2022版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時(shí)作業(yè)5 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 新人教A版選修2-2 |基礎(chǔ)鞏固|(25分鐘，60分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．下列函數(shù)中，在(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)的是(　　) A．y＝sinx　　　　　　　　B．y＝xex C．y＝x3－x D．y＝lnx－x 解析：B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)>0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上為增函數(shù)．對(duì)于A、C、D都存在x>0，使y′<0的情況． 答案：B 2．函數(shù)f(x)＝(a2＋1)x＋b在R上(　　) A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減 C．有增有減 D．單調(diào)性與a、b有關(guān) 解析：f′(x)＝a2＋1>0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增． 答案：A 3．若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)的圖象可能為(　　) 解析：觀察題圖可知：當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)>0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，則f(x)單調(diào)遞減，即f(x)的圖象在x＝0左側(cè)上升，右側(cè)下降．故選C. 答案：C 4．已知函數(shù)f(x)＝＋lnx，則有(　　) A．f(e)<f(3)<f(2) B．f(3)<f(e)<f(2) C．f(e)<f(2)<f(3) D．f(2)<f(e)<f(3) 解析：f′(x)＝＋，∴x∈(0，＋∞)時(shí)， f′(x)>0， ∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又2<e<3，∴f(2)<f(e)<f(3)，故選D. 答案：D 5．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)≤1 D．0<a<1 解析：因?yàn)閒′(x)＝3x2－2ax－1，又f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減， 所以不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)內(nèi)恒成立， 所以f′(0)≤0，且f′(1)≤0， 所以a≥1. 答案：A 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．函數(shù)f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間為________． 解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex ＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)， 令f′(x)<0，解得－2<x<－1， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－2，－1)． 答案：(－2，－1) 7．使y＝sinx＋ax為R上的增函數(shù)的a的取值范圍是________． 解析：因?yàn)閥′＝cosx＋a≥0， 所以a≥－cosx對(duì)x∈R恒成立． 所以a≥1. 答案：[1，＋∞) 8．設(shè)f(x)＝ax3＋x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則a的取值范圍是________． 解析：f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋1. 若a>0，則f′(x)>0，x∈(－∞，＋∞)，此時(shí)，f(x)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，與已知矛盾； 若a＝0，則f(x)＝x，此時(shí)，f(x)也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，亦與已知矛盾； 若a<0，則f′(x)＝3a， 綜上可知a<0時(shí)，f(x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間． 答案：(－∞，0) 三、解答題(每小題10分，共20分) 9．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－lnx. 解析：(1)f′(x)＝1－3x2 令1－3x2>0，解得－<x<. 因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為. 令1－3x2<0，解得x<－或x>. 因此，函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為，. (2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝2x－＝. 因?yàn)閤>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得 x>， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為； 由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)， 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為. 10．求函數(shù)f(x)＝(a＋1)lnx＋ax2＋1的單調(diào)區(qū)間． 解析：f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)． f′(x)＝＋2ax＝. 當(dāng)a≥0時(shí)，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增； 當(dāng)a≤－1時(shí)，f′(x)<0， 故f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減； 當(dāng)－1<a<0時(shí)，令f′(x)＝0， 解得x＝ 則當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0； x∈時(shí)，f′(x)<0. 故f(x)在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減． |能力提升|(20分鐘，40分) 11．已知函數(shù)f(x)＝－＋ln2，則(　　) A．f()＝f() B．f()<f() C．f()>f() D．f()，f()的大小關(guān)系無法確定 解析：f′(x)＝＝，當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減． ∵<<1，∴f()>f()．故選C. 答案：C 12．若函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的單調(diào)減區(qū)間為(－1,3)，則b＝________，c＝________. 解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由條件知 即 解得b＝－3，c＝－9. 答案：－3?。? 13．已知函數(shù)f(x)＝lnx－. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<x－1. 解析：(1)f′(x)＝－x＋1＝，x∈(0，＋∞)． 由f′(x)>0得解得0<x<. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是. (2)證明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)． 則F′(x)＝. 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，F(xiàn)′(x)<0， 所以F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減， 故當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)<F(1)＝0， 即當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<x－1. 14．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由． 解析：(1)由已知f′(x)＝3x2－a. ∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立． 即a≤3x2對(duì)x∈R恒成立． ∵3x2≥0，∴只要a≤0. 又∵a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0， ∴f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，∴a≤0. (2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立． ∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立． 又∵－1<x<1，∴3x2<3，只需a≥3. 當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3(x2－1)在x∈(－1,1)上，f′(x)<0， 即f(x)在(－1,1)上為減函數(shù)，∴a≥3. 故存在實(shí)數(shù)a≥3，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．