2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第47課 基本不等式及其應(yīng)用（一）檢測(cè)評(píng)估一、 填空題 1. 已知2x+3y=2且x>0,y>0,那么xy的最大值為. 2. 若x>-3,則x+的最小值為. 3. 若正實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y+6=xy,則xy的最小值是. 4. 已知x>0,那么的最大值為. 5. 某汽車運(yùn)輸公司購(gòu)買一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn),據(jù)市場(chǎng)分析,每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(xN*)的關(guān)系為二次函數(shù)(如圖所示),則每輛客車營(yíng)運(yùn)年,其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大.(第5題) 6. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(0)>0. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)0,則的最小值為. 7. (xx·安徽六校聯(lián)考)若正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=2,且M恒成立,則M的最大值為. 8. (xx·揚(yáng)州中學(xué))設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù),且+=1,則xy的最小值為.二、 解答題 9. 已知a>b,且ab=1,求的最小值.10. 設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時(shí),求+-的最大值.11. 某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000m2的樓房.經(jīng)測(cè)算,如果將樓房建成x(x10)層,那么每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48x元.為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建成多少層?(注:平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用,平均購(gòu)地費(fèi)用=)第47課基本不等式及其應(yīng)用(一)1. 解析:方法一:因?yàn)閤>0,y>0,所以2=2x+3y2,所以22,所以xy,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),此時(shí)(xy)max=.方法二:xy=(2x·3y)=,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),此時(shí)(xy)max=. 2. 2-3解析:因?yàn)閤>-3,所以x+3>0,x+=x+3+-32-3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時(shí)取等號(hào).3. 18解析:由基本不等式得xy2+6,令=t,則t2-2t-60,解得t-(舍去)或t3,故xy的最小值為18. 4. 解析:因?yàn)?,當(dāng)x>0時(shí),x+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)取等號(hào),所以0<,即的最大值為. 5. 5解析:由題意設(shè)二次函數(shù)為y=a(x-6)2+11,又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,7),解得a=-1,所以y=-x2+12x-25,其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)為=-+122,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)取等號(hào),所以每輛客車營(yíng)運(yùn)5年,其營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大.6. 2解析:f'(x)=2ax+b,則f'(0)=b>0,又對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f(x)0,則即所以a>0,c>0,ac,則=1+1+1+=1+1=2,所以的最小值為2. 7. 1解析:因?yàn)閤+y2,且x+y=2,所以22,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)等號(hào)成立,所以xy1,所以1,所以1M,所以Mmax=1.8. 16解析:因?yàn)閤,y均為正實(shí)數(shù),+=1,所以8+x+y=xy,xy2+8,(-4)(+2)0,4,xy16,即xy的最小值為16.9. 因?yàn)閍b=1,所以=(a-b)+,又a>b,所以(a-b)+2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=且ab=1時(shí)取等號(hào),即的最小值為2.10. 由題意知z=x2-3xy+4y2,x>0,y>0,z>0,所以=1,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y時(shí)取等號(hào).所以+-=+-=-+11,故+-的最大值為1.11. 設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x),x10,且xN*,則f(x)=(560+48x)+=560+48x+560+2=560+1440=xx,當(dāng)且僅當(dāng)48x=,即x=15時(shí)取等號(hào),x10,xN*,所以x=15滿足條件.因此,當(dāng)x=15時(shí),f(x)取最小值f(15)=xx,故樓房應(yīng)建15層.