2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓(xùn)6 空間幾何體的三視圖、表面積和體積 文一、選擇題1已知圓錐的母線長為8，底面圓周長為6，則它的側(cè)面積是()A24B48C33D32A圓錐的母線長為8，底面圓周長為6，圓錐的側(cè)面積為S側(cè)×6×824.(教師備選)1當(dāng)圓錐的側(cè)面積和底面積的比值是2時，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角等于()A. B. C. DD設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則2，2，因母線長1，所以r，則側(cè)面展開圖扇形的弧長為，以母線長為半徑的扇形的圓心角為，故此時圓錐側(cè)面展開圖的圓心角等于.2已知三個球和一個正方體，第一個球與正方體各個面內(nèi)切，第二個球與正方體各條棱相切，第三個球過正方體各頂點，則這三個球的體積之比為()A1 B123C123 D1827C設(shè)正方體的棱長為a，則其內(nèi)切球半徑R1；棱切球直徑為正方體各面上的對角線長，則半徑R2a；外接球直徑為正方體的體對角線長，所以半徑R3a，所以這三個球的體積之比為13()3()3123.故選C.3(2018·沈陽模擬)已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，SA平面ABC，ABBC，AB1，BC，若球O的表面積為4，則SA()A. B1C. D.B根據(jù)已知把S­ABC補(bǔ)成如圖所示的長方體因為球O的表面積為4，所以球O的半徑R1,2R2，解得SA1，故選B.2(2018·合肥模擬)如圖2­4­13，網(wǎng)格紙上每個小正方形的邊長為1，圖中粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的表面中互相垂直的平面有 ()圖2­4­13A3對 B4對C5對 D6對B由三視圖還原出原幾何體的直觀圖如圖所示，因為AB平面BCD，AE平面ABC，CD平面ABC，所以平面ABE平面BCD，平面AEB平面ABC，平面BCD平面ABC，平面AEDC平面ABC，故選B.3(2018·鄭州模擬)劉徽的九章算術(shù)注中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也”意思是說：把一塊立方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積比為21，這個比率是不變的如圖2­4­14是一個陽馬的三視圖，則其表面積為()圖2­4­14A2 B2C3 D3B由三視圖可得該四棱錐的底面是邊長為1的正方形，有一條長度為1的側(cè)棱垂直于底面，四個側(cè)面三角形都是直角三角形，側(cè)面積為2××1×12×××11，底面積是1，所以其表面積為2，故選B.4已知一個圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則()A12 B13C14 D18C如圖，由已知圓錐側(cè)面積是底面積的2倍，不妨設(shè)底面圓半徑為r，則lR2r2，·2r·R2r2，解得R2r.故ADC30°，DCB90°.則，.故.故選C.(教師備選)在三棱錐P­ABC中，側(cè)棱PAPB2，PC，則當(dāng)三棱錐P­ABC的三個側(cè)面的面積之和最大時，三棱錐P­ABC的內(nèi)切球的表面積是()A(328) B(3216)C(408) D(4016)D由已知可得三棱錐的側(cè)面PAB的面積SPAB×PA×PB×sinAPB2sinAPB，要使此面積最大，則APB90°，同理可知，當(dāng)PA，PB，PC兩兩垂直時，三棱錐P­ABC的三個側(cè)面的面積之和最大如圖，設(shè)內(nèi)切球的球心為O，則O到三棱錐的四個面的距離相等，均為球O的半徑r.因為PAPB2，PC，所以BCAC，AB2，可得ABC，APC，APB，BPC的面積分別為4，2，所以VP­ABC×(42)·r×2×，解得r2，所以內(nèi)切球的表面積S4r2(4016).二、填空題(教師備選)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為_設(shè)新的底面半徑為r，由題意得××52×4×22×8××r2×4×r2×8，r27，r.5(2018·榆林模擬)如圖2­4­15，在小正方形邊長為1的網(wǎng)格中畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的外接球表面積為_圖2­4­1548根據(jù)三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示：三棱錐P­ABC是棱長為4的正方體的一部分，三棱錐P­ABC的外接球是此正方體的外接球，設(shè)外接球的半徑是R，由正方體的性質(zhì)可得，2R4，則R2，即該幾何體外接球的表面積S4R248.(教師備選)一個六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點在同一個球面上，則該球的體積為_由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r1，其高h(yuǎn)1，球半徑為R，該球的體積VR3×3.6(2017·濟(jì)南模擬)已知某幾何體的三視圖及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2­4­16所示，則該幾何體的體積為_圖2­4­16由三視圖得該幾何體是底面半徑為1，高為2的圓錐體的一半和一個底面半徑為1，高為2的圓柱體的一半的組合體，所以其體積為×××12×2××12×2.三、解答題7(2018·廣州模擬)如圖2­4­17，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，且BC2AD4，E，F(xiàn)分別為線段AB，DC的中點，沿EF把AEFD折起，使AECF，得到如下的立體圖形(1)證明：平面AEFD平面EBCF；(2)若BDEC，求點F到平面ABCD的距離圖2­4­17解(1)證明：由題意可得EFAD，AEEF，又AECF，EFCFF，AE平面EBCF.AE平面AEFD，平面AEFD平面EBCF.(2)過點D作DGAE交EF于點G，連接BG，則DG平面EBCF，EC平面EBCF，DGEC，又BDEC，BDDGD，EC平面BDG，又BG平面BDG，ECBG.于是可得EGBBEC，EB2EG·BCAD·BC8，EB2.設(shè)點F到平面ABCD的距離為h，由VF­ABCVA­BCF，可得SABC·hSBCF·AE.BCAE，BCEB，AEEBE，BC平面AEB，ABBC.又AB4BC，SABC×4×48.又SBCF×4×24，AEEB2，8h4×216，解得h2.故點F到平面ABCD的距離為2.8(2017·全國卷)如圖2­4­18，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.圖2­4­18(1)證明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比解(1)證明：如圖，取AC的中點O，連接DO，BO.因為ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.從而AC平面DOB，故ACBD.(2)連接EO.由(1)及題設(shè)知ADC90°，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90°.由題設(shè)知AEC為直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.