2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課下層級訓(xùn)練38 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（含解析）文 新人教A版1在下列命題中，不是公理的是()A平行于同一個平面的兩個平面相互平行B過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線A選項A是由公理推證出來的，而公理是不需要證明的2(2019·甘肅蘭州統(tǒng)考)已知直線m，n和平面，則mn的一個必要條件是()Am，nBm，nCm，n Dm，n與平面成等角DA中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面內(nèi)，必要性不成立；D中，m，n平行，則m，n與成的角一定相等，但反之如果兩直線m，n與成的角相等則不一定平行，所以是必要非充分條件3正方體A1C中，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A相交B異面C平行D垂直A如圖所示，直線A1B與直線外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交4以下四個命題中，不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；依次首尾相接的四條線段必共面正確命題的個數(shù)是()A0B1C2 D3B顯然是正確的；中若A，B，C三點(diǎn)共線，則A，B，C，D，E五點(diǎn)不一定共面；中構(gòu)造長方體(或正方體)，如圖所示，顯然b，c異面，故不正確；中空間四邊形中四條線段不共面，故只有正確5如圖，直三棱柱ABC­A1B1C1中，BCA90°，點(diǎn)D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，若BCCACC11，則 BD1與AF1所成角的余弦值為()ABC DA取BC的中點(diǎn)E，連接EF1，EA，則可知EF1A為BD1與AF1所成的角，在AEF1中，可求得F1E，AF1，AE，由余弦定理得，cosEF1A.6若平面，相交，在，內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定_個平面1或4如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個平面，所以可確定四個平面7如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有_對3平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行故互為異面直線的有3對8如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_.取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，所以ADBC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D圓柱下底面，所以C1DAD，因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.9如圖，在正方體ABCD ­A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，求異面直線A1M與DN所成的角的大小解如圖，連接D1M，可證D1MDN.又A1D1DN，A1D1，MD1平面A1MD1，A1D1MD1D1，DN平面A1MD1，DNA1M，即異面直線A1M與DN所成的夾角為90°.10如圖，在三棱錐P ­ABC中，PA底面ABC，D是PC的中點(diǎn)已知BAC，AB2，AC2，PA2. 求：(1)三棱錐P­ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解(1)SABC×2×22，三棱錐P­ABC的體積為VSABC·PA×2×2.(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則EDBC，所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.B級能力提升訓(xùn)練11(2019·福建福州質(zhì)檢)直三棱柱ABC ­A1B1C1中，若BAC90°，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A30°B45°C60° D90°C如圖，延長CA到點(diǎn)D，使得ADAC，連接DA1，BD，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角又A1DA1BDB，所以A1DB為等邊三角形，所以DA1B60°.12(2016·全國卷)平面過正方體ABCD­A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()ABC DA設(shè)平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCD­A1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為.13設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是_.0<a<構(gòu)造四面體ABCD，使ABa，CD，ADACBCBD1，取CD的中點(diǎn)E，則AEBE，所以>a，所以0<a<.14如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60°角；DE與MN垂直以上四個命題中，正確命題的序號是_.把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DEMN.15如圖所示，三棱錐P­ABC中， PA平面ABC，BAC60°，PAABAC2，E是PC的中點(diǎn)(1)求證AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE與PB所成角的余弦值(1)證明假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為，A，B，E，平面即為平面ABE，P平面ABE，這與P平面ABE矛盾，所以AE與PB是異面直線(2)解取BC的中點(diǎn)F，連接EF，AF，則EFPB，所以AEF(或其補(bǔ)角)就是異面直線AE與PB所成的角BAC60°，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，故異面直線AE與PB所成角的余弦值為.16如圖所示，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱A1A底面ABC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱CC1，BB1上的點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上的動點(diǎn)，EC2FB2.(1)當(dāng)點(diǎn)M在何位置時，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成的角的余弦值解(1)方法一如圖所示，取AE的中點(diǎn)O，連接OF，過點(diǎn)O作OMAC于點(diǎn)M.因為側(cè)棱A1A底面ABC，所以側(cè)面A1ACC1底面ABC又因為EC2FB2，所以O(shè)MECFB且OMECFB，所以四邊形OMBF為矩形，BMOF.因為OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此時點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)方法二如圖所示，取EC的中點(diǎn)P，AC的中點(diǎn)Q，連接PQ，PB，BQ.因為EC2FB2，所以PEBF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因為PBPQP，PB平面PBQ，PQ 平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因為BQ平面PBQ, 所以BQ平面AEF.故點(diǎn)Q即為所求的點(diǎn)M，此時點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)(2)由(1)知，BM與EF異面，OFE(或MBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM與EF所成的角的余弦值為.