2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時作業(yè)10 定積分的概念 新人教A版選修2-2
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2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時作業(yè)10 定積分的概念 新人教A版選修2-2
2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時作業(yè)10 定積分的概念 新人教A版選修2-2
|基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1.1dx的值為( )
A．0 B．1
C．2 D.
解析：由定積分的幾何意義知，1dx的值等于由x＝0，x＝1，y＝0，y＝1圍成的正方形的面積S，S＝1×1＝1，故選B.
答案：B
2．已知xdx＝2，則xdx等于( )
A．0 B．2
C．－1 D．－2
解析：因為f(x)＝x在[－t，t]上是奇函數(shù)，
所以xdx＝0.而xdx＝xdx＋xdx，
又xdx＝2，所以xdx＝－2.故選D.
答案：D
3．設(shè)f(x)＝則f(x)dx的值是( )
A. x2dx B. 2xdx
C. x2dx＋2xdx D. 2xdx＋x2dx
解析：由定積分性質(zhì)(3)求f(x)在區(qū)間[－1,1]上的定積分，可以通過求f(x)在區(qū)間[－1,0]與[0,1]上的定積分來實現(xiàn)，顯然D正確，故應(yīng)選D.
答案：D
4．已知定積分f(x)dx＝8，且f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx＝( )
A．0 B．16
C．12 D．8
解析：偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故f(x)dx＝2f(x)dx＝16.故選B.
答案：B
5．由曲線y＝ex，直線y＝x，x＝0，x＝所圍成的平面圖形的面積S可以表示為( )
解析：如圖所示，陰影部分的面積為S，則S＝S1－S2，其中S1＝ (即由曲線y＝ex，直線x＝0，x＝及x軸所圍成的平面圖形的面積)，
S2＝xdx(即由直線y＝x，x＝0，x＝及x軸所圍成的平面圖形的面積)，
所以
答案：C
二、填空題(每小題5分，共15分)
6．不用計算，直接利用定積分的幾何意義比較下面兩個積分值的大?。?
解析：如圖
顯然，
答案：>
7．設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，若f(x)dx＝1，f(x)dx＝－1，則f(x)dx＝________.
解析：因為f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx，所以f(x)dx＝f(x)dx－f(x)dx＝－2.
答案：－2
8．曲線y＝與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形面積用定積分可表示為________．
解析：如圖所示，陰影部分的面積可表示為
xdx－dx＝dx.
答案：dx
三、解答題(每小題10分，共20分)
9．已知f(x)dx＝8，g(x)dx＝4，求下列定積分：
(1)[f(x)＋g(x)]dx；(2)3f(x)dx；
(3)[3f(x)－4g(x)]dx.
解析：(1)[f(x)＋g(x)]dx＝f(x)dx＋＝8＋4＝12.
(2)3f(x)dx＝3f(x)dx＝3×8＝24.
(3)[3f(x)－4g(x)]dx＝3f(x)dx－4g(x)dx
＝3f(x)dx－4g(x)dx＝24－16＝8.
10．已知函數(shù)f(x)＝，求f(x)在區(qū)間[－1,3π]上的定積分．
解析：由定積分的幾何意義知
sinxdx＝0(如圖所示)．
f(x)dx＝－1x5dx＋xdx＋sinxdx
＝xdx＝(π2－1)．
|能力提升|(20分鐘，40分)
11．若定積分dx＝，則m等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：根據(jù)定積分的幾何意義知，定積分dx的值就是函數(shù)y＝的圖像與x軸及直線x＝－2，x＝m所圍成的圖形的面積．y＝是一個半徑為1的半圓，其面積等于，而dx＝，所以m＝－1.
答案：A
12．下列等式成立的是________．(填序號)
①[mf(x)＋ng(x)]dx＝mf(x)dx＋ng(x)dx；
②[f(x)＋1]dx＝f(x)dx＋b－a；
③f(x)g(x)dx＝f(x)dx·g(x)dx；
④sinxdx＝sinxdx＋sinxdx.
解析：利用定積分的性質(zhì)進行判斷③不成立．
例如xdx＝，x2dx＝，x3dx＝，
但xdx≠xdx·x2dx.
答案：①②④
13．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定積分的值：
(1)(2x＋x2)dx；
(2)(2x2－x＋1)dx.
解析：(1)(2x＋x2)dx＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
(2)(2x2－x＋1)dx＝2x2dx－xdx＋
1dx，
因為已知xdx＝，x2dx＝，又由定積分的幾何意義知：1dx等于直線x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所圍成的圖形的面積，所以1dx＝1×e＝e，
故(2x2－x＋1)dx＝2×－＋e
＝e3－e2＋e.
14．計算 (－x3)dx的值．
解析：如圖，
由定積分的幾何意義，得dx＝＝，
x3dx＝0.
由定積分的性質(zhì)，得
(－x3)dx＝dx－x3dx＝.
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