《2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教A版選修2-2（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時作業(yè)8 生活中的優(yōu)化問題舉例 新人教A版選修2-2 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高應(yīng)為(　　) A.cm　　　　　　B．100 cm C．20 cm D.cm 解析：設(shè)高為h，體積為V， 則底面半徑r2＝202－h(huán)2＝400－h(huán)2， ∴V＝πr2h＝(400h－h(huán)3)， V′＝(400－3h2)， 令V′＝0， 得h＝或h＝－(舍)． 答案：A 2．某城市在發(fā)展過程中，交通狀況逐漸受到大家更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)

2、顯示，從上午6時到9時，車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關(guān)系可近似地用如下函數(shù)給出：y＝－t3－t2＋36t－，則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時最多的時刻是(　　) A．6時 B．7時 C．8時 D．9時 解析：y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，則當(dāng)6≤t<8時，y′>0，當(dāng)8

3、潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 解析：由題意得，總利潤 P(x)＝ 令P′(x)＝0，得x＝300，故選D. 答案：D 4．某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x(萬件)的總成本C(x)＝1 200＋x3(萬元)，已知產(chǎn)品單價的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100萬件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元，產(chǎn)量定為多少時總利潤最大(　　) A．23萬件 B．25萬件 C．50萬件 D．75萬件 解析：設(shè)單價為a，由題意知 a2＝且502＝， ∴k＝502×100＝25×104， ∴a2＝，即a＝， 總利潤y＝a·x－C(x) ＝·x－

4、 ＝500× －x3－1 200， y′＝250x－x2， 令y′＝0得x＝25， ∴產(chǎn)量定為25萬件時總利潤最大． 答案：B 5．用長為24 m的鋼筋做成一個長方體形框架，若這個長方體框架的底面為正方形，則這個長方體體積的最大值為(　　) A．8 m3 B．12 m3 C．16 m3 D．24 m3 解析：設(shè)長方體的底面邊長為x， 則高為(6－2x)m， ∴0

5、Vmax＝4×2＝8 (m3)． 答案：A 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．某公司規(guī)定：對于小于或等于150件的訂購合同，每件售價為200元，對于多于150件的訂購合同，每超過1件，則每件的售價比原來減少1元．試問訂購________件的合同將會使公司的收益最大． 解析：設(shè)x表示銷售的件數(shù)，R表示公司的收益，則R等于每件的售價×銷售件數(shù)． 當(dāng)x>150時，則R(x)＝[200－(x－150)]x＝350x－x2. 為求最大收益的件數(shù)，不妨認(rèn)為R(x)連續(xù)可導(dǎo)，求R′(x)＝350－2x.令R′(x)＝0，得x＝175時，R有最大值． 答案：175 7．海輪每小時使用的燃

6、料費與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30海里/小時，當(dāng)速度為10海里/小時時，它的燃料費是每小時25元，其余費用(無論速度如何)都是每小時400元．如果甲乙兩地相距800海里，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費用最低，它的航速應(yīng)為________． 解析：由題意設(shè)燃料費y與航速x間滿足y＝ax3(0≤x≤30)， 又∵25＝a·103，∴a＝. 設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為v，費用為y， 則y＝av3×＋×400＝20v2＋， 由y′＝40v－＝0得v＝20<30. 答案：20海里/小時 8．某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的總成本為C萬元，產(chǎn)品單價為P萬元，且滿足C＝1 200

7、＋x3，P＝，則當(dāng)x＝________時，總利潤最高． 解析：設(shè)總利潤為L(x)萬元，則由題意得L(x)＝x·－1 200－x3＝－x3＋500 －1 200(x>0)．由L′(x)＝－x2＋＝0，得x＝25.令L′(x)>0，得025，得L(x)在區(qū)間(0,25)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(25，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝25時，總利潤最高． 答案：25 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．某出版社出版一讀物，一頁上所印文字占去150 cm2，上、下要留1.5 cm空白，左、右要留1 cm空白，出版商為節(jié)約紙張，應(yīng)選用怎樣尺寸的頁面？ 解析：

8、設(shè)所印文字區(qū)域的左右長為x cm，則上下長為 cm，所以紙張的左右長為(x＋2)cm，上下長為cm，所以紙張的面積 S＝(x＋2)＝3x＋＋156. 所以S′＝3－，令S′＝0，解得x＝10. 當(dāng)x>10時，S單調(diào)遞增；當(dāng)0

9、和最少？ 解析：設(shè)速度為每小時v千米時，燃料費是每小時p元，那么由題設(shè)知p＝kv3，因為v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3. 又設(shè)船的速度為每小時v千米時，行駛1千米所需的總費用為q元，那么每小時所需的總費用是(0.006v3＋96)元，而行駛1千米所用時間為小時，所以行駛1千米的總費用為 q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋. q′＝0.012v－＝(v3－8 000)， 令q′＝0，解得v＝20. 當(dāng)v<20時， q′<0；當(dāng)v>20時，q′>0， 所以當(dāng)v＝20時，q取得最小值． 即當(dāng)速度為20千米/小時時，航行1千米所需費用總和最

10、少． |能力提升|(20分鐘，40分) 11．若球的半徑為R，作內(nèi)接于球的圓柱，則其側(cè)面積的最大值為(　　) A．2πR2 B．πR2 C．4πR2 D.πR2 解析：設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h，底面半徑為x，則 x＝ ， ∴S側(cè)＝2πxh＝2πh ＝2π ， 令t＝R2h2－，則t′＝2R2h－h(huán)3，令t′＝0，得h＝ R(舍負(fù))或h＝0(舍去)，當(dāng)00，當(dāng) R

11、方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貨款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．若存款利率為x(x∈(0,4.8%))，則使銀行獲得最大收益的存款利率為________． 解析：依題意知，存款額是kx2，銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的貨款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；當(dāng)0.032

12、最大收益． 答案：3.2% 13．從長為32 cm，寬為20 cm的矩形薄鐵皮的四角剪去四個相等的正方形，做一個無蓋的箱子，問剪去的正方形邊長為多少時，箱子的容積最大？最大容積是多少？ 解析：設(shè)剪去的正方形的邊長為x cm，則箱子的容積 V(x)＝x(32－2x)(20－2x)(00， 當(dāng)4

13、4)內(nèi)為增函數(shù)， 在(4,10)內(nèi)為減函數(shù)． 因此V(x)在(0,10)內(nèi)有唯一的極大值V(4)，且該極大值即為函數(shù)V(x)的最大值，其最大值V(4)＝4×(32－8)×(20－8)＝1 152(cm3)． 答：當(dāng)剪去的正方形邊長為4 cm時，容器的容積最大，最大容積為1 152 cm3. 14．某公司為獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)． (1)若該公司將當(dāng)年的廣告費控制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費，才能使該公司獲得的收益最大？ (2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入3百萬元，分別用于

14、廣告促銷和技術(shù)改造．經(jīng)預(yù)測，每投入技術(shù)改造費x(百萬元)，可增加的銷售額為－x3＋x2＋3x(百萬元)．請設(shè)計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大． 解析：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t<3)，所以當(dāng)t＝2時，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費時，該公司獲得的收益最大． (2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)．由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)＝＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，所以g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又當(dāng)0≤x<2時，g′(x)>0；當(dāng)2