2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時(shí)訓(xùn)練 選修4-2
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2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時(shí)訓(xùn)練 選修4-2
2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時(shí)訓(xùn)練 選修4-21. 已知矩陣A,B滿足AXB,求矩陣X.解:設(shè)X,由得解得所以X.2. 已知變換矩陣A:平面上的點(diǎn)P(2,1),Q(1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3,4),Q1(0,5),求變換矩陣A.解:設(shè)所求的變換矩陣A,依題意,可得 及 ,即解得所以所求的變換矩陣A.3. 已知M,N,求二階矩陣X,使MXN.解:設(shè)X,由題意有,根據(jù)矩陣乘法法則有解得 X.4. 曲線x24xy2y21在二階矩陣M的作用下變換為曲線x22y21,求實(shí)數(shù)a,b的值解:設(shè)P(x,y)為曲線x22y21上任意一點(diǎn),P(x,y)為曲線x24xy2y21 上與P對應(yīng)的點(diǎn),則,即代入x22y21得(xay)22(bxy)21,整理得(12b2)x2(2a4b)xy(a22)y21,又x24xy2y21,所以解得5. (2017·揚(yáng)州中學(xué)期初)已知點(diǎn)M(3, 1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,在矩陣A對應(yīng)的變換作用下,得到點(diǎn)N(3,5),求a,b的值解:由題意,又,所以解得6. 已知曲線C: y22x在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到曲線C1,C1在矩陣N對應(yīng)的變換作用下得到曲線C2,求曲線C2的方程解:設(shè)ANM,則A,設(shè)P(x,y)是曲線C上任一點(diǎn),在兩次變換作用下,在曲線C2上的對應(yīng)點(diǎn)為P(x, y),則 , 即 又點(diǎn)P(x,y)在曲線C: y22x上, 22y,即曲線C2的方程為yx2.7. 設(shè)曲線2x22xyy21在矩陣A(a0)對應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2y21.求實(shí)數(shù)a,b的值解:設(shè)曲線2x22xyy21上任一點(diǎn)P(x,y)在矩陣A對應(yīng)變換作用下得到點(diǎn)P(x,y),則,所以因?yàn)閤2y21,所以(ax)2(bxy)21,即(a2b2)x22bxyy21,所以解得8. 求圓C:x2y21在矩陣A對應(yīng)的變換作用下所得的曲線的方程解:設(shè)圓C上任一點(diǎn)(x1,y1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)(x,y),則,則x1,y1,代入x2y21得所求曲線的方程為1.9. 已知矩陣A,B.若矩陣AB對應(yīng)的變換把直線l:xy20變?yōu)橹本€l,求直線l的方程解: A,B, AB.在直線l上任取一點(diǎn)P(x,y),設(shè)它是由l上的點(diǎn)P0(x0,y0)經(jīng)矩陣AB所對應(yīng)的變換作用所得, 點(diǎn)P0(x0,y0)在直線l:xy20上, x0y020.又AB,即, .將代入得xyy20,即4xy80, 直線l的方程為4xy80.10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)P(x,3)在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(y4,y2),求M2.解:依題意,即解得M2,所以M2.11. 已知曲線C1:x2y21,對它先作矩陣A對應(yīng)的變換,再作矩陣B對應(yīng)的變換,得到曲線C2:y21,求實(shí)數(shù)m的值解:BA,設(shè)P(x0,y0)是曲線C1上的任一點(diǎn),它在矩陣BA變換作用下變成點(diǎn)P(x,y),則,則即又點(diǎn)P在曲線C1上,則y21,所以m21,所以m±1.第2課時(shí)逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量1. 已知變換T:,試寫出變換T對應(yīng)的矩陣A,并求出其逆矩陣A1. 解:由T:,得A.設(shè)A1,則AA1,所以解得所以A1.2. (2017·蘇北四市期末)已知矩陣A的一個(gè)特征值為2,其對應(yīng)的一個(gè)特征向量為.求實(shí)數(shù)a,b的值解:由條件知,A2,即2,即,所以 解得3. (2017·揚(yáng)州期末)已知a,bR,若點(diǎn)M(1,2)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)N(2,7),求矩陣A的特征值解:由題意得,即解得所以A,所以矩陣A的特征多項(xiàng)式為f()2815.令f()0,解得5或3,即矩陣A的特征值為5和3.4. 已知二階矩陣A,矩陣A屬于特征值11的一個(gè)特征向量為1,屬于特征值24的一個(gè)特征向量為2,求矩陣A.解:由特征值、特征向量定義可知,A111,即1×,得同理可得解得因此矩陣A.5. 已知矩陣A,A的逆矩陣A1,求A的特征值解:AA1 , ,則解得 A ,A的特征多項(xiàng)式f()(3)(1)令f()0,解得3或1. A的特征值為3和1.6. 已知矩陣A.若矩陣A屬于特征值3的一個(gè)特征向量為,求該矩陣的另一個(gè)特征值解:因?yàn)?,則解得所以A.由f()(1)240,所以(1)(3)0,解得11,23.所以另一個(gè)特征值是1.7. 已知a,bR,矩陣A,若矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為1,屬于特征值5的一個(gè)特征向量為2.求矩陣A,并寫出A的逆矩陣解:由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為1,得, 3ab3.由矩陣A屬于特征值5的一個(gè)特征向量為2,得5, ab5.聯(lián)立,解得即A. A的逆矩陣A1.8. 設(shè)是矩陣M的一個(gè)特征向量(1) 求實(shí)數(shù)a的值;(2) 求矩陣M的特征值 解:(1) 設(shè)是矩陣M屬于特征值的一個(gè)特征向量,則,故解得 a1.(2) 令f()(1)(2)60,解得 14,21.9. 已知矩陣A將直線l:xy10變換成直線l.(1) 求直線l的方程;(2) 判斷矩陣A是否可逆若可逆,求出矩陣A的逆矩陣A1;若不可逆,請說明理由解:(1) 在直線l上任取一點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)它在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镼(x,y) , 即 點(diǎn)P(x0,y0)在直線l:xy10上, 10,即直線l的方程為4xy70.(2) det(A)70, 矩陣A可逆設(shè)A1, AA1,解得 A1.10. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)P(x,5)在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)Q(y2,y),求M1.解:依題意,即解得由逆矩陣公式知,矩陣M的逆矩陣M1,所以M1.11. (2017·南通、泰州期末)已知向量是矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(3,3),求矩陣A.解:設(shè)A,因?yàn)橄蛄渴蔷仃嘇的屬于特征值1的一個(gè)特征向量,所以(1).所以因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下變?yōu)镻(3,3),所以,所以解得所以A.