2022高中數學 活頁作業(yè)21 對數函數及其性質的應用 新人教A版必修1 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．下列不等式成立的是(　　) A．log32＜log23＜log25 B．log32＜log25＜log23 C．log23＜log32＜log25 D．log23＜log25＜log32 解析：由于log31＜log32＜log33，log22＜log23＜log25，即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，所以log32＜log23＜log25.故選A. 答案：A 2．若函數f(x)＝loga x(0<a<1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為(　　) A.　　 　 B.　　 　 C. 　 D． 解析：∵0<a<1，∴f(x)是單調減函數． ∴在[a,2a]上，f(x)max＝loga a＝1， f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2. 由題意得3(1＋loga2)＝1，解得a＝. 答案：A 3．已知定義在R上的函數f(x)＝2|x－m|－1(m為實數)為偶函數，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關系為(　　) A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 解析：∵f(x)為偶函數，∴2|x－m|－1＝2|－x－m|－1，∴|x－m|＝|－x－m|. ∴－x－m＝m－x，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1， ∴f(x)的圖象關于y軸對稱且在[0，＋∞)上是增函數，又∵0＞log0.53＞log0.54＝－2，log25＞log24＝2,2m＝0，∴c＜a＜b. 答案：C 4．函數f(x)＝lg 是(　　) A．奇函數 B．偶函數 C．既奇又偶函數 D．非奇非偶函數 解析：f(x)＝lg ＝lg (－x)． ∵＞≥x， ∴對任意x∈R，－x＞0， 即函數f(x)定義域為R，R關于原點對稱． 又f(－x)＝lg[－(－x)]＝lg(＋x)， f(x)＝lg(＋x)－1＝－lg(＋x)， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數． 答案：A 5.函數f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的單調遞減區(qū)間為(　　) A. B．(－∞，0)∪ C．[，1] D．[，] 解析：函數y＝g(x)由下列函數復合而成，u＝logax，y＝f(u)．由0＜a＜1知，u＝logax在(0，＋∞)上遞減，由復合函數單調性“同增異減”規(guī)律知，欲求y＝f(logax)的遞減區(qū)間，應求y＝f(u)的遞增區(qū)間． 由圖象可知y＝f(u)的遞增區(qū)間為u∈， ∴0≤logax≤，解得≤x≤1. 答案：C 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．已知函數f(x)＝若f(a)＝，則a＝________. 解析：當a＞0時，log2a＝，則a＝；當a＜0時，2a＝，則a＝－1. 答案：或－1 7．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函數的值域為________． 解析：∵－1≤log3x≤1，∴l(xiāng)og3 ≤log3x≤log33. ∴≤x≤3. ∴f(x)＝log3x的定義域是. ∴f(x)＝log3x的反函數的值域是. 答案： 8．已知實數a，b滿足a＝b，下列五個關系式：①a＞b＞1，②0＜b＜a＜1，③b＞a＞1，④0＜a＜b＜1，⑤a＝b.其中可能成立的關系式序號為________． 解析：當a＝b＝1或a＝，b＝或a＝2，b＝3時，都有a＝b.故②③⑤均可能成立． 答案：②③⑤ 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．解不等式2loga(x－4)＞loga(x－2)． 解：原不等式等價于 (1)當a＞1時，又等價于 解得x＞6. (2)當0＜a＜1時，又等價于 　解得4＜x＜6. 綜上所述，當a＞1時，原不等式的解集為(6，＋∞)； 當0＜a＜1時，原不等式的解集為(4,6)． 10．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函數y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取得最大值時的x的值． 解：由f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]得f(x2)＝2＋log3x2，x2∈[1,9]， 得函數y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域為[1,3]， y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2， 即y＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3， 令log3x＝t,0≤t≤1，y＝(t＋3)2－3， 當t＝log3x＝1， 即x＝3時，ymax＝13. 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．若＝loga，且|logba|＝－logba，則a，b滿足的關系式是(　　) A．a＞1，且b＞1 B．a＞1且0＜b＜1 C．0＜a＜1，且b＞1 D．0＜a＜1，且0＜b＜1 解析：∵＝loga，∴l(xiāng)oga＞0，∴0＜a＜1.∵|logba|＝－logba，∴l(xiāng)ogba＜0，∴b＞1.故選C. 答案：C 2．已知函數f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)＞0，則此函數的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(1，＋∞) 解析：∵f(2)＝loga5＞0＝loga1， ∴a＞1. 由x2＋2x－3＞0， 得函數f(x)的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)． 設u＝x2＋2x－3，則u在(1，＋∞)上為增函數． 又y＝logau(a＞1)在(0，＋∞)上也為增函數， ∴函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(1，＋∞)．故選D. 答案：D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知定義在R上的偶函數f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調減函數，若f(1)＞f，則x的取值范圍為__________________． 解析：因為f(x)是定義在R上的偶函數且在區(qū)間[0，＋∞)上是單調減函數，所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上是增函數．所以不等式f(1)＞f可化為＞1，即lg＞1或lg＜－1， 所以lg ＞lg 10或lg ＜lg . 所以＞10或0＜＜. 所以0＜x＜或x＞10. 答案：0＜x＜或x＞10 4．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數，則a＝________. 解析：函數f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax為偶函數，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化簡得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－. 答案：－ 三、解答題(每小題10分，共20分) 5．已知函數f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1. (1)求函數f(x)的定義域． (2)若函數f(x)的最小值為－4，求a的值． 解：(1)要使函數有意義，則有解之得－3＜x＜1，所以函數的定義域為(－3,1)． (2)函數可化為：f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]， 因為－3＜x＜1， 所以0＜－(x＋1)2＋4≤4. 因為0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4， 即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4得a－4＝4，所以a＝4－＝. 6．已知函數f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)． (1)求函數f(x)－g(x)的定義域； (2)判斷函數f(x)－g(x)的奇偶性，并予以證明； (3)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范圍． 解：(1)使函數f(x)－g(x)有意義，必須有解得－＜x＜. 所以函數 f(x)－g(x)的定義域是. (2)由(1)知函數f(x)－g(x)的定義域關于原點對稱． f(－x)－g(－x)＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]， ∴函數f(x)－g(x)是奇函數． (3)f(x)－g(x)＞0，即loga(3＋2x)＞loga(3－2x)． 當a＞1時，有 解得x的取值范圍是. 當0＜a＜1時，有 解得x的取值范圍是， 綜上所述，當a＞1時x的取值范圍是， 當0＜a＜1時x的取值范圍是.