2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 小題對點(diǎn)練7 立體幾何 理一、選擇題1(2017·全國卷)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，E，(0,1,1)，(1，1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，·0，·0，·0，·0，A1EBC1.故選C.2已知a，b為異面直線，下列結(jié)論不正確的是( )A必存在平面使得a，bB必存在平面使得a，b與所成角相等C必存在平面使得a，bD必存在平面使得a，b與的距離相等C由a，b為異面直線知，在A項(xiàng)中，在空間中任取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O分別作a，b的平行線，則由過點(diǎn)O的a，b的平行線確定一個平面，使得a，b，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)中，平移b至b與a相交，因而確定一個平面，在上作a，b夾角的平分線，明顯可以做出兩條過角平分線且與平面垂直的平面使得a，b與該平面所成角相等，角平分線有兩條，所以有兩個平面都可以，故B項(xiàng)正確；在C項(xiàng)中，當(dāng)a，b不垂直時，不存在平面使得a，b，故C項(xiàng)錯誤；在D項(xiàng)中，過異面直線a，b的公垂線的中點(diǎn)作與公垂線垂直的平面，則平面使得a，b與的距離相等，故D項(xiàng)正確故選C.3一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O­xyz中的坐標(biāo)分別是，(1,1,0)，(1,0,1)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以yOz平面為投影面，則得到的正視圖可以為( )AB CDA由圖可得，選A.4如圖3是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( )圖3A2B4C. D.A由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示，其中，底面為直角三角形，AD2，AF，高為AB2.該幾何體的體積為V×2××22，故選A.5若一個圓錐的軸截面是正三角形，則此圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角大小為()A60°B90°C120°D180°D設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為R，由該圓錐的軸截面是正三角形，得2rR，2r，解得n180°.6(2016·全國卷)如圖4所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖4A1836B5418C90D81B由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側(cè)面為矩形，另兩個側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.故選B.7我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d，人們還用過一些類似的近似公式，根據(jù)3.141 59判斷，下列近似公式中最精確的一個是( )AdBdCdDdD根據(jù)球的體積公式VR3，得d，設(shè)選項(xiàng)中的常數(shù)為，則，選項(xiàng)A代入得3.1，選項(xiàng)B代入得3，選項(xiàng)C代入得3.2，選項(xiàng)D代入得3.142 857，D選項(xiàng)更接近的真實(shí)值，故選D.8在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )A. B. C. D2C過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，如圖所示，則該幾何體的體積為VV圓柱V圓錐·AB2·BC··CE2·DE×12×2×12×1，故選C.9.如圖5，在三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)D是側(cè)面BB1C1C的中點(diǎn)，則AD與平面ABC所成角的大小是()圖5A30°B45°C60°D90°A取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則DE平面ABC，DAE為AD與平面ABC所成的角，設(shè)三棱柱的棱長為1，則AE，DE，tanDAE，DAE30°.故選A.10在三棱錐S­ABC中，SBBC，SAAC，SBBC，SAAC，ABSC，且三棱錐S­ABC的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積為()A4B16 C36D72B設(shè)SC的中點(diǎn)為D，連接BD，AD(圖略)，設(shè)BCa，則BDADa，ABa，因?yàn)镾BBC，所以BDSC，同理ADSC，所以SC平面ABD，所以VS­ABCVS­ABDVC­ABD××a×2，所以a2.因?yàn)镈ADBDCDS2，所以點(diǎn)D就是三棱錐外接球的球心，所以三棱錐外接球的半徑為2，所以外接球的表面積為4×2216.故選B.11如圖6，已知六棱錐P­ABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，PA2AB，則下列結(jié)論正確的是( )圖6APBADB平面PAB平面PBCC直線BC平面PAED直線PD與平面ABC所成的角為45°D若PBAD，則ADAB，但AD與AB成60°角，A項(xiàng)錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B項(xiàng)錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C項(xiàng)錯誤；直線PD與平面ABC所成角為PDA，在RtPAD中，ADPA，所以PDA45°，D項(xiàng)正確12.如圖7所示，正方形ABCD的邊長為2，切去陰影部分圍成一個正四棱錐，則正四棱錐的側(cè)面積取值范圍為()圖7A(1,2)B(1,2C(0,2D(0,2)D設(shè)三棱錐一個側(cè)面為三角形APQ，APQx，則AHPQ×tan xPQ，PQ，AH，S4××PQ×AH2×PQ×AH2××，x，S2，(當(dāng)且僅當(dāng)tan x1，即x時取等號)，而tan x0，故S0，S2時，三角形APQ是等腰直角三角形，頂角PAQ90°，陰影部分不存在，折疊后A與O重合，構(gòu)不成棱錐，S的范圍為(0,2)，故選D.二、填空題13(2017·天津高考)已知一個正方體的所有頂點(diǎn)在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_設(shè)正方體的棱長為a，則6a218，a.設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R3，R.故球的體積VR3×.14.如圖8，在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐A­BCD，則在三棱錐A­BCD中，下列命題正確的命題序號是_圖8平面ABD平面ABC；平面ADC平面BDC；平面ABC平面BDC；平面ADC平面ABC.因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，所以BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面BCD，所以CD平面ABD，又AB平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，所以AB平面ADC，又AB平面ABC，所以平面ABC平面ADC.15(2018·全國卷)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為_40如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S，連接AS，SS.SAB的面積為·SA·SB·sinASB·SA2··SA25，SA280，SA4.SA與底面所成的角為45°，SAS45°，ASSA·cos 45°4×2.圓錐的側(cè)面積為×2×440.16已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值為_1如圖，設(shè)球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長為a，則AO1×aa.由已知得O1O2底面，在RtOAO1中，由勾股定理得OO1，所以V三棱柱a2×2×，令f(a)3a4a6(0a2)，則f(a)12a36a56a3(a22)，令f(a)0，解得a.因?yàn)楫?dāng)a(0，)時，f(a)0；當(dāng)a(，2)時，f(a)0，所以函數(shù)f(a)在(0，)上單調(diào)遞增，在(，2)上單調(diào)遞減所以f(a)在a處取得極大值因?yàn)楹瘮?shù)f(a)在區(qū)間(0,2)上有唯一的極值點(diǎn)，所以a也是最大值點(diǎn)所以(V三棱柱)max1.小題對點(diǎn)練立體幾何【教師備選】(建議用時：40分鐘)一、選擇題1已知互相垂直的平面，交于直線l.若直線m，n滿足m，n，則( )AmlBmnCnlDmnC由已知，l，l，又n，nl，C項(xiàng)正確故選C.2圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為2的正方形，那么這個圓柱的體積是()A. B. C. D.A由題意可知，圓柱的高為2，底面周長為2，故半徑為，所以底面積為，所以體積為，故選A.3設(shè)m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是( )A若，m，則mB若m，n，則mnC若am，n，n，則mnD若，且m，點(diǎn)A，直線ABm，則ABCA項(xiàng)，若，m，則m或m；B項(xiàng)，若m，n，則m，n無交點(diǎn)，即平行或異面；C項(xiàng)，若m，n，n，過n作平面與，分別交于直線s，t，則sn，tn，所以st，再根據(jù)線面平行判定定理得s，因?yàn)閙，s，所以sm，即mn；D項(xiàng)，若，且m，點(diǎn)A，直線ABm，當(dāng)B在平面內(nèi)時才有AB，綜上選C.4中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅監(jiān)制的一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)，若取3，其體積為12.6(單位：立方寸)，則圖中的x為( )A1.2B1.6 C1.8D2.4B該幾何體是一個組合體，左邊是一個底面半徑為的圓柱，右邊是一個長、寬、高分別為5.4x,3,1的長方體，組合體的體積VV圓柱V長方體·×x(5.4x)×3×112.6(其中3)，解得x1.6.故選B.5某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖(1)所示，它的俯視圖的直觀圖是ABC，如圖(2)所示，其中OAOB2，OC，則該幾何體的表面積為( )(1)(2)A3612B248C2412D368C由圖(2)可知，該幾何體的俯視圖是一個底面邊長為4，高為2的等腰三角形，即該三角形為等邊三角形，在如圖所示的長方體中，長、寬、高分別為4,2，6，三視圖還原為幾何體是圖中的三棱錐P­ABC，且SPABSPBC×4×612, SABC×4×24，PAC是腰長為，底面邊長為4的等腰三角形，SPAC8.綜上可知，該幾何體的表面積為2×12482412.故選C.6某幾何體挖去兩個半球體后的三視圖如圖所示，若剩余幾何體的體積為，則a的值為()A1B2 C2 D.B由三視圖可知，該幾何體為高為a，底面半徑為的圓柱，挖去一個半徑為的球而得的幾何體剩余幾何體的體積為··a·a3，解得a2.故選B.7(2018·唐山高三一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是( )A54B9C65 D.A根據(jù)題意得到該幾何體是一個三棱柱切下了一個三棱錐，剩下的部分的表面積由一個等腰三角形，兩個直角梯形，一個等腰直角三角形，一個長方形構(gòu)成，面積和為4×2××2354.8在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AD1與平面ABCD所成角的大小為60°，DC1與平面ABCD所成角的大小為30°，那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值為()A. B. C. D.B由題得D1AD60°，C1DC30°，設(shè)AD1，則CC1，DC3，DC12，BC12，DB.在BDC1中，由余弦定理得cosBC1D.因?yàn)锳D1BC1，所以異面直線AD1與DC1所成角的余弦值為.9一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積是，那么這個三棱柱的體積是( )A96B16 C24D48D如圖，設(shè)球的半徑為R，由R3，得R2.所以正三棱柱的高h(yuǎn)4.設(shè)其底面邊長為a，則·a2，所以a4，所以V×(4)2×448.10設(shè)三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，BCA90°，BCCA2，若該棱柱的所有頂點(diǎn)都在體積為的球面上，則直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為( )A B. C D.B由已知，若棱柱的所有頂點(diǎn)都在球面上，則同高的長方體8個頂點(diǎn)也在球面上，且外接球的直徑為長方體的體對角線，由球體體積可得直徑為4，由于長方體底面為邊長為2的正方形，故側(cè)面的對角線為2，由余弦定理可知，直線B1C與直線AC1所成角的余弦值為.11圓臺的高為2，上底面直徑AB2，下底面直徑CD4，AB與CD不平行，則三棱錐A­BCD體積的最大值是()A. B. C. D.B如圖，設(shè)上、下底面的圓心分別為O1，O，因?yàn)閂A­BCDVC­AOBVD­AOB，所以要使三棱錐A­BCD的體積最大，則需CD平面AOB，所以三棱錐A­BCD的體積最大為·SABO·(COOD)·SABO·CD××2×2×4，故選B.12.如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC，側(cè)面PAB底面ABCD，若PAADABkBC(0k1)，則()A當(dāng)k時，平面BPC平面PCDB當(dāng)k時，平面APD平面PCDC對任意k(0,1)，直線PA與底面ABCD都不垂直D存在k(0,1)，使直線PD與直線AC垂直A取PB，PC的中點(diǎn)分別為M，N，連接MN，AM，DN(圖略)由平面PAB平面ABCD，BCAB，可知BC平面PAB，BCAM.又M為PB中點(diǎn)，PAAB，AMPB，可得AM平面PBC，而ADBC且ADBC，同時MNBC且MNBC，ADMN且ADMN，則四邊形ADNM為平行四邊形，可得AMDN，則DN平面BPC.又DN平面PCD，平面BPC平面PCD.其余選項(xiàng)都錯誤，故選A.二、填空題13.(2018·天津高考)已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M­EFGH的體積為_連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因?yàn)镋，H分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，所以EHAC，EHAC，因?yàn)镕，G分別為B1A，B1C的中點(diǎn)，所以FGAC，F(xiàn)GAC，所以EHFG，EHFG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EGHF，EHHG，所以四邊形EHGF為正方形，又點(diǎn)M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐M­EFGH的體積為××.14如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以B為圓心的圓與AB，BC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若tanCDF，則陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體的體積等于_6在RtDCF中，DC2，所以CFDCtanCDF2×1，所以BFBCCF211.正方形ABCD繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，圓柱的底面半徑R1AB2，高h(yuǎn)1BC2，其體積V1Rh1×22×28；RtDCF繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓錐，圓錐的底面半徑R2DC2，高h(yuǎn)2CF1，其體積V2Rh2×22×1；扇形BEF是圓的，其繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個半球，球的半徑為rBE1，故其體積V3×r3××13.陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是一個圓柱挖掉上述的半球與圓錐，故其體積VV1V2V386.15已知正三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于_設(shè)直線AB1與側(cè)面ACC1A1所成角為，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長為2，則A(0，1,0)，B1(，0,2)，AB1(，1,2)，O(0,0,0)，B(，0,0)，所以BO(，0,0)為側(cè)面ACC1A1的法向量，所以sin .16(2018·東莞二調(diào))已知幾何體是平面截半徑為4的球O所得較大部分，ABC是截面圓O的內(nèi)接三角形，A90°，點(diǎn)P是幾何體上的一動點(diǎn)，且P在圓O上的投影在圓O的圓周上，OO1，則三棱錐P­ABC的體積的最大值為_10由對稱性知點(diǎn)P到平面ABC的距離為2，設(shè)圓O的半徑為r，則r，BC2，當(dāng)點(diǎn)A到BC的距離為時，SABC取得最大值15，此時，三棱錐P­ABC的體積取得最大值，Vmax×2×1510.