2022年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 專題三 三角函數(shù) 解三角形與平面向量 第3講 平面向量試題1(xx·課標(biāo)全國)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A.B.C.D.2(xx·四川)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，|6，|4，若點(diǎn)M，N滿足3，2，則·等于()A20 B. 15 C9 D63(xx·江蘇)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，則mn的值為_4(xx·湖南)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足|1，則|的最大值是_1.考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算，多以熟知的平面圖形為背景進(jìn)行考查，多為選擇題、填空題、難度中低檔.2.考查平面向量的數(shù)量積，以選擇題、填空題為主，難度低；向量作為工具，還常與三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何結(jié)合，以解答題形式出現(xiàn).熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算(1)在平面向量的化簡或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化；(2)在用三角形加法法則時(shí)要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)所在的向量；在用三角形減法法則時(shí)要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量例1(1)(xx·陜西)設(shè)0<<，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，則tan _.(2)如圖，在ABC中，AFAB，D為BC的中點(diǎn)，AD與CF交于點(diǎn)E.若a，b，且xayb，則xy_.思維升華(1)對于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底；同時(shí)注意共線向量定理的靈活運(yùn)用(2)運(yùn)算過程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系跟蹤演練1(1)(xx·黃岡中學(xué)期中)已知向量i與j不共線，且imj，nij，m1，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1(2)(xx·北京)在ABC中，點(diǎn)M，N滿足2，.若xy，則x_；y_.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積(1)數(shù)量積的定義：a·b|a|b|cos .(2)三個(gè)結(jié)論若a(x，y)，則|a|.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .例2(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB8，AD5，3，·2，則·的值是_(2)在AOB中，G為AOB的重心，且AOB60°，若·6，則|的最小值是_思維升華(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義；(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算跟蹤演練2(1)(xx·山東)過點(diǎn)P(1，)作圓x2y21的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則·_.(2)(xx·課標(biāo)全國)已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若()，則與的夾角為_熱點(diǎn)三平面向量與三角函數(shù)平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運(yùn)算作為題目條件例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0<<x<.(1)若，求函數(shù)f(x)b·c的最小值及相應(yīng)x的值；(2)若a與b的夾角為，且ac，求tan 2的值思維升華在平面向量與三角函數(shù)的綜合問題中，一方面用平面向量的語言表述三角函數(shù)中的問題，如利用向量平行、垂直的條件表述三角函數(shù)式之間的關(guān)系，利用向量模表述三角函數(shù)之間的關(guān)系等；另一方面可以利用三角函數(shù)的知識解決平面向量問題，在解決此類問題的過程中，只要根據(jù)題目的具體要求，在向量和三角函數(shù)之間建立起聯(lián)系，就可以根據(jù)向量或者三角函數(shù)的知識解決問題跟蹤演練3(xx·遼寧)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知·2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值1如圖，在ABC中，DEBC交AC于E，BC邊上的中線AM交DE于N，設(shè)a，b，用a，b表示向量.則等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)2如圖，BC、DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，2，則·等于()A B C D3已知向量a(1,2)，b(cos ，sin )，且ab，則tan(2)_.4如圖，在半徑為1的扇形AOB中，AOB60°，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則·最小值是_二輪專題強(qiáng)化練專題三 第3講平面向量A組專題通關(guān)1(xx·佛山月考)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則等于()A(2,4) B(3,5)C(1,1) D(1，1)2(xx·安徽)ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A|b|1 BabCa·b1 D(4ab)3在ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)，且，P是BN邊上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為()A. B.C1 D34(xx·福建)已知，|，|t，若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則·的最大值等于()A13 B15 C19 D215(xx·湖北)已知向量，|3，則·_.6若點(diǎn)M是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足53，則ABM與ABC的面積比值為_7(xx·天津)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，則·的值為_8設(shè)向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定義一種向量積ab(a1b1，a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，點(diǎn)P(x，y)在ysin x的圖象上運(yùn)動(dòng)，Q是函數(shù)yf(x)圖象上的點(diǎn)，且滿足mn(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)yf(x)的值域是_9(xx·惠州二調(diào))設(shè)向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b|，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)f(x)a·b，求f(x)的最大值10已知向量a(2sin(x)，0)，b(2cos x,3)(>0)，函數(shù)f(x)a·b的圖象與直線y2的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為.(1)求的值；(2)求函數(shù)f(x)在0,2上的單調(diào)遞增區(qū)間B組能力提高11已知非零單位向量a與非零向量b滿足|ab|ab|，則向量ba在向量a上的投影為()A1 B.C1 D12已知a，b是單位向量，a·b0，若向量c滿足|cab|1，則|c|的取值范圍是()A1，1 B1，2C1，1 D1，213(xx·江蘇)設(shè)向量ak(k0,1,2，12)，則(ak·ak1)的值為_14(xx·陜西)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，點(diǎn)P(x，y)在ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上(1)若0，求|；(2)設(shè)mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值學(xué)生用書答案精析第3講平面向量高考真題體驗(yàn)1A3，3()，即43，.2C，·(43)·(43)(16292)(16×629×42)9，選C.33解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.4.1解析設(shè)D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即動(dòng)點(diǎn)D的軌跡為以點(diǎn)C為圓心的單位圓又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.問題轉(zhuǎn)化為圓(x3)2y21上的點(diǎn)與點(diǎn)P(1，)間距離的最大值圓心C(3,0)與點(diǎn)P(1，)之間的距離為，故的最大值為1.熱點(diǎn)分類突破例1(1)(2)解析(1)因?yàn)閍b，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因?yàn)?<<，所以cos >0，得2sin cos ，tan .(2)如圖，設(shè)FB的中點(diǎn)為M，連接MD.因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，M為FB的中點(diǎn)，所以MDCF.因?yàn)锳FAB，所以F為AM的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)方法一因?yàn)閍，b，D為BC的中點(diǎn)，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab.所以x，y，所以xy.方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF.因?yàn)閎a，所以(ba)ab.所以x，y，則xy.跟蹤演練1(1)C(2)解析(1)因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以imj(nij)，m1，又向量i與j不共線，所以所以mn1.(2)如圖，()，x，y.例2(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因?yàn)?#183;2，所以()·()2，即2·22.又因?yàn)?25，264，所以·22.(2)如圖，在AOB中，×()()，又·|·cos 60°6，|12，|2()2(|2|22·)(|2|212)×(2|12)×364(當(dāng)且僅當(dāng)|時(shí)取等號)|2，故|的最小值是2.跟蹤演練2(1)(2)90°解析(1)由題意，圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，P(1，)，PAx軸，PAPB.POA為直角三角形，其中OA1，AP，則OP2，OPA30°，APB60°.·|·cosAPB××cos 60°.(2)()，點(diǎn)O是ABC中邊BC的中點(diǎn)，BC為直徑，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)有，90°.例3解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)b·ccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，則2sin xcos xt21，且1<t<.則yt2t12，1<t<，t時(shí)，ymin，此時(shí)sin xcos x，即sin，<x<，<x<，x，x.函數(shù)f(x)的最小值為，相應(yīng)x的值為.(2)a與b的夾角為，cos cos cos xsin sin xcos(x)0<<x<，0<x<，x.ac，cos (sin x2sin )sin (cos x2cos )0，sin(x)2sin 20，即sin2sin 20.sin 2cos 20，tan 2.跟蹤演練3解(1)由·2得c·acos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292×6×13.解得或因?yàn)閍>c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B×.因?yàn)閍b>c，所以C為銳角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C××.高考押題精練1C因?yàn)镈EBC，所以DNBM，則ANDAMB，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以()(ab)，所以(ab)故選C.2B2，圓O的半徑為1，|，·()·()2·()·()201.3解析因?yàn)閍(1,2)，b(cos ，sin )，且ab，所以cos 2sin 0，則tan .所以tan 2.所以tan(2).4解析因?yàn)椋?#183;()··()2.又因?yàn)锳OB60°，OAOB，OBA60°.OB1.所以·|cos 120°|.所以·|2(|)2.故當(dāng)且僅當(dāng)|時(shí)，·最小值是.二輪專題強(qiáng)化練答案精析第3講平面向量1C(2,4)(1,3)(1,1)2D在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以a·b|a|b|cos 120°1，所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，故選D.3B如圖，因?yàn)?，所以，mm，因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以m1，所以m.4.A建立如圖所示坐標(biāo)系，則B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，··(1，t4)1717213，故選A.59解析因?yàn)?，所?#183;0.所以··()2·|20329.6.解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由53，得3322，即32.如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線，且，也就是ABM與ABC對于邊AB的兩高之比為35，則ABM與ABC的面積比值為.7.解析在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60°，CD1，······2×1×cos 60°2××1×cos 60°××cos 120°.8，解析令Q(c，d)，由新的運(yùn)算可得mn(2x，sin x)(，0)(2x，sin x)，消去x得dsin(c)，yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是，9解(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，從而sin x，所以x.(2)f(x)a·bsin x·cos xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x)，當(dāng)x0，時(shí)，sin(2x)取最大值1.所以f(x)的最大值為.10解(1)因?yàn)橄蛄縜(2sin(x)，0)，b(2cos x,3)(>0)，所以函數(shù)f(x)a·b4sin(x)cos x4sin x·()cos x·cos x2·cos2x2sin xcos x(1cos 2x)sin 2x2cos(2x)，由題意，可知f(x)的最小正周期為T，所以，即1.(2)易知f(x)2cos(2x)，當(dāng)x0,2時(shí)，2x，4，故2x，2或2x3，4時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，和，11C因?yàn)閨ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，解得a·b0，所以向量ba在向量a上的投影為|ba|cosa，ba|a|1.12Aa·b0，且a，b是單位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c·(ab)2a·ba2b21，2c·(ab)c21.|a|b|1且a·b0，|ab|，c212|c|cos (是c與ab的夾角)又1cos 1，0<c212|c|，c22|c|10，1|c|1.139解析ak，ak·ak1·cos·cos·coscossin.故(ak·ak1)ososin.由os0，in0，得(ak·ak1)cos×129.14解(1)方法一0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，解得即(2,2)，故|2.方法二0，則()()()0，()(2,2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n,2mn)，兩式相減得，mnyx.令yxt，由圖知，當(dāng)直線yxt過點(diǎn)B(2,3)時(shí)，t取得最大值1，故mn的最大值為1.