2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)作業(yè)7 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù) 新人教A版選修2-2 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．函數(shù)f(x)＝x＋2cosx在區(qū)間上的最小值是(　　) A．－　　　　　　　　　B．2 C.＋ D.＋1 解析：f′(x)＝1－2sinx， ∵x∈， ∴sinx∈[－1,0]，∴－2sinx∈[0,2]． ∴f′(x)＝1－2sinx>0在上恒成立， ∴f(x)在上單調(diào)遞增． ∴f(x)min＝－＋2cos＝－. 答案：A 2．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分別是(　　) A．5,15 B．5，－4 C．5，－15 D．5，－16 解析：y′＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)， 令y′＝0得x＝－1或x＝2. 當(dāng)x＝2時(shí)y＝－15， 當(dāng)x＝0時(shí)y＝5， 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－4.故選C. 答案：C 3．函數(shù)y＝的最大值為(　　) A．e－1 B．e C．e2 D. 解析：令y′＝＝0，則x＝e 當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，y′>0，當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，y′<0. ∴當(dāng)x＝e時(shí)y取最大值，故選A. 答案：A 4．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值是(　　) A．－37 B．－29 C．－5 D．以上都不對 解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， ∵f(x)在(－2,0)上為增函數(shù)， 在(0,2)上為減函數(shù)， ∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝m最大． ∴當(dāng)m＝3，從而f(－2)＝－37，f(2)＝－5. ∴最小值為－37.故選A. 答案：A 5．下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝(2x－x2)ex的判斷正確的是(　　) ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}； ②f(－ )是極小值，f( )是極大值； ③f(x)沒有最小值，也沒有最大值． A．①③ B．①②③ C．② D．①② 解析：由f(x)>0得0<x<2， f′(x)＝(2－x2)ex，故①正確． 令f′(x)＝0，得x＝± ， 當(dāng)x<－ 或x> 時(shí)，f′(x)<0. 當(dāng)－ <x< 時(shí)，f′(x)>0. ∴x＝－ 時(shí)，f(x)取得極小值， 當(dāng)x＝ 時(shí)，f(x)取得極大值，故②正確． 當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)<0， 當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)<0. 綜合函數(shù)的單調(diào)性與極值畫出函數(shù)草圖(如下圖)． ∴函數(shù)f(x)有最大值無最小值，故③不正確． 答案：D 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．函數(shù)f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域?yàn)開_______． 解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)? 答案： 7．若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足f′(x)>0，則f(a)是函數(shù)的最________值，f(b)是函數(shù)的最________值． 解析：由f′(x)>0知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上為增函數(shù)，所以f(a)為最小值，f(b)為最大值． 答案：小　大 8．函數(shù)f(x)＝ax3＋2ax＋1在區(qū)間[－3,2]上有最大值4，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：f′(x)＝3ax2＋2a＝a(3x2＋2)．當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)max＝f(2)＝8a＋4a＋1＝4，解得a＝；當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)max＝f(－3)＝－27a－6a＋1＝4，解得a＝－ 答案：或－ 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．求下列各函數(shù)的最值． (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 解析：(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0得 x＝－1，或x＝0，或x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)及f(x)的變化情況如下表： ∴當(dāng)x＝－3時(shí)，f(x)取最小值－60； 當(dāng)x＝－1或x＝1時(shí)，f(x)取最大值4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]內(nèi)恒大于0， ∴f(x)在[－1,1]上為增函數(shù)． 故x＝－1時(shí)，f(x)最小值＝－12； x＝1時(shí)，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值為－12，最大值為2. 10．已知h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在區(qū)間[k,2]上的最大值是28，求k的取值范圍． 解析：h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， h′(x)＝3x2＋6x－9. 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1， 當(dāng)x變化時(shí)h′(x)及h(x)的變化情況如下表： 當(dāng)x＝－3時(shí)，取極大值28；當(dāng)x＝1時(shí)，取極小值－4. 而h(2)＝3<h(－3)＝28，如果h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，則k≤－3. |能力提升|(20分鐘，40分) 11．若函數(shù)f(x)＝asinx＋sin3x在x＝處有最值，則a等于(　　) A．2 B．1 C. D．0 解析：∵f(x)在x＝處有最值， ∴x＝是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)． 又∵f′(x)＝acosx＋cos3x(x∈R)， ∴f′＝acos＋cosπ＝0，解得a＝2. 答案：A 12．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2ex，若當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，不等式f(x)>m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：f′(x)＝xex＋x2ex ＝·x(x＋2)， 由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2. 當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表： ∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)min＝f(0)＝0， 要使f(x)>m對x∈[－2,2]恒成立， 只需m<f(x)min，∴m<0. 答案：m<0 13．已知函數(shù)f(x)＝lnx＋，若函數(shù)f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值． 解析：函數(shù)的定義域?yàn)閇1，e]， f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝a， ①當(dāng)a≤1時(shí)，f′(x)≥0， 函數(shù)f(x)在[1，e]上是增函數(shù)， f(x)min＝f(1)＝ln1＋a＝， ∴a＝?(－∞，1]，故舍去． ②當(dāng)1<a<e時(shí)，令f′(x)＝0得x＝a， 函數(shù)f(x)在[1，a]上是減函數(shù)，在[a，e]上是增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(a)＝lna＋＝. ∴a＝ ∈(1，e)，故符合題意． ③當(dāng)a≥e時(shí)，f′(x)≤0， 函數(shù)f(x)在[1，e]上是減函數(shù)， f(x)min＝f(e)＝lne＋＝， ∴a＝e?[e，＋∞)，故舍去， 綜上所述a＝ . 14．已知函數(shù)f(x)＝－x＋＋lnx在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范圍． 解析：在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min， 由f′(x)＝－－＋ ＝－＝－， ∴當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0， 故f(x)在上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0， 故f(x)在上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)<0， 故f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減； ∴f是f(x)在上的極小值． 而f＝＋ln＝－ln2，f(2)＝－＋ln2， 且f－f(2)＝－ln4＝lne－ln4， 又e3－16>0，∴l(xiāng)ne－ln4>0， ∴在上f(x)min＝f(2)， ∴c≥f(x)min＝－＋ln2. ∴c的取值范圍為.