2022高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課下層級訓(xùn)練46 直線與橢圓的綜合問題（含解析）文 新人教A版1已知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，則C的方程為()Ay21B1C1D1C設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)，則c1.因?yàn)檫^F2且垂直于x軸的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，橢圓的方程為1.2過橢圓1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為()ABCDB由題意知橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，則直線AB的方程為y2x2.聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，不妨設(shè)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)yA2，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)yB，SOAB·|OF|·|yAyB|×1×|2|.3已知橢圓1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4,1)，則橢圓的離心率是()ABCDC設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知yMxM，代入k1，M(4,1)，解得，e .4已知橢圓E的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且斜率為2的直線交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()ABCDA由題意可知，F(xiàn)1PF2是直角，且tanPF1F22，2，又|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|. 根據(jù)勾股定理得22(2c)2，所以離心率e.5(2018·廣西桂林期末)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則·的最大值為()A2B3C6D8C設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則1，即y3.又因?yàn)辄c(diǎn)F(1,0)，所以·x0(x01)yxx03(x02)22又x02,2，所以(·)max6.6已知橢圓C：1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|_12設(shè)MN交橢圓于點(diǎn)P，連接F1P和F2P(其中F1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn))，利用中位線定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|2×2a4a12.7P為橢圓1上的任意一點(diǎn)，AB為圓C：(x1)2y21的任一條直徑，則·的取值范圍是_3,15圓心C(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn)，·()·()()·()22|21，顯然|ac，ac2,4，所以·|213,158橢圓：1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y(xc)與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)M滿足MF1F22MF2F1，則該橢圓的離心率等于_1直線y(xc)過點(diǎn)F1(c,0)，且傾斜角為60°，所以MF1F260°，從而MF2F130°，所以MF1MF2在RtMF1F2中，|MF1|c，|MF2|c，所以該橢圓的離心率e1.9如圖，已知橢圓y21的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍解設(shè)直線AB的方程為yk(x1)(k0)，代入y21，整理得(12k2)x24k2x2k220因?yàn)橹本€AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，記A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)N(x0，y0)，則x1x2，x0(x1x2)，y0k(x01)，所以AB的垂直平分線NG的方程為yy0(xx0)令y0，得xGx0ky0因?yàn)閗0，所以<xG<0，所以點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為10已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為，其中左焦點(diǎn)為F(2，0)(1)求橢圓C的方程；(2)若直線yxm與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M在圓x2y21上，求m的值解(1)由題意，得解得橢圓C的方程為1(2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，線段AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m2>0，2<m<2x0，y0x0m點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y21上，221，m±B級能力提升訓(xùn)練11(2019·遼寧沈陽模擬)已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4，離心率為. (1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)M(0,1)，且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若2，求直線l的方程解(1)設(shè)橢圓方程為1(ab0)，因?yàn)閏2.e，所以a4，b2，所求橢圓方程為1(2)由題得直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為ykx1，則由得(14k2)x28kx120，且0設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由若2，得x12x2，又x1x2，x1x2，所以x2，2x，消去x2解得k2，k±，所以直線l的方程為y±x112(2019·北京通州區(qū)月考)已知橢圓1(ab0)過點(diǎn)(0，1)，離心率e(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)P(m,0)，過點(diǎn)(1,0)作斜率為k(k0)直線l，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若x軸平分MPN，求m的值解(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，過點(diǎn)(0，1)，離心率e，所以b1，所以由a2b2c2，得a22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是y21，(2)因?yàn)檫^橢圓的右焦點(diǎn)F作斜率為k直線l，所以直線l的方程是yk(x1)聯(lián)立方程組消去y，得(12k2)x24k2x2k220，顯然0，設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)，N(x1，y1)，所以x1x2，x1x2，因?yàn)閤軸平分MPN，所以MPONPO所以kMPkNP0，所以0，所以y1(x2m)y2(x1m)0，所以k(x11)(x2m)k(x21)(x1m)0，所以2kx1x2(kkm)(x1x2)2km0，所以2·(1m)·2m0所以0，所以42m0，所以m213如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓1(ab0)的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，AB4(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|CD|，求直線AB的方程解(1)由題意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b，所以橢圓方程為1(2)當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|CD|7，不滿足條件當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y(x1)將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得(34k2)x28k2x4k2120，則x1x2，x1·x2，所以|AB|x1x2|·同理，|CD|所以|AB|CD|，解得k±1，所以直線AB的方程為xy10或xy1014(2019·湖北荊州模擬)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且橢圓C過點(diǎn)，直線l過橢圓C的右焦點(diǎn)F且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)P(4,0)，求證：若圓：x2y2r2(r0)與直線PM相切，則圓與直線PN也相切(1)解設(shè)橢圓C的焦距為2c(c0)，依題意解得a，b，c1，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)證明當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，M，N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)P(4,0)在x軸上，所以直線PM與直線PN關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)O到直線PM與直線PN的距離相等，故若圓：x2y2r2(r0)與直線PM相切，則也會與直線PN相切；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1x2，x1x2，kPM，kPN，kPMkPN0，所以，MPONPO，于是點(diǎn)O到直線PM與直線的距離PN相等，故若圓：x2y2r2(r0)與直線PM相切，則也會與直線PN相切；綜上所述，若圓：x2y2r2(r0)與直線PM相切，則圓與直線PN也相切