2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 專題突破練16 空間中的垂直與幾何體的體積 文1.(2018江蘇卷,15)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.2.如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)證明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn),且AEEC,求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.3.(2018江西南昌三模,文18)如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為正方形,AB=2,AE=3,DE=,EF=,cosCDE=,且EFBD.(1)證明:平面ABCD平面EDC;(2)求三棱錐A-EFC的體積.4.如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到D'EF的位置.(1)證明:ACHD'(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD'=2,求五棱錐D'-ABCFE的體積.5.(2018河南鄭州三模,文19)如圖,四棱錐E-ABCD中,ADBC,AD=AB=AE=BC=1,且BC底面ABE,M為棱CE的中點(diǎn),(1)求證:直線DM平面CBE;(2)當(dāng)四面體D-ABE的體積最大時(shí),求四棱錐E-ABCD的體積.6.如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.7.(2018全國卷3,文19)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧所在平面垂直,M是上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC平面PBD?說明理由.8.如圖(1),在直角梯形ABCD中,ADBC,ABC=90°,AB=BC=2,AD=6,CEAD于點(diǎn)E,把DEC沿CE折到D'EC的位置,使D'A=2,如圖(2).若G,H分別為D'B,D'E的中點(diǎn).(1)求證:GHD'A;(2)求三棱錐C-D'BE的體積.參考答案專題突破練16空間中的垂直與幾何體的體積1.證明 (1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,因此AB1A1B.又因?yàn)锳B1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因?yàn)锳B1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.2.(1)證明 取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO.因?yàn)锳D=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.從而AC平面DOB,故ACBD.(2)解 連接EO.由(1)及題設(shè)知ADC=90°,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90°.由題設(shè)知AEC為直角三角形,所以EO=AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=BD.故E為BD的中點(diǎn),從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.3.(1)證明 AB=2,AE=3,DE=,由勾股定理得ADDE.又正方形ABCD中ADDC,且DEDC=D,AD平面EDC.AD面ABCD,平面ABCD平面EDC.(2)解 由已知cosCDE=,連接AC交BD于G.作OECD于O,則OD=DE·cosCDE=1,OE=2.又由(1)知,平面ABCD平面EDC,平面ABCD平面EDC=CD,OE平面EDC,得OE面ABCD.由EFBD,EF=,知四邊形DEFG為平行四邊形,即DEFG,而VA-EFC=VE-AFC,進(jìn)而VA-EFC=VE-AFC=VD-AFC=VF-ADC.又由EFBD,VF-ADC=VE-ADC=×2×2×2=,所以,三棱錐A-EFC的體積為.4.(1)證明 由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得,故ACEF.由此得EFHD,EFHD',所以ACHD'.(2)解 由EFAC得.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以O(shè)H=1,D'H=DH=3.于是OD'2+OH2=(2)2+12=9=D'H2,故OD'OH.由(1)知ACHD',又ACBD,BDHD'=H,所以AC平面BHD',于是ACOD'.又由OD'OH,ACOH=O,所以,OD'平面ABC.又由得EF=.五邊形ABCFE的面積S=×6×8-×3=.所以五棱錐D'-ABCFE的體積V=×2.5.解 (1)AE=AB,設(shè)N為EB的中點(diǎn),ANEB.又BC平面AEB,AN平面AEB,BCAN.又BCBE=B,AN平面BCE.MNBC,MN=BC,AD􀱀MN.四邊形ANMD為平行四邊形,DMAN,DM平面CBE.(2)設(shè)EAB=,AD=AB=AE=1,且AD底面ABE,則四面體D-ABE的體積V=×AE·AB·sin ·AD=sin ,當(dāng)=90°,即AEAB時(shí)體積最大.又BC平面AEB,AE平面AEB,AEBC,BCAB=B,AE平面ABC,VE-ABCD=×(1+2)×1×1=.6.(1)證明 延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示.因?yàn)槠矫鍮CFE平面ABC,且ACBC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因?yàn)镋FBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解 因?yàn)锽F平面ACK,所以BDF是直線BD與平面ACFD所成的角.在RtBFD中,BF=,DF=,得cosBDF=,所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為.7.解 (1)由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC平面PBD.證明如下:連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn),所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.8.(1)證明 連接BE,GH,AC,在AED'中,ED'2=AE2+AD'2,可得AD'AE.又DC=2,AC=2,可得AC2+AD'2=CD'2,可得AD'AC.因?yàn)锳EAC=A,所以AD'平面ABCE,所以AD'BE.又G,H分別為D'B,D'E的中點(diǎn),所以GHBE,所以GHD'A.(2)解 設(shè)三棱錐C-D'BE的體積為V,則V=SBCE·AD'=×2×2×2.