD+DP=5.在RtAOP中,AP=2,S四邊形ADPE=SADP+SAPE=DP·AO+·AP2=×2×+×(2)2=8.