2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 提分專練04 二次函數(shù)小綜合練習(xí) 湘教版|類型1|二次函數(shù)與其他函數(shù)的綜合1.如圖T4-1,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),二次函數(shù)y=ax2+bx(a0),一次函數(shù)y=ax+b(a0)以及反比例函數(shù)y=(k0)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A,其中一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象還交于另一點(diǎn)B,且一次函數(shù)的圖象與x軸,y軸分別交于點(diǎn)C,D.若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1,該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=2,有下列結(jié)論:b=-4a;a+b>k;8a+4b>k;a+2b>4k.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()圖T4-1A.1B.2C.3D.42.如圖T4-2,曲線BC是反比例函數(shù)y=(4x6)圖象的一部分,其中B(4,1-m),C(6,-m),拋物線y=-x2+2bx的頂點(diǎn)記作A.(1)求k的值.(2)判斷點(diǎn)A是否可與點(diǎn)B重合.(3)若拋物線與曲線BC有交點(diǎn),求b的取值范圍.圖T4-2|類型2|二次函數(shù)與幾何圖形綜合3.xx·岳陽 已知拋物線F:y=x2+bx+c經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且與x軸另一交點(diǎn)為-,0.(1)求拋物線F的表達(dá)式.(2)如圖T4-3,直線l:y=x+m(m>0)與拋物線F相交于點(diǎn)A(x1,y1)和點(diǎn)B(x2,y2)(點(diǎn)A在第二象限),求y2-y1的值(用含m的式子表示).(3)在(2)中,若m=,設(shè)點(diǎn)A'是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn),如圖T4-3.判斷AA'B的形狀,并說明理由.平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)A,B,A',P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.圖T4-34.xx·益陽 如圖T4-4,已知拋物線y=x2-x-n(n>0)與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊),與y軸交于點(diǎn)C.(1)如圖,若ABC為直角三角形,求n的值;(2)如圖,在(1)的條件下,點(diǎn)P在拋物線上,點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上,若以BC為邊,以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖,過點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)E,若AEED=14,求n的值.圖T4-45.xx·張家界 如圖T4-5,已知二次函數(shù)y=ax2+1(a0,a為實(shí)數(shù))的圖象過點(diǎn)A(-2,2),一次函數(shù)y=kx+b(k0,k,b為實(shí)數(shù))的圖象l經(jīng)過點(diǎn)B(0,2).(1)求a的值并寫出二次函數(shù)的表達(dá)式;(2)求b的值;(3)設(shè)直線l與二次函數(shù)的圖象交于M,N兩點(diǎn),過點(diǎn)M作MC垂直x軸于點(diǎn)C,試證明:MB=MC;(4)在(3)的條件下,請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系,并說明理由.圖T4-5參考答案1.B解析 對稱軸為直線x=-=2,b=-4a,故結(jié)論正確;一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)A,x=1時(shí),a+b=k,故結(jié)論錯誤;由圖象可知,4a+2b>,8a+4b>k,故結(jié)論正確;a+2b=-+2b=b,4k=4(a+b)=4-+b=3b,二次函數(shù)圖象開口向下,a<0,b=-4a>0,b<3b,a+2b<4k,故結(jié)論錯誤.2.解:(1)B(4,1-m),C(6,-m)在反比例函數(shù)y=的圖象上,k=4(1-m)=6×(-m),解得m=-2,k=4×1-(-2)=12.(2)m=-2,B(4,3),拋物線y=-x2+2bx=-(x-b)2+b2,A(b,b2).若點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則有b=4,且b2=3,顯然不成立,點(diǎn)A不與點(diǎn)B重合.(3)當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(4,3)時(shí),有3=-42+2b×4,解得b=,顯然拋物線右半支經(jīng)過點(diǎn)B;當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(6,2)時(shí),有2=-62+2b×6,解得b=,這時(shí)仍然是拋物線右半支經(jīng)過點(diǎn)C.故b的取值范圍為b.3.解析 (1)將(0,0)和-,0代入y=x2+bx+c,解出b和c即可.(2)首先聯(lián)立y=x+m與y=x2+x,解出x1和x2,然后將x1和x2分別代入y=x+m,解出y1和y2,進(jìn)而得出結(jié)果.(3)首先根據(jù)題意得出A'的坐標(biāo),進(jìn)而得出A'B的長度,根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)得出OA的長度,進(jìn)而得出AA',然后根據(jù)三角函數(shù)的定義得出sinA',進(jìn)而得出A'的度數(shù),進(jìn)而得出AA'B的形狀;分別以AA',A'B和AB為菱形的對角線,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.解:(1)根據(jù)題意,得解得拋物線F的表達(dá)式為y=x2+x.(2)聯(lián)立y=x+m與y=x2+x,解得x1=-,x2=,y1=x1+m=-+m,y2=x2+m=+m,y2-y1=+m-+m=.(3)AA'B是等邊三角形.理由:當(dāng)m=時(shí),x1=-,x2=,y1=,y2=2,A-,B,2.點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于原點(diǎn)對稱,A',-,A'B=2-=.OA=,OA'=,AA'=,A'B=AA'.點(diǎn)A到BA'的距離d=+=,sinA'=,A'=60°,AA'B是等邊三角形.存在.若以AA'為菱形的對角線,則點(diǎn)P與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,-2;若以A'B為菱形的對角線,則點(diǎn)P為將點(diǎn)A向右移動2d個(gè)單位長度得到的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,;若以AB為菱形的對角線,則點(diǎn)P為將點(diǎn)A向上移動A'B個(gè)單位長度得到的點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,.綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,-2或2,或-,.4.解析 (1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求出n的值;(2)因?yàn)橐訠C為邊,所以PQBC,PQBC可分為點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)兩種情況;(3)過點(diǎn)D作DFx軸,垂足為F,構(gòu)造ADFBCO,利用三角形相似,結(jié)合點(diǎn)A和點(diǎn)D在拋物線上列方程組求解.解:(1)若ABC為直角三角形,則OC2=OA·OB.由拋物線y=x2-x-n(n>0),可得OC=n,OA·OB=2n,n2=2n,解得n1=2,n2=0(舍去),n=2.(2)由(1)可知拋物線的表達(dá)式為y=x2-x-2,拋物線的對稱軸為直線x=.令y=0,得x1=-1,x2=4,A(-1,0),B(4,0).設(shè)點(diǎn)Pm,m2-m-2,當(dāng)直線PQBC,點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)(如圖所示),BOC平移到QNP的位置時(shí),四邊形PQBC為平行四邊形,此時(shí)NQ=OB,即-m=4,則m=-,則m2-m-2=,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)時(shí)(如圖所示),同理可得m-=4,即m=,則m2-m-2=,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,.綜上所述,滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為-,.(3)過點(diǎn)D作DFx軸,垂足為F.如圖,則AOOF=AEED=14.設(shè)A(a,0),B(b,0),則AO=-a,OF=-4a.ADBC,OBC=DAO.BOC=AFD=90°,BOCAFD,=,即=,=.由題意得ab=-2n,=-,DF=-5a·=-5a·-=a2.點(diǎn)A,D在拋物線上,解得n的值為.5.解析 (1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)的表達(dá)式,即可求出a的值,進(jìn)而得到二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的表達(dá)式,即可求出b的值.(3)過點(diǎn)M作MEy軸于點(diǎn)E,設(shè)Mx,x2+1,進(jìn)而用含x的式子分別表示MB和MC.(4)過點(diǎn)N作NDx軸于點(diǎn)D,取MN的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)N作NHMC于點(diǎn)H,交PF于點(diǎn)G.根據(jù)(3)知NB=ND,通過等量代換,得出PF=MN.解:(1)根據(jù)題意,得2=a×(-2)2+1,解得a=,y=x2+1.(2)根據(jù)題意,得2=k×0+b,解得b=2.(3)證明:如圖,過點(diǎn)M作MEy軸于點(diǎn)E.設(shè)Mx,x2+1,則MC=x2+1,ME=|x|,EB=.MB=x2+1,MB=MC.(4)相切.理由如下:如圖,過點(diǎn)N作NDx軸于D,取MN的中點(diǎn)為P,過點(diǎn)P作PFx軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)N作NHMC于點(diǎn)H,交PF于點(diǎn)G.由(3)知NB=ND,MN=NB+MB=ND+MC.PG=MH,ND=GF=HC,PF=PG+GF,2PF=2PG+2GF=MH+ND+HC=ND+MC,PF=MN,以線段MN為直徑的圓與x軸相切.