2022版高中數(shù)學 第二章 推理與證明 課時作業(yè)17 數(shù)學歸納法 新人教A版選修2-2 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．用數(shù)學歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)π”時，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為(　　) A．1　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析：邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n0＝3. 答案：C 2．用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 解析：當n＝k時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 當n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故當n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故選D. 答案：D 3．用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　) A．假設(shè)n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3時正確(k∈N*) B．假設(shè)n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1時正確(k∈N*) C．假設(shè)n＝k時正確，再推n＝k＋1時正確(k∈N*) D．假設(shè)n≤k(k≥1)時正確，再推n＝k＋2時正確(k∈N*) 解析：n∈N*且為奇數(shù)，由假設(shè)n＝2k－1(n∈N*)時成立推證出n＝2k＋1(k∈N*)時成立，就完成了歸納遞推． 答案：B 4．若命題A(n)(n∈N*)n＝k(k∈N*)時命題成立，則有n＝k＋1時命題成立．現(xiàn)知命題對n＝n0(n0∈N*)時命題成立．則有(　　) A．命題對所有正整數(shù)都成立 B．命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 C．命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立 D．以上說法都不正確 解析：由題意知n＝n0時命題成立能推出n＝n0＋1時命題成立，由n＝n0＋1時命題成立，又推出n＝n0＋2時命題也成立…，所以對大于或等于n0的正整數(shù)命題都成立，而對小于n0的正整數(shù)命題是否成立不確定． 答案：C 5．k棱柱有f(k)個對角面，則(k＋1)棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k＋1)為(k≥3，k∈N*)(　　) A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2 解析：三棱柱有0個對角面，四棱柱有2個對角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5個對角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9個對角面(5＋4＝5＋(5－1))． 猜想：若k棱柱有f(k)個對角面， 則(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1個對角面． 答案：A 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．用數(shù)學歸納法證明＋＋…＋>－.假設(shè)n＝k時，不等式成立，則當n＝k＋1時，應(yīng)推證的目標不等式是________． 解析：觀察不等式左邊的分母可知，由n＝k 到n＝k＋1左邊多出了這一項． 答案：＋＋…＋＋>－ 7．對任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a＝________. 解析：當n＝1時，36＋a3能被14整除的數(shù)為a＝3或5；當a＝3且n＝2時，310＋35不能被14整除，故a＝5. 答案：5 8．用數(shù)學歸納法證明 1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的過程如下： ①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立． ②假設(shè)當n＝k時，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1， 則當n＝k＋1時， 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1， 所以，當n＝k＋1時等式成立． 由此可知，對任何n∈N＋，等式都成立． 上述證明錯誤的是________． 解析：用數(shù)學歸納法證明問題一定要注意，在證明n＝k＋1時要用到假設(shè)n＝k的結(jié)論，所以②錯誤． 答案：② 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．用數(shù)學歸納法證明：1＋5＋9＋…＋(4n－3)＝(2n－1)·n. 證明：①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，命題成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，命題成立， 即1＋5＋9＋…＋(4k－3)＝k(2k－1)． 則當n＝k＋1時，左邊＝1＋5＋9＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝k(2k－1)＋(4k＋1)＝2k2＋3k＋1＝(2k＋1)(k＋1) ＝[2(k＋1)－1](k＋1)＝右邊， ∴當n＝k＋1時，命題成立． 由①②知，對一切n∈N*，命題成立． 10．求證：1＋＋＋…＋>(n∈N*)． 證明：①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝，所以不等式成立． ②假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N*)時不等式成立，即 1＋＋＋…＋>. 則當n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋>＋＋＋…＋＝＋2k－1·＝. ∴當n＝k＋1時，不等式成立． 由①②可知1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立． |能力提升|(20分鐘，40分) 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋對一切n∈N*都成立，那么a，b的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝ B．a(chǎn)＝b＝ C．a(chǎn)＝0，b＝ D．a(chǎn)＝，b＝ 解析：法一：特值驗證法，將各選項中a，b的值代入原式，令n＝1,2驗證，易知選A. 法二：因為1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋對一切n∈N*都成立， 所以當n＝1,2時有 即解得 答案：A 12．用數(shù)學歸納法證明“當n∈N*時，求證：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍數(shù)”時，當n＝1時，原式為________，從n＝k到n＝k＋1時需增添的項是________． 解析：當n＝1時，原式應(yīng)加到25×1－1＝24， 所以原式為1＋2＋22＋23＋24， 從n＝k到n＝k＋1時需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1. 答案：1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 13．平面內(nèi)有n(n≥2，n∈N*)條直線，其中任何兩條均不平行，任何三條均不共點，證明：交點的個數(shù)f(n)＝. 證明：(1)當n＝2時，兩條直線有一個交點，f(2)＝1，命題成立． (2)假設(shè)當n＝k(k≥2，k∈N*)時，命題成立，即f(k)＝.那么當n＝k＋1時，第k＋1條直線與前k條直線均有一個交點，即新增k個交點，所以f(k＋1)＝f(k)＋k＝＋k＝＝，即當n＝k＋1時命題也成立． 根據(jù)(1)和(2)，可知命題對任何n≥2，n∈N*都成立． 14．已知數(shù)列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an(n≥2且n∈N*)． (1)求a2，a3，a4并由此猜想an的表達式． (2)用數(shù)學歸納法證明{an}的通項公式． 解析：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20. 猜想：an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*) (2)①當n＝2時，a2＝5×22－2＝5成立． ②假設(shè)當n＝k時猜想成立，即ak＝5×2k－2(k≥2且k∈N*) 則n＝k＋1時， ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2 ＝5＋＝5×2k－1. 故當n＝k＋1時，猜想也成立． 由①②可知，對n≥2且n∈N*. 都有an＝5×2n－2. 于是數(shù)列{an}的通項公式為 an＝