中考數(shù)學(xué)全程演練 第47課時(shí) 動(dòng)態(tài)型問題 (50分) 一、選擇題(每題8分，共16分) 圖47－1 1．[xx·萊蕪]如圖47－1，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形邊上一動(dòng)點(diǎn)P沿A→B→C→D的路徑移動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為x，PD2＝y(tǒng)，則下列能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是 (D) 【解析】　(1)當(dāng)0≤x≤2a時(shí)， ∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2； (2)當(dāng)2a＜t≤3a時(shí)，CP＝2a＋a－x＝3a－x， ∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2； (3)當(dāng)3a＜t≤5a時(shí)，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x， ∵PD2＝y(tǒng)＝(5a－x)2， y＝ ∴能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是選項(xiàng)D中的圖象． 圖47－2 2．[xx·煙臺(tái)]如圖47－2，Rt△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以2為邊長(zhǎng)的正方形DEFG的一邊GD在直線AB上，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，現(xiàn)將正方形DEFG沿AB的方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止，則在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是 (A) 【解析】　首先根據(jù)Rt△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分別求出AC，BC，以及AB邊上的高各是多少；然后根據(jù)圖示，分三種情況：(1)當(dāng)0≤t≤2時(shí)；(2)當(dāng)2＜t≤6時(shí)；(3)當(dāng)6＜t≤8時(shí)；分別求出正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S的表達(dá)式，進(jìn)而判斷出正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是哪個(gè)即可． S＝ 二、填空題(每題8分，共8分) 圖47－3 3．[xx·涼山]菱形OBCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖47－3所示，頂點(diǎn)B(2，0)，∠DOB＝60°，點(diǎn)P是對(duì)角線OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E(0，－1)，當(dāng)EP＋BP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為__(2－3，2－)__． 第3題答圖 【解析】　如答圖，連結(jié)DE交OC于點(diǎn)P，即點(diǎn)P滿足EP＋BP最短． 如答圖，延長(zhǎng)CD交y軸于點(diǎn)F，則CF⊥y軸， ∵四邊形OBCD是菱形， ∵OD＝CD＝OB＝2， ∵∠DOB＝60°，則∠DOF＝30°， ∴DF＝1，OF＝， ∴D(1，)，C(3，)， 設(shè)直線DE的解析式為y＝kx－1，則k－1＝， ∴k＝＋1，則y＝(＋1)x－1， 設(shè)直線OC的解析為y＝mx，則3m＝， ∴m＝，則y＝x， 由得 ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2－3，2－)． 二、解答題(共26分) 4．(13分)[xx·攀枝花]如圖47－4①，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD＝8，AB＝6.如圖②，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s. 圖47－4 (1)當(dāng)t＝5時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D，點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出△PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍； (3)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作PE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)△PEO與△BCD相似時(shí)，求出相應(yīng)的t值． 第4題答圖① 解：(1)延長(zhǎng)CD交x軸于M，延長(zhǎng)BA交x軸于N，如答圖①所示． 則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8， ∴BD＝10， 當(dāng)t＝5時(shí)，OD＝5， ∴BO＝15， ∵AD∥NO， ∴△ABD∽△NBO， ∴＝＝＝， 即＝＝， ∴BN＝9，NO＝12， ∴OM＝12－8＝4，DM＝9－6＝3，PN＝9－1＝8， ∴D(－4，3)，P(－12，8)； 第4題答圖② (2)①如答圖②所示，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，BP＝6－t， ∴S△PBD＝BP·AD＝(6－t)×8＝－4t＋24； ②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，BP＝t－6， ∴S△PBD＝BP·AB＝(t－6)×6＝3t－18； ∴S△PBD＝ (3)設(shè)點(diǎn)D； ①當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，P， 若＝時(shí)，＝， 解得t＝6； 若＝時(shí)，＝， 解得t＝20(不合題意，舍去)； ②當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，P， 若＝時(shí)，＝， 解得t＝6； 若＝時(shí)，＝， 解得t＝(不合題意，舍去)； 綜上所述，當(dāng)t＝6時(shí)，△PEO與△BCD相似． 圖47－5 5．(13分)[xx·銅仁]如圖47－5，已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D. (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式； (2)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)有一個(gè)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M，N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問點(diǎn)M，N運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△MNB面積最大，試求出最大面積． 第5題答圖① 解：(1)A(1，0)，C(0，3)在函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象上， ∴0＝1＋b＋c，c＝3， ∴b＝－4，即二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2－4x＋3； (2)∵y＝x2－4x＋3， ∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)， 如答圖①，當(dāng)BC為底邊時(shí)，作BC的垂直平分線，則P點(diǎn)坐標(biāo)為P1(0，0)， 當(dāng)BC為腰時(shí)，分別以B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作圓， 則P點(diǎn)坐標(biāo)為P2(0，－3)，P3(0，3－3)， P4(0，3＋3)； (3) 第5題答圖② 　　　第5題答圖③ 如答圖②③，設(shè)經(jīng)過的時(shí)間為t時(shí)，△MNB的面積為： S△MNB＝MB·DN＝(3－1－t)2t＝2t－t2＝－(t－1)2＋1， ∴當(dāng)t＝1時(shí)，△MNB的面積最大，最大的值為1， 其中M，N的坐標(biāo)分別為M(2，0)，N(2，－2)或M(2，0)，N(2，2)． (30分) 6．(15分)[xx·威海]已知：如圖47－6①，拋物線l1：y＝－x2＋bx＋3交x軸于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為x＝1，拋物線l2經(jīng)過點(diǎn)A，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E(5，0)，與y軸交于點(diǎn)D. ① 　?、? 圖47－6 (1)求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式； (2)P為直線x＝1上一點(diǎn)，連結(jié)PA，PC，當(dāng)PA＝PC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)如圖②，M為拋物線l2上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點(diǎn)N，求點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值． 解：(1)由題意，得－＝1，a＝－1，∴b＝2. ∴拋物線l1的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3. 設(shè)－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)． 設(shè)y＝a(x＋1)(x－5)，將點(diǎn)D代入，得a＝. ∴拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2－2x－； (2)如答圖，設(shè)直線x＝1與x軸交于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥PG，垂足為H. 第6題答圖 由(1)知，C的坐標(biāo)為(0，3)． 則HG＝OC＝3. 設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m， 在Rt△APG中，AG＝2，PG＝m. ∴AP2＝22＋m2＝4＋m2. 在Rt△CHP中，CH＝OG＝1，HP＝3－m. ∴CP2＝12＋(3－m)2＝m2－6m＋10. ∵AP＝CP，∴4＋m2＝m2－6m＋10. 解得m＝1. ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)； (3)設(shè)點(diǎn)M，則N(x，－x2＋2x＋3)． 當(dāng)－x2＋2x＋3＝x2－2x－時(shí)， 解得x1＝－1，x2＝. ①當(dāng)－1≤x≤時(shí)，MN＝y(tǒng)N－yM＝－x2＋4x＋＝－＋， 顯然，－1≤≤，∴當(dāng)x＝時(shí)，MN有最大值， ②當(dāng)≤x≤5時(shí)，MN＝y(tǒng)M－yN＝x2－4x－＝－. 顯然，當(dāng)x>時(shí)，MN隨x的增大而增大． 所以當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合，即x＝5時(shí)，MN有最大值：×52－4×5－＝12. 綜上所述，在點(diǎn)M自點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E的過程中，線段MN長(zhǎng)度的最大值為12. 圖47－7 7．(15分)[xx·湖州]如圖47－7，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P(1，1)為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N.點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PF，過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t s(t>0)． (1)若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上(如圖47－7所示)，求證：PE＝PF； (2)在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE＝a，OF＝b，試用含a的代數(shù)式表示b； (3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F′.經(jīng)過M，E，F(xiàn)′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q，O，E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P，M，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形相似，若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 第7題答圖① 解：(1)證明：如答圖①，連結(jié)PM，PN. ∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON，且PM＝PN， ∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°. ∵PE⊥PF，∴∠1＝∠3＝90°－∠2. 在△PMF和△PNE中， ∴△PMF≌△PNE， ∴PE＝PF； 第7題答圖② (2)分兩種情況： ①當(dāng)t>1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如答圖②， 由(1)得△PMF≌△PNE， ∴NE＝MF＝t，PN＝PM＝1， ∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝NE－ON＝t－1. ∴b－a＝1＋t－(t－1)＝2， ∴b＝2＋a； 第7題答圖③ ②當(dāng)0<t≤1時(shí)，如答圖③，點(diǎn)E在y軸的正半軸上或原點(diǎn)，同理可證△PMF≌△PNE， ∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t， a＝OE＝ON－NE＝1－t， ∴b＋a＝1＋t＋1－t＝2， ∴b＝2－a. 綜上所述，當(dāng)t>1時(shí)，b＝2＋a； 當(dāng)0<t≤1時(shí)，b＝2－a； (3)解存在，t的值是2＋或2－或或. (20分) 8．(20分)[xx·金華]如圖47－8，拋物線y＝ax2＋c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)(點(diǎn)C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點(diǎn)C時(shí)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，其頂點(diǎn)為F，對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為H. 圖47－8 (1)求a，c的值； (2)連結(jié)OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由； (3)先將一足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點(diǎn)E，另一直角邊與y軸相交于點(diǎn)P.是否存在這樣的點(diǎn)Q，使以點(diǎn)P，Q，E為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解：(1)∵△ABC為等腰直角三角形，∴OA＝BC， 又∵△ABC的面積＝BC·OA＝4，即OA2＝4， ∴OA＝2， ∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)， ∴c＝2，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋2， ∴有4a＋2＝0，解得a＝－； ∴a＝－，c＝2. 第8題答圖① (2)△OEF是等腰三角形． 理由：如答圖①， ∵A(0，2)，B(－2，0)， ∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝x＋2， 又∵平移后的拋物線頂點(diǎn)F在射線BA上， ∴設(shè)頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m，m＋2)， ∴平移后的拋物線函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x－m)2＋m＋2， ∵拋物線過點(diǎn)C(2，0)， ∴－(2－m)2＋m＋2＝0， 解得m1＝0(舍去)，m2＝6， ∴平移后的拋物線函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x－6)2＋8，即y＝－x2＋6x－10. 當(dāng)y＝0時(shí)，－x2＋6x－10＝0，解得x1＝2，x2＝10， ∴E(10，0)，OE＝10， 又F(6，8)，OH＝6，F(xiàn)H＝8， ∴OF＝＝＝10， 又∵EF＝＝＝4， ∴OE＝OF，即△OEF為等腰三角形； 第8題答圖② (3)點(diǎn)Q的位置分兩種情形． 情形一：點(diǎn)Q在射線HF上． 當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如答圖②. 由于△PQE≌△POE， ∴QE＝OE＝10， 在Rt△QHE中， QH＝＝＝＝2， ∴Q(6，2)； 第8題答圖③ 當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如答圖③，有PQ＝OE＝10， 過P點(diǎn)作PK⊥HQ于點(diǎn)K，則有PK＝6， 在Rt△PQK中， QK＝＝＝8， ∵∠PQE＝90°， ∴∠PQK＋∠HQE＝90°， ∵∠HQE＋∠HEQ＝90°， ∴∠PQK＝∠HEQ， 又∵∠PKQ＝∠QHE＝90°， ∴△PKQ∽△QHE， ∴＝，即＝，解得QH＝3， ∴Q(6，3)； 情形二：點(diǎn)Q在射線AF上． 當(dāng)PQ＝OE＝10時(shí)，如答圖④，有QE＝PO， ∴四邊形POEQ為矩形，∴Q的橫坐標(biāo)為10， 當(dāng)x＝10時(shí)，y＝x＋2＝12，∴Q(10，12)． 第8題答圖④ 第8題答圖⑤ 當(dāng)QE＝OE＝10時(shí)，如答圖⑤， 過Q作QM⊥y軸于點(diǎn)M，過E點(diǎn)作x軸的垂線交QM于點(diǎn)N. 設(shè)Q的坐標(biāo)為(x，x＋2)， ∴MQ＝x，QN＝10－x，EN＝x＋2， 在Rt△QEN中，有QE2＝QN2＋EN2， 即102＝(10－x)2＋(x＋2)2，解得x＝4±， 當(dāng)x＝4＋時(shí)，如答圖⑤，y＝x＋2＝6＋， ∴Q(4＋，6＋)， 第8題答圖⑥ 當(dāng)x＝4－時(shí)，如答圖⑥，y＝x＋2＝6－， ∴Q(4－，6－)． 綜上所述， 存在點(diǎn)Q1(6，2)，Q2(6，3)，Q3(10，12)， Q4(4＋，6＋)，Q5(4－，6－)，使以P，Q，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△POE全等．